1.2.2 等差数列与一次函数（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第1章　数列 1.2　等差数列 1.2.2　等差数列与一次函数 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解等差数列通项公式与一次函数的关系. 2.能从函数角度研究等差数列的图象和性质. 3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 1.通过从函数角度研究等差数列的图象和性质培养直观想象、逻辑推理的核心素养. 2.通过等差数列解决综合问题，达成逻辑推理、数学建模的核心素养. 栏目索引 课前·预习案 课堂·探究案 冲关·演练案 一、从函数角度研究等差数列的图象与性质 (1)对于一般的等差数列{an}，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y＝a1＋(x－1)d＝dx＋(a1－d). 当d≠0时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)； 当d＝0时，y＝a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是直线. 等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成. 课前·预习案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 (2)等差数列的增减性 当d>0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右上升，等差数列{an}递增，如图甲所示. 当d<0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右下降，等差数列{an}递减，如图乙所示. 当d＝0时，y＝a1为水平方向的直线，数列{an}为常数列，如图丙所示. 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”. (1)等差数列的图象要么是上升的、要么是下降的.(　　) (2)若an＝An＋B，则它是以A＋B为首项，A为公差的等差数列.(　　) (3)已知an＋1＝an＋3，则数列{an}为递增数列.(　　) (4)已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 2.在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于(　　) A.32　　　　　　　　 B.－32 C.35 D.－35 C 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 A 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 课堂·探究案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 D 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 解析：利用等差数列的单调性可得：若a2>a1，所以公差d>0，所以等差数列{an}是递增数列，所以a3－a1＝2d>0，a3－a2＝d>0成立，所以A，B正确； 若a3>a1，则a3－a1＝2d>0，所以a2－a1＝d>0成立，所以C正确； 若a2>a1，a1＋a2>a1不一定成立，例如a1<0时不一定成立，所以D不一定成立.故选D. 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 C 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 D 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 A 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 B 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 甲 乙 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 B 冲关·演练案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 C 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 B 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 课后巩固 谢谢观看！ 从函数的观点看，等差数列{an}的任意两项的函数值之差与相应自变量之差的比为公差d，即d＝.变形得：an＝am＋(n－m)d. 3.已知等差数列{an}的公差为d，若{an}为递增数列，则(　　) A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0 4.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升. 答案： 已知(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点. (1)求这个数列的通项公式； (2)画出这个数列的图象； (3)判断这个数列的单调性. 解：(1)由于(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝1，a3＝5. 由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，解得d＝2，于是an＝2n－1. (2)图象是直线y＝2x－1上一些等间隔的点，如图所示： (3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列. [方法总结]　理解等差数列的通项公式与一次函数的关系，强化数学的本质，渗透数形结合思想、转化与化归思想及函数与方程思想，解完本例后，要领悟反思这些思想方法，充分挖掘本例的训练价值. [训练1]　“等差数列{an}，若p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at”是等差数列的一条性质，下图是它的一种情形.那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？ 解：根据等差数列的函数特性，公差d即为图中直线的斜率，∴d＝＝. ∵p＋q＝s＋t，∴p－s＝t－q，∴ap－as＝at－aq， ∴ap＋aq＝as＋at. (1)已知数列{an}为等差数列，则下面不一定成立的是(　　) A.若a2>a1，则a3>a1 B.若a2>a1，则a3>a2 C.若a3>a1，则a2>a1 D.若a2>a1，则a1＋a2>a1 (2)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则(　　) A.d<0　　　　　　 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0 解析：∵数列{2a1an}为递减数列，a1an＝a1[a1＋(n－1)d]＝a1dn＋a－a1d， 等式右边为关于n的一次函数，∴a1d<0. (3)首项为－21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d满足(　　) A.d>3 B.d< C.3≤d< D.3<d≤ 解析：an＝－21＋(n－1)d. ∵从第8项起开始为正数，∴a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d>0，解得3<d≤. [方法总结]　等差数列单调性问题主要是比较项数大小、判断数列增减性、求变量的取值范围等，解决这些问题要将数列看作一个特殊的函数，通过通项公式及公差d的符号进行求解，同时应注意n∈N＋这一条件. [训练2]　已知等差数列{an}的公差d为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d等于(　　) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 解析：在等差数列{an}中，由a1＝13，a5<0，得，得－≤d<－， ∵公差d为整数，∴d＝－4. 命题角度1　等差数列通项公式的变形应用 等差数列{an}中，am＋n＝α，am－n＝β，则其公差d的值为(　　) A. B. C. D. 解析：∵am＋n－am－n＝[(m＋n)－(m－n)]d ＝2nd＝α－β， ∴d＝. 命题角度2　等差数列函数特性的综合应用 直角坐标平面上有一点列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，…，对每个正整数n，点Pn位于函数y＝3x＋的图象上，且Pn的横坐标构成以－为首项，－1为公差的等差数列{xn}. (1)求点Pn的坐标； (2)设S＝{x|x＝2xn，n∈N＋，n≥1}，T＝{y|y＝4yn，n∈N＋，n≥1}，等差数列{an}的任一项an∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大数，－265<a10<－125，求{an}的通项公式. 解：(1)∵xn＝－n－，yn＝－3n－. ∴点Pn坐标为(－n－，－3n－). (2)∵S＝{x|x＝－(2n＋3)，n∈N＋，n≥1}， T＝{y|y＝－(12n＋5)，n∈N＋，n≥1}＝{y|y＝－2(6n＋1)－3，n∈N＋，n≥1}， ∴S∩T＝T.T中最大数为a1＝－17，设{an}的公差为d， 则a10＝－17＋9d∈(－265，－125)，由此得：－<d<－12. 又∵an∈T，∴d＝－12m(m∈N＋，m≥1)， ∴d＝－24，故an＝7－24n(n∈N＋，n≥1). [方法总结]　解决数列综合问题的方法 (1)结合等差数列的通项公式变形：an＝am＋(n－m)d，d＝，灵活应用，注意整体化思想. (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. (3)利用函数或不等式的有关方法解决. [训练3]　甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息回答问题. (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由. 解：由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn. (1)由a1＝1，a6＝2，得 所以得a2＝1.2； 由b1＝30，b6＝10，得 所以得b2＝26. 所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2， 即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只. (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.理由如下：∵c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30， ∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了. 1.已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7＝－12，a4＋a6＝－4，则公差d为(　　) A.－1　　　　B.2　　　　C.3　 D.－3 解析：由等差数列{an}的公差为正数可得等差数列{an}为递增数列， ∵a4＋a6＝－4， ∴a3＋a7＝－4，∵a3·a7＝－12且公差为正数， ∴a3＝－6，a7＝2， ∴d＝＝2. 2.设{an}是等差数列，则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：设{an}是等差数列，若a1<a2<a3，可得d＝a2－a1＝a3－a2>0， 所以数列{an}是递增数列，即充分性成立； 若数列{an}是递增数列，则必有a1<a2<a3，即必要性成立， 所以“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的充分必要条件. 3.等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为(　　) A.a8 B.a9 C.a10 D.a11 解析：∵|an|＝|70＋(n－1)×(－9)|＝|79－9n|＝9，∴当n＝9时，|an|最小. 4.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，作出该数列的图象并判断该数列的增减性. 解：分别取n＝1，2，3，…，得到点(1，－1)，(2，－4)，(3，－7)，(2，3)，(3，5)，…，描点作出图象如下图.该数列的图象是直线y＝2－3x上的一些等间隔的点. 由图象可知该数列为递减数列. $$