1.4 数学归纳法（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第1章　数列 *1.4　数学归纳法 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. 在学习数学归纳法的过程中，达成数学抽象、逻辑推理的核心素养. 栏目索引 课前·预习案 课堂·探究案 冲关·演练案 课前·预习案 n＝k＋1 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 C 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 课堂·探究案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 C 冲关·演练案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 D 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 课后巩固 谢谢观看！ 在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步骤： 1.(奠基)证明：n＝n0(n0∈N＋)时，命题成立； 2.(递推)假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明________时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从n0开始的正整数n，命题成立. 这种证明方法叫作数学归纳法. 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”. (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.(　　) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　　) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 3.如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，那么用数学归纳法证明时应先证n＝________成立. 答案：2 4.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，由此推测，当n>2时，有________. 答案：f(2n)> [知能解读]　数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键 数学归纳法的实质是递推，分析从n＝k到n＝k＋1的过程中，式子项数的变化，关键是弄清等式两边的构成规律，即从n＝k到n＝k＋1，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项. (3)利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件.在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法. 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋). 证明：当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立. 假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2成立. 那么，当n＝k＋1时， 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2， 即当n＝k＋1时等式也成立. 综上，可知等式对任何n∈N＋都成立. [方法总结]　用数学归纳法证明等式的方法 [训练1]　用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，＝成立. (2)假设当n＝k(n∈N＋)时等式成立，即有＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋ ＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立. 由(1)和(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立. [知能解读]　“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和. (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在. (3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2). (1)计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想. 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：猜想Sn表达式并用数学归纳法证明. 第二步，精读题目挖已知条件：已知数列的递推公式及Sn与an的关系，an＝Sn－Sn－1(n≥2). 第三步，建立联系寻解题思路：(1)根据递推关系求出前4项，猜想Sn的表达式；(2)按照数学归纳法的解题步骤证明猜想. 第四步，书写过程养规范习惯. (1)解：S1＝a1＝－，S2＋＋2＝S2－S1⇒S2＝－，S3＋＋2＝S3－S2⇒S3＝－，S4＋＋2＝S4－S3⇒S4＝－. 由此猜想Sn＝－(n∈N＋). (2)证明：①当n＝1时，左边＝S1＝a1＝－，右边＝－＝－. ∵左边＝右边，∴等式成立. ②当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，假设Sk＝－成立， 则当n＝k＋1时，Sk＋1＋＋2＝Sk＋1－Sk，得＝－Sk－2＝－2＝＝＝－， 故Sk＋1＝－＝－， 所以当n＝k＋1时，等式也成立. 综合①和②，对一切n∈N＋，Sn＝－成立. [方法总结]　“归纳—猜想—证明”的一般环节 [训练2]　设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n. (1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； (2)求数列{2nan}的前n项和Sn. 解：(1)a2＝5，a3＝7. 猜想an＝2n＋1. 证明如下：当n＝1时，左边＝右边，等式成立. 假设当n＝k时等式成立，即ak＝2k＋1. 则当n＝k＋1时，ak＋1＝3ak－4k＝3(2k＋1)－4k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1. 故n＝k＋1时等式成立，即猜想成立. (2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n， 所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.　① 从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.　② ①－②得 －Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1. 所以Sn＝(2n－1)2n＋1＋2. 已知{an}为等比数列且an＝2n－1，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)，用数学归纳法证明对任意的n∈N＋，不等式··…·>成立. 证明：由已知条件可得bn＝2n(n∈N＋)，故所证不等式为··…·>. (1)当n＝1时，左边＝，右边＝，左边>右边， 所以不等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即··…·>， 则当n＝k＋1时，··…··>·＝ . 要证当n＝k＋1时，不等式成立，只需证≥，即证≥， 由基本不等式，得＝≥成立， 故 ≥成立. 所以当n＝k＋1时，不等式成立. 由(1)和(2)可知，对一切n∈N＋，不等式均成立. [方法总结]　用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用. [训练3]　已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N＋均有a≤an－an＋1成立. (1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1； (2)探究an与的大小关系，并证明你的结论. 证明：(1)由a≤an－an＋1，得an＋1≤an－a. ∵在数列{an}中，an>0， ∴an＋1>0.∴an－a>0. ∴0<an<1. ∴数列{an}中的任何一项都小于1. (2)由(1)知，0<a1<1＝，那么a2≤a1－a＝－(a1－)2＋≤<，由此猜想an<. 下面用数学归纳法证明：当n≥2，且n∈N＋时猜想正确. ①当n＝2时已证； ②假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，有ak<成立， 那么≤，ak＋1≤ak－a＝－(ak－)2＋<－(－)2＋＝－＝<＝. 所以，当n＝k＋1时，猜想正确. 综上，对于一切n∈N＋，都有an<. 1.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步需要证明(　　) A.1<2－ B.1＋<2－ C.1＋＋<2－ D.1＋＋＋<2－ 解析：第一步需要验证第一个n值，应为n＝2，此时不等式为1＋＋<2－. 2.已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　) A.f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B.f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C.f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D.f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 解析：结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2，共有n2－n＋1项，且f(2)＝＋＋. 3.用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是 ____________________________________________________. 解析：观察不等式中各项的分母变化知，n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋>－. ＋＋…＋＋＋>－ 4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为 ____________. Sn＝ 解析：S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝. 5.已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)，且a1＝0. (1)计算a2，a3，a4的值，并猜想an的表达式； (2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想. (1)解：a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.由此猜想an＝(n∈N＋). (2)证明：①当n＝1时，a1＝0，等式成立. ②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时等式成立，即ak＝. 当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝， 所以，当n＝k＋1时等式也成立. 由①和②知，对于任意的n∈N＋，an＝恒成立. $$