1.4 数学归纳法（2种题型基础练+能力提升练）数学湘教版2019选择性必修第一册

1.4 数学归纳法（2种题型基础练+能力提升练） 题型一：数学归纳法证明恒等式 1．（2023高三·全国·专题练习）证明∶不等式成立. 2．（23-24高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 3．（23-24高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 5．（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：． 题型二：数学归纳法证明数列问题 一、单选题 1．（22-23高二下·全国·课后作业）利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 二、多选题 2．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知为数列的前项和，且，则（    ） A．存在，使得 B．可能是常数列 C．可能是递增数列 D．可能是递减数列 三、解答题 3．（23-24高二上·上海·课后作业）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 4．（23-24高二上·上海·期末）用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：. 5．（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法分别证明公差为的等差数列的前项和公式与公比为的等比数列的前项和公式． 一、单选题 1．（22-23高二下·海南·期末）在正项数列中，，，则（    ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 2．（22-23高二下·辽宁大连·期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高三上·重庆·期中）设函数，数列满足，则（    ） A．当时， B．若为常数数列，则或2 C．若为递减数列，则 D．当时， 4．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）已知正项数列中，，且，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C． D． 三、解答题 5．（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2) ． 6．（22-23高二·全国·课堂例题）设，． (1)当时，计算的值； (2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． 7．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知数列满足，，是其前n项和. (1)计算，，并猜想的通项公式，用数学归纳法证明； (2)记，求. 8．（2022高三上·河南·专题练习）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为． (1)若对，为常数k，求k； (2)若，用数学归纳法证明：． 9．（22-23高三·全国·对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 10．（22-23高二下·北京房山·期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为． (1)计算，，，的值； (2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明． 11．（22-23高二下·陕西西安·期中）设数列满足，. (1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明； (2)若数列的前项和为，证明：. 12．（21-22高二下·河南洛阳·阶段练习）设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)求数列，求的前项和． 13．（2023·广西桂林·模拟预测）设数列的前项和为，且与的等差中项为. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，证明：. 14．（2024高三上·全国·竞赛）数列满足且，，，构成等差数列. (1)试求出所有三元实数组(α,β,γ)，使得为等比数列. (2)若，求的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 数学归纳法（2种题型基础练+能力提升练） 题型一：数学归纳法证明恒等式 1．（2023高三·全国·专题练习）证明∶不等式成立. 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明即可. 【详解】①当时，左边右边，∴不等式成立. ②假设当时不等式成立，即. ③当时， 左边 ， ∴当时，不等式也成立. 综上可得，原不等式恒成立. 2．（23-24高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【分析】 根据数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】当时，左侧，右侧，显然成立， 假设时， 当时， ， 即当时，等式也成立， 综上可得，． 3．（23-24高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【分析】根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当时成立，进而假设时等式成立，证明时，等式也成立；即可得证． 【详解】设． ①当时，左边，右边，等式成立； ②设当时等式成立，即， 则当时， ． 由①②可知当时等式都成立． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立； （2）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立. 【详解】（1）证明：记， 当时，则有，等式成立， 假设当，等式成立，即， 则， 这说明当时，等式成立， 故对任意的，. （2）证明：设， 当时，，等式成立， 假设当时，等式成立， 即， 所以， ， 这说明当时，等式成立， 所以，对任意的，. 5．（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】当时，验证等式成立；假设当时，等式成立，利用复数的运算以及两角和的正弦、余弦公式证明出当时，等式也成立，再由归纳原理可知，结论成立. 【详解】证明：当时，等式显然成立， 假设当时，等式成立，， 则当时， ， 这说明当时，等式成立， 因此，对任意的，. 题型二：数学归纳法证明数列问题 一、单选题 1．（22-23高二下·全国·课后作业）利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】利用数学归纳法，分别写出和的式子，作差能够得到增加的项. 【详解】当时，左边， 当时，左边， 左边增加的项为，共项. 故选：D 二、多选题 2．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知为数列的前项和，且，则（    ） A．存在，使得 B．可能是常数列 C．可能是递增数列 D．可能是递减数列 【答案】ABD 【分析】取，可判断AB选项；利用反证法可判断C选项；取，求出数列的通项公式，结合数列的单调性可判断D选项. 【详解】因为为数列的前项和，且， 对于A选项，取，则，则，A对； 对于B选项，取，则，，， 以此类推可知，对任意的，，所以，可能是常数列，B对； 对于C选项，假设数列为递增数列，则对任意的，， 即，所以，对任意的恒成立， 但当时，，矛盾，故数列不可能是递增数列，C错； 对于D选项，取，则，，， 猜想，， 当时，猜想成立， 假设当时，猜想成立，即， 则当时，， 这说明当时，猜想也成立，故对任意的，， 此时，数列为单调递减数列，D对. 故选：ABD. 三、解答题 3．（23-24高二上·上海·课后作业）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【答案】(1)，，，， (2)，证明见解析 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可. 【详解】（1）因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以舍去， 同理可得：舍去，舍去，舍去， 所以，，，，； （2）猜想：，证明过程如下： 当时，显然成立， 假设当时成立，即， 当时，， 解得：，或， 因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 显然， 所以，舍去， 所以当时，成立， 综上所述： 4．（23-24高二上·上海·期末）用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：. 【答案】证明见解析 【分析】先验证时成立，再假设时成立，最后计算时成立即可. 【详解】当时，，结论成立； 假设①当时，， ②则当时， ，结论成立； 综合由①②知，对于任意正整数都有：. 5．（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法分别证明公差为的等差数列的前项和公式与公比为的等比数列的前项和公式． 【答案】证明见解析 【分析】先验证当时，两个结论都成立，然后假设当时，两个结论成立，利用数列前项和的定义推导出当时，两个结论也成立，结合归纳原理可得结论成立. 【详解】证明：先证明公差为的等差数列的前项和公式， 当时，，结论成立， 假设当时，结论成立，即， 则当时，， 这说明当时，结论也成立， 由归纳原理可知，公差为的等差数列的前项和公式. 接下来证明：公比为的等比数列的前项和公式. 因为，当时，，结论成立， 假设当时，结论成立，即， 则当时， ， 这说明当时，结论也成立， 由归纳原理可知，公比为的等比数列的前项和公式. 一、单选题 1．（22-23高二下·海南·期末）在正项数列中，，，则（    ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 【答案】A 【分析】先判断大小关系，进而假设数列单调性，利用数学归纳法证明即可得结论. 【详解】由，且， 显然成立， 假设，成立， 当时，则， 所以，故为递减数列. 故选：A 2．（22-23高二下·辽宁大连·期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据和时，对比左边的表达式，进行计算即可. 【详解】时，可得： 时，可得：， 故增加了项. 故选：A 二、多选题 3．（23-24高三上·重庆·期中）设函数，数列满足，则（    ） A．当时， B．若为常数数列，则或2 C．若为递减数列，则 D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据函数图像，数列递推关系式，及常数数列，递减数列概念可判断 A，B，C 选项，对D由递推关系，结合裂项求和可判断. 【详解】的图象如下图：    对A，当时，， ， 同理，…，，故A正确； 对B，若为常数数列，则， 当时，有无解， 当时，，解得或2，故B正确； 对C，若为递减数列，则， 当时，， 当时，， 所以或，故C不正确； 对D，当时，， 又由可得：， ， 故 ，故D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）已知正项数列中，，且，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据数列单调性的判断方法即可判断选项A；利用特殊值法可判断选项B；利用数学归纳法可判断选项C； 先根据已知条件得，，再对进行化简，即可判断选项D. 【详解】由是正项数列，得. 由，得，即. 对于选项A：因为，则， 所以数列是递增数列，故选项A正确； 对于选项B，因为，且，则， 所以，与矛盾，故选项B错误； 对于选项C：当时，则成立； 假设当时，有成立； 令，则， 而， 则， 即成立. 所以恒成立，故选项C正确； 对于选项D：因为，则， 所以 . 因为，且， 则；；；. 因为数列是递增数列 则， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列的递推关系式判断数列的单调性，数列的项及求和.解题关键在于对数列基本知识的掌握和灵活使用.难点在于选项C利用数学归纳法判断；选项D对递推关系式进行变形，利用裂项相消进行求和；借助数列的单调性得，即可判断. 三、解答题 5．（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2) ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据数学归纳法的步骤，先分析当时成立，再假设当时成立推导时也成立即可. 【详解】（1）当时，成立； 假设当时成立， 则 ， 即成立， 故当时也成立. 综上有 （2）当时，成立； 假设当时成立， 则 ， 故当时也成立. 故 6．（22-23高二·全国·课堂例题）设，． (1)当时，计算的值； (2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】(1)8，32，144，680； (2)猜想：当时，能被8整除，证明见解析. 【分析】（1）根据给定关系式，代入计算作答. （2）由（1）的结果，猜想结论，再利用数学归纳法证明作答. 【详解】（1）由，，得； ；； ． （2）由（1）猜想：当时，能被8整除． ①当时，有，能被8整除，命题成立； ②假设当时命题成立，即能被8整除， 则当时， ， 显然和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除， 又依归纳假设，能被8整除，所以能被8整除，因此当时命题也成立， 由①②知，当时，能被8整除. 7．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知数列满足，，是其前n项和. (1)计算，，并猜想的通项公式，用数学归纳法证明； (2)记，求. 【答案】(1)，，猜想，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据递推关系计算出，猜想通项公式并利用数学归纳法进行证明. （2）利用裂项求和法求得 【详解】（1），，猜想 当时，，满足猜想， 假设当时，猜想成立，即， 则当时， ，所以当时猜想也成立， 综上，猜想成立，即. （2），， ， . 8．（2022高三上·河南·专题练习）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为． (1)若对，为常数k，求k； (2)若，用数学归纳法证明：． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1），根据等差数列公式得到，解得答案. （2）确定，验证时成立，假设时成立，计算时也成立，得到证明. 【详解】（1），可得， 整理得，所以， 又，故，所以常数的值为4． （2），则． ①当时，，，结论成立； ②假设当时，结论成立，即，即， 则当时， ， 即，所以当时，结论也成立． 由①②可得，原结论成立． 9．（22-23高三·全国·对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【答案】存在，且的最大值为 【分析】 求出、的最大公约数，可得出的值，然后利用数学归纳法证明出都能被整除，即可得出结论. 【详解】解：，， 所以，、的最大公约数为， 猜想：对任意的，能被整除， 当时，猜想显然成立； 假设当，猜想成立，即能别整除， 即存在，使得， 则当时， ， 因为为奇数，则为偶数，则能被整除， 所以，能被整除， 这说明当时，猜想也成立， 故对任意的，对任意正整数都能被整除，且. 故的最大值为. 10．（22-23高二下·北京房山·期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为． (1)计算，，，的值； (2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明． 【答案】(1)，，， (2)，证明见解析. 【分析】（1），从而可得出， （2）猜想，然后根据数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】（1）因为， 所以，， ， . （2）猜想， 下面用数学归纳法进行证明： 当时，，猜想正确， 假设当时，猜想也正确， 则有， 当时，， 所以时，猜想也正确， 综上所述，. 11．（22-23高二下·陕西西安·期中）设数列满足，. (1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，证明详见解析 (2)证明详见解析 【分析】 （1）先求得，，然后猜想并利用数学归纳法进行证明. （2）利用裂项求和法求得，进而证得不等式成立. 【详解】（1）依题意，，，则， 所以， 猜想. 当时，成立， 假设当时，猜想成立，即， 则当时， ，猜想成立， 所以. （2）， 所以 . 12．（21-22高二下·河南洛阳·阶段练习）设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)求数列，求的前项和． 【答案】(1)，，，猜想，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用递推关系式可求得，由此可猜想得到通项公式；利用数学归纳法可证得通项公式成立； （2）由（1）可得，采用错位相减法可求得. 【详解】（1）由，得：；；； 由此可猜想，证明如下： 当时，，即成立； 假设当时，成立， 那么当时，，即成立； 综上所述：当时，. （2）由（1）得：， ，， 两式作差得：， . 13．（2023·广西桂林·模拟预测）设数列的前项和为，且与的等差中项为. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)利用与关系，得到与间的关系，再利用定义即可证明结论；(2)利用数学归纳法即可证明结论. 【详解】（1）依题知得 . 当时， 当时， . ，得到，可变形为， . 所以，数列是等比数列. （2）由①得 即证明： 下面用数学归纳法证明此不等式： ①当时，不等式左边=2，不等式成立 ②假设当时不等式成立，即： 那么，当时，左边 要证， 只要证 所以不等式成立 即当时不等式成立 综合①､②原不等式对一切正自然数成立. 14．（2024高三上·全国·竞赛）数列满足且，，，构成等差数列. (1)试求出所有三元实数组(α,β,γ)，使得为等比数列. (2)若，求的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】(1）由题意可知，化简得，从而可得，由于的任意性，从而可令，从而求得恒成立，从而可求解. (2)由题意可记，可知是的两根，从而求出，然后利用归纳法证明，从而可求解. 【详解】（1）依题意得 设， 则   又因为，则 从而为常数， 由的任意性知 ，于是，又由于等比数列中不能有， 故， 于是， 此时恒为 ，满足等比数列的要求. （2）记   注意到是关于的一元二次方程的两根，故 下面归纳证明：， 当时，结论显然成立； 对，假设结论对成立， 注意到，故 从而结论对也成立，完成归纳. 综上. 【点睛】关键点点睛：（2)中关键是根据，构造出，然后利用数学归纳法证明，从而可求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$