章末测试卷(6) 统计学初步（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

章末测试卷(六)　统计学初步 (时间：120分钟　满分：150分) [对应学生用书P307] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某校为了解高一学生的生涯规划情况，在高一年级10个班级中任选两个班级，并在所选的班级中按男女比例抽取样本，则应采用的抽样方法是(　　) A．简单随机抽样 B．分层抽样 C．先用分层抽样，再用随机数法 D．先用抽签法，再用分层抽样 D　[从10个班级中取出两个班级，用抽签法，在所选班级中按照男女比例抽取，用分层抽样．] 2．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则|a－b|等于(　　) A．hm　　B．　　C．　　D．h＋m B　[＝h，故|a－b|＝组距＝＝.] 3．某学校对100间学生公寓进行综合评比，依考核分数分为A，B，C，D四种等级，其中分数在[60，70)为D等级，有15间；分数在[70，80)为C等级，有40间；分数在[80，90)为B等级，有20间；分数在[90，100]为A等级，有25间．考核评估后，得其频率分布直方图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的百分位数P80是(　　) A．90 B．92 C．95 D．80 B　[根据题意，由直方图可知，在[60，70)内的频率为0.15，在[70，80)内的频率为0.40，在[80，90)内的频率为0.20，其和为0.75，故可知P80在90～100之间，由90＋10×＝92，可知满足题意的P80为92.] 4．某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据如下： 91，92，95，96，98，80，80，81，82，84，85，87，88，70，72, 72，73，73，73，74，75，75，76，79，60，62，62，63，64，64，64，65，67，67，68，69，56，56，58，59. 若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行样本量比例分配的分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为(　　) A．2 B．4 C．5 D．6 B　[由数据可得，获得“诗词能手”称号的有16人，据该次比赛的成绩按照称号的不同进行样本容量比例分配的分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为16×＝4.] 5．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数，方差分别是(　　) A．2， B．2，1 C．4， D．4，3 D　[因为数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，所以＝2，(xi－2)2＝，因此数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数为(3xi－2)＝3×i－2＝4，方差为(3xi－2－4)2＝(3xi－6)2＝9×(xi－2)2＝9×＝3.] 6．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/km2)： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 其中产量比较稳定的小麦品种是(　　) A．甲 B．乙 C．稳定性相同 D．无法确定 A　[甲＝×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，乙＝×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10，即甲、乙两种冬小麦的平均单位面积产量的均值都等于10，其方差分别为s＝×(0.04＋0.01＋0.01＋0＋0.04)＝0.02，s＝×(0.36＋0.09＋0.64＋0.09＋0.04)＝0.244，即s<s，表明甲种小麦的产量比较稳定．] 7．记样本x1、x2、…、xm的平均数为，样本y1、y2、…、yn的平均数为(≠).若样本x1、x2、…、xm、y1、y2、…、yn的平均数为＝＋，则的值为(　　) A．3　　　　　　　　 B．4 C． D． D　[因为x1、x2、…、xm的平均数为，则x1＋x2＋…＋xm＝m， 又因为样本y1、y2、…、yn的平均数为(≠)，则y1＋y2＋…＋yn＝n， 所以样本x1、x2、…、xm、y1、y2、…、yn的平均数为 ＝＝＝＋， 整理可得(3m－n)(－)＝0， 因为≠，则－≠0，故3m－n＝0，故＝.] 8．为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4∶3∶3∶2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为n的样本，已知样本中O型血的人数比AB型血的人数多20，则n＝(　　) A．100　　B．120　　C．200　　D．240 B　[因为感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4∶3∶3∶2， 所以抽取样本量为n的样本中，O型血的人数为n, AB型血的人数为n， 所以n－n＝20，解得n＝120.] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．进入冬季，哈尔滨旅游火爆全网，下图是2024年1月1日到1月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则(　　) A．中央大街日旅游人数的极差是1.2 B．冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3 C．冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大 D．冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大 BC　[对于A，中央大街日旅游人数的最大值为2.8万，最小值为0.9万，极差为1.9万，故A错误． 对于B，冰雪大世界日旅游人数由小到大依次为：1.7，1.8，1.9，2.3，2.4，2.6，2.9，其中位数为2.3，故B正确． 对于C，冰雪大世界日旅游人数的平均值为＝， 中央大街日旅游人数的平均值为 ＝2， 因＞2，故C正确． 对于D，冰雪大世界日旅游人数的方差为 －()2 ＝－()2＜5.2－2.22＝0.36， 中央大街日旅游人数的方差为 －4＝＞0.36， 故冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街小，故D错误．] 10．2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数(PMI)如下图所示： (%)50%＝与上月比较无变化 则下列说法正确的是(　　) A．从2022年7月到2023年7月，这13个月的制造业采购经理指数(PMI)的极差为5.8% B．2023年7月份，制造业采购经理指数(PMI)为49.3%，比上月上升0.3个百分点 C．从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数(PMI)的第71百分位数为50.1% D．从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数(PMI)的平均数约为48.78% BCD　[由图知，制造业采购经理指数(PMI)的最大值为52.6%，最小值为47.0%， 所以极差为52.6%－47.0%＝5.6%，故A错误； 由图可知，2023年7月份，制造业采购经理指数(PMI)为49.3%，6月份为49.0%， 则7月比6月上升0.3个百分点，故B正确； 从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数(PMI)从小到大的顺序为 48．8%，49.0%，49.2%，49.3%，50.1%，51.9%，52.6%， 因为7×71%＝4.97， 所以第71百分位数为第5个数，即为50.1%，故C正确； 由图可知从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数(PMI)的平均数为 ≈48.78%，故D正确．] 11．某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时(每天的工作时间以整数小时计)，则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有(　　) A．甲企业：均值为5，中位数为8 B．乙企业：众数为6，中位数为6 C．丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8 D．丁企业：均值为5，方差为6 ABD　[甲企业每周7天的工作时间可以为：9，8，8，8，2，0，0，满足均值为5，中位数为8，故不达标，故A正确； 乙企业：众数为6，中位数为6，满足条件的7天工作时间可以为：6，6，6，6，6，6，6，故不达标，故B正确； 丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8， 设7天的工作时间为：4，5，5，8，a，b，c(a≤4≤b≤8≤c)，b＋c＋a＝13，∴c≤13－b≤9，c＝9，b＝4与众数为5矛盾，c＝8，为使众数为5，b＝5成立，故丙企业达标，故C错误； 丁企业：均值为5，方差为6，7天的工作时间可以为0，5，5，5，5，6，9，故D正确．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上． 12．对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度(单位：m/s)的数据如下： 27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36 则他的最大速度的百分位数P25是_____________． 29．5　[把数据从小到大排序，得27，28，29，30，31，33，34，35，36，36，38，38，由12×25%＝3，可知P25为第3项与第4项数据的平均数，即(29＋30)＝29.5.] 13．某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．由条形统计图可知本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的占被调查人数的百分比是________，若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，则全校学生中最喜欢跳绳活动的人数估计为________. 36%　160　[最喜欢篮球活动的占被调查人数的百分比是×100%＝36%， 由图2可知，九年级学生人数占全校学生总人数的1－(26＋24＋30)%＝20%， 则全校总人数为200÷20%＝1 000人， 则全校学生中最喜欢跳绳活动的人数估计为1 000×＝160人．] 14．某校教师男女人数之比为5∶4，该校所有教师进行1分钟限时投篮比赛．现记录了每个教师1分钟命中次数，已知男教师命中次数的平均数为17，方差为16，女教师命中次数的平均数为8，方差为16，那么全体教师1分钟限时投篮次数的方差为___________． 36　[设男女人数分别为5a，4a，则男女教师总命中次数分别为85a、32a， 所以全体教师平均命中次数为＝13， 若男教师命中次数为x1，x2，…，xm(m＝5a)，女教师命中次数为y1，y2，…，yn(n＝4a)， 所以(xi－17)2＝80a，(yi－8)2＝64a， 全体教师1分钟限时投篮次数的方差为s2，则 (m＋n)s2＝(x1－13)2＋(x2－13)2＋…＋(xm－13)2＋(y1－13)2＋(y2－13)2＋…＋(yn－13)2 ＝(x1－17＋4)2＋…＋(xm－17＋4)2＋(y1－8－5)2＋…＋(yn－8－5)2 ＝(xi－17)2＋8(xi－17)＋16m＋(yi－8)2－10(yi－8)＋25n ＝(xi－17)2＋16m＋(yi－8)2＋25n ＝80a＋80a＋64a＋100a ＝324a， 所以s2＝＝36.] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表． (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，精确到0.01)，附：≈8.602. 解　(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21. 产值负增长的企业频率为＝0.02. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%. (2)＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30， s2＝i(yi－)2＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6， s＝＝0.02×≈0.17. 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%. 16．(15分)随着互联网的发展，移动支付(又称手机支付)越来越普遍，某学校兴趣小组为了解移动支付在大众中的熟知度，对15～65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有n个人，把这n个人按照年龄分成5组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65]，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第一组的频数为20. (1)求n和x的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数； (2)从第1，3，4组中用比例分配的分层抽样的方法抽取6人，求第1，3，4组抽取的人数． 解　(1)由题意可知，n＝＝100， 由10×(0.020＋0.036＋x＋0.010＋0.004)＝1，解得x＝0.030，由频率分布直方图可估计这组数据的众数为30. (2)第1，3，4组频率之比为 0．020∶0.030∶0.010＝2∶3∶1， 则从第1组抽取的人数为6×＝2，从第3组抽取的人数为6×＝3，从第4组抽取的人数为6×＝1. 17．(15分)有1个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下： [12.5，15.5)，6；[15.5，18.5)，16；[18.5，21.5)，18；[21.5，24.5)，22；[24.5，27.5)，20；[27.5，30.5)，10；[30.5，33.5]，8. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)根据频率分布表估计样本的百分位数P90. 解　(1)样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 [12.5，15.5) 6 0.06 [15.5，18.5) 16 0.16 [18.5，21.5) 18 0.18 [21.5，24.5) 22 0.22 [24.5，27.5) 20 0.20 [27.5，30.5) 10 0.10 [30.5，33.5] 8 0.08 合计 100 1.00 (2)频率分布直方图如图所示： (3)由频率分布表知，小于30.5的数据所占的比例为92%，所以P90一定在区间[27.5，30.5)内．由27.5＋3×＝29.9，可以估计样本的P90为29.9. 18．(17分)某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图： (1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？ (2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费． 解　(1)前四个小矩形面积之和为0.2×0.5＋0.3×0.5＋0.4×0.5＋0.5×0.5＝0.7，第五个小矩形的面积为0.3×0.5＝0.15.因为w为整数，所以w至少定为3. (2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下： 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为 4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元). 19．(17分)某食品加工厂生产出A，B两种新配方饮料，现从生产的A，B这两种饮料产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85的为废品，在[85，115)内的为一等品，大于或等于115的为特等品．现把A，B两种配方饮料的质量指标值的测量数据整理如下表及图，其中B饮料的废品有6件． A配方饮料质量指标值的频数分布表 质量指标值 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 频数 8 a 36 24 8 B配方饮料质量指标值的频率分布直方图 (1)求a，b的值； (2)若从A，B两种饮料中选择一种进行推广，以两种饮料的质量指标值的均值为判断依据，试确定推广哪种比较好？(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 解　(1)因为A、B配方样本容量相同，设为n， 由于B配方废品有6件，由B配方饮料质量指标值的频率分布直方图可知，废品的频率为＝0.006×10，解得n＝100， 所以a＝100－(8＋36＋24＋8)＝24， 由1＝10×(0.006＋0.008＋b＋0.038＋0.022)，解得b＝0.026. (2)由(1)及A配方饮料质量指标值的频数分布表得， A配方质量指标值的样本平均数为A＝＝100， 方差为s＝[(－20)2×8＋(－10)2×24＋02×36＋102×24＋202×8]＝112. 由B配方饮料质量指标值的频率分布直方图知，B配方质量指标值的样本平均数为 B＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100， 样本方差为 s＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104， 所以A＝B，s＞s，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值的样本方差比B配方质量指标值的样本方差大，故选择B配方较好． 学科网（北京）股份有限公司 $$