课时测评4 等差数列与一次函数-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评4　等差数列与一次函数 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，则a101的值为(　　) A.52　　　　 B.50　　　　 C.51　　　　 D.49 答案：A 解析：由已知得，an＋1－an＝，n∈N＋，所以{an}是首项为2，公差为的等差数列.所以a101＝2＋100×＝52. 2.已知数列{an}为等差数列，则下列不一定成立的是(　　) A.若a2＞a1，则a3＞a1 B.若a2＞a1，则a3＞a2 C.若a3＞a1，则a2＞a1 D.若a2＞a1，则a1＋a2＞a1 答案：D 解析：利用等差数列的单调性可得，若a2＞a1，则公差d＞0，所以等差数列{an}是递增数列，所以a3－a1＝2d＞0，a3－a2＝d＞0成立，所以A，B正确； a1＋a2＞a1不一定成立，例如a2＜0时不成立，所以D不一定成立； 若a3＞a1，则a3－a1＝2d＞0，所以a2－a1＝d＞0成立，所以C正确. 3.已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　) A.7 B.5 C.3 D.1 答案：D 解析：由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝(2an＋1－3bn＋1)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1. 4.已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对∀n∈N＋都有2＝＋，则a10等于(　　) A.10 B. C.64 D.4 答案：D 解析：对∀n∈N＋都有2＝＋，由等差中项法可知，数列为等差数列， 由于a1＝1，a2＝2，则数列的公差为d＝－＝7， 所以＝＋9d＝1＋9×7＝64，因此a10＝4. 5.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于(　　) A.8 B.4 C.6 D.12 答案：A 解析：因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.故选A. 6.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是(　　) A.{｜an｜} B.{an＋1－an} C.{pan＋q}(p，q为常数) D.{2an＋n} 答案：BCD 解析：数列－1，1，3是等差数列，取绝对值后：1，1，3不是等差数列，A不成立. 若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知，{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立. 若{an}的公差为d， 则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数， 故{pan＋q}是等差数列，C成立. (2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数， 故{2an＋n}是等差数列，D成立. 7.已知数列{an}的通项公式为an＝4n－102，那么数列从第　　　　项开始值大于零. 答案：26 解析：令an＝4n－102＞0，解得n＞25.5，因为n∈N＋， 所以n≥26，故从第26项开始值大于零. 8.已知在数列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N＋)，则a10＝　　　　. 答案： 解析：由＝＋，得－＝， 所以数列＝1为首项，以为公差的等差数列，则＝1＋(n－1)＝， 所以an＝，则a10＝＝. 9.(10分)已知三个数成等差数列，它们的和为6，平方和为44，求这三个数. 解：设这三个数为a－d，a，a＋d， 则 所以这三个数为－2，2，6或6，2，－2. 10.(10分)已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋). (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 解：(1)证明：由＝＝＝＝＝＋， 得－＝， 故数列是首项为1，公差为的等差数列. (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝， 所以an＝，n∈N＋. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知在数列{an}中，f(x)＝，则数列是(　　) A.首项为，公差为的等差数列 B.首项为，公差为的等差数列 C.首项为，公差为的等差数列 D.首项为，公差为的等差数列 答案：B 解析：因为函数f(x)＝，所以an＝f(an－1)＝，n≥2且n∈N＋，所以－＝，又因为a1＝2，所以数列，公差为的等差数列. 12.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　) A.a1＋a101＞0 B.a1＋a101＜0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝51 答案：C 解析：由等差数列的性质得，a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51， 由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0， 故a3＋a99＝2a51＝0. 13.已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝　　　　. 答案：n2(n∈N＋) 解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故通项公式为＝n，所以an＝n2(n∈N＋). 14.(13分)已知数列{an}为等差数列，且公差为d. (1)若a15＝8，a60＝20.求a65的值； (2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d. 解：(1)等差数列{an}中， 由a15＝8，a60＝20，得 解得d＝，a65＝a60＋5d＝20＋＝. (2)数列{an}为等差数列，公差为d且a2＋a3＋a4＋a5＝34，所以a2＋a5＝17，结合a2a5＝52， 解得a2＝4，a5＝13或a2＝13，a5＝4. 又a5＝a2＋3d，即13＝4＋3d或4＝13＋3d， 解得d＝3或d＝－3. 15.(5分)等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N＋都有＝，则＋＝　　　　. 答案：1 解析：由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6， 所以＋＝＝＝＝1. 16.(17分)在等差数列2，5，8，…中，每相邻两项间插入3个数，构成一个新的等差数列. (1)求原数列的通项公式； (2)原数列的第10项是新数列的第几项？ (3)新数列的第2 021项是原数列的第几项？求新数列的通项公式. 解：(1)由等差数列2，5，8，…，得a1＝2，公差d＝3，则an＝a1＋(n－1)d＝3n－1. (2)原数列的第1项是新数列的第1项，原数列的第2项是新数列的第2＋3＝5项，原数列的第3项是新数列的第3＋2×3＝9项，…，原数列的第n项是新数列的第n＋(n－1)×3＝(4n－3)项.当n＝10时，4n－3＝4×10－3＝37.所以原数列的第10项是新数列的第37项. (3)令4n－3＝2 021，得n＝506，即新数列的第2 021项是原数列的第506项. 法一：设新数列为{bn}，公差为d1，由b1＝2，b5＝5，得2＋4d1＝5，解得d1＝，所以bn＝b1＋(n－1)＝. 法二：设新数列为{bn}，依题意，得b4n－3＝an＝3n－1，令k＝4n－3，得n＝⇒bk＝，所以bn＝. 学生用书⬇第13页 学科网（北京）股份有限公司 $