1.1 数列的概念-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

1.1　数列的概念 1.数列及其有关概念 (1)数列:按照一定顺序排成的一列数叫作数列. (2)项:数列中的每一个数叫作这个数列的项,排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项,排在第二位的数叫作数列的第2项,…,排在第n位的数叫作数列的第n项. (3)数列的表示:数列通常写成a1,a2,…,an,…,其中an表示数列的第n项,数列也可以简记为{an}. [思考1] 数列的项和它的项数是否相同? 提示:数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,而项数是指该数列中的项的总数. [思考2] 数列1,2,3,4,5,数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别? 提示:数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列,因为两个数列中的数顺序不同,而{1,2,3,4,5}是一个集合,不是数列. 2.数列的表示方法 (1)数列的表示方法:通项公式法、列表法、图象法、逆推公式法. (2)数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示,那么这个公式就称为数列{an}的通项公式. (3)递推公式:如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示,即an+1=f(an),n≥1,那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式,a1称为数列{an}的初始条件. [思考3] 数列的通项公式是否唯一? 提示:数列的通项公式不唯一,例如,an=(-1)n可以写成an=(-1)n+2,还可以写成an= 3.数列的分类 类别 含义 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化 趋势 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)通项公式为an=n+1的数列是递增数列.(　√　) (2)数列4,0,-2,-4,-6的首项是4.(　√　) (3)一个数列的前几项是3,1,-1,-3,-5,-10,这个数列的通项公式为an=5-2n.(　×　) 2.在数列{an}中,an=3n-1,则a2等于(　B　) A.2 B.3 C.9 D.32 3.已知数列{an}中,an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于(　B　) A.0 B. C.2 D.5 　数列的概念及分类 [例1] (多选题)下列说法不正确的有(　　) A.数列1,-2,3,-4,…是一个摆动数列 B.数列-2,3,6,8 可以表示为{-2,3,6,8} C.{an}和an是相同的概念 D.每一个数列的通项公式都是唯一确定的 解析:根据摆动数列的概念可知,A正确; 数列-2,3,6,8 不能表示为集合{-2,3,6,8},数列和数列中的数的顺序有关,集合和元素顺序无关,故B错误; {an}表示数列的全部的项,而an表示数列的第n项,不是同一概念,故C错误; 数列的通项公式可以有多个,D错误. 故选BCD. (1)有穷数列与无穷数列的判断. 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需看数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列. (2)数列单调性的判断. 判断数列的单调性,则需要从第2项起,观察每一项与它的前一项的大小关系,若满足an<an+1,则是递增数列;若满足an>an+1,则是递减数列;若满足an=an+1,则是常数列;若an与an+1的大小关系不确定,则是摆动数列. [变式训练1] 给出以下数列: ①1,-1,1,-1,…;②2,4,6,8,…,1 000;③8,8,8,8,…;④0.8,0.82,0.83, 0.84,…,0.810. 其中,有穷数列为　　　　;无穷数列为　　　　;递增数列为　　　　;递减数列为　　　　;摆动数列为　　　　;常数列为　　　　.(填序号)  解析:有穷数列为②④;无穷数列为①③;递增数列为②;递减数列为④;摆动数列为①;常数列为③. 答案:②④　①③　②　④　①　③ 　数列的通项公式 [例2] 已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n. (1)写出此数列的第4项和第6项; (2)-49是不是该数列的项?如果是,应是第几项?68是不是该数列的项?如果是,应是第几项? 解:(1)a4=3×42-28×4=-64, a6=3×62-28×6=-60. (2)由3n2-28n=-49,n∈N+,解得n=7或 n=(舍去), 所以-49是该数列的第7项. 由3n2-28n=68,n∈N+,解得n=-2或n