章末测试卷(1) 集合与逻辑（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

章末测试卷(一)　集合与逻辑 (时间：120分钟　满分：150分) [对应学生用书P287] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示(　　) A．A∩B　　　　　 B．A⊇B C．A∪B D．A⊆B A　[因为集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，所以“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为A∩B.] 2．已知命题p：∀x∈R，x≥1，则命题p的否定为(　　) A．∀x∈R，x≤1 B．∃x∈R，x<1 C．∀x∈R，x≤－1 D．∃x∈R，x<－1 B　[全称量词命题的否定形式为∃x∈R，x<1.] 3．“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 A　[∵x>0⇒x≠0，而x≠0/⇒x>0， ∴“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．] 4．若全集U＝{0，1, 2，3}且∁UA＝{2}，则集合A的真子集共有(　　) A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 B　[∵U＝{0，1，2，3}且∁UA＝{2}， ∴A＝{0，1，3}．∴集合A的真子集共有23－1＝7(个).] 5．已知全集U＝{1，2，3，4}，若A＝{1, 3}，B＝{3}，则 (∁UA)∩(∁UB)等于(　　) A．{1, 2} B．{1, 4} C．{2, 3} D．{2, 4} D　[根据题意得，∁UA＝{2, 4}，∁UB＝{1, 2, 4}， 故得到(∁UA)∩(∁UB)＝{2, 4} .] 6．“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 C　[∵－2<x<1/⇒x>1或x<－1，且x>1或x<－1/⇒－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不充分也不必要条件．] 7．下列全称量词命题中真命题的个数是(　　) ①末位是0或5的整数，可以被5整除； ②钝角都相等； ③三棱锥的底面是三角形． A．0　　　　　　　　 B．1　　　 C．2 D．3 C　 [①正确；②错误，钝角不一定都相等，如120°，150°是钝角，但不相等；③正确，三棱锥四个面都是三角形．] 8．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅，则(　　) A．k<0或k>3 B．2<k<3 C．0<k<3 D．－1<k<3 C　[∁UA＝{x|1<x<3}，借助于数轴可得1<k＋1<3或1<k<3，所以0<k<3.] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知p是r的充分条件而不是必要条件，s是r的必要条件，q是r的充分条件，q是s的必要条件．则下列命题中正确的是(　　) A.s是q的充要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 AB　[由p是r的充分条件而不是必要条件，可得p⇒r，由s是r的必要条件可得r⇒s，由q是r的充分条件得q⇒r，由q是s的必要条件可得s⇒q，故可得推出关系如图所示： 据此可判断命题A、B正确．] 10．下列表述中正确的是(　　) A．若A⊆B，则A∩B＝A B．若A∪B＝B，则A⊆B C．(A∩B)A(A∪B) D．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB) ABD　[由题意知，对选项A，∵A⊆B，x∈A⇒x∈B，∴A∩B＝A.正确．对选项B，A∪B＝B，由Venn图可知A⊆B.正确．对选项C，若A＝B，则由真子集定义，只能得(A∩B)⊆A⊆(A∪B).错误．对选项D，集合运算的性质，即两个集合交集的补集等于它们补集的并集．正确．] 11．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为(　　) A．0，1是任何数域中的元素 B．若数集M，N都是数域，则M∪N是一个数域 C．存在无穷多个数域 D．若数集M，N都是数域，则整数集Z⊆M∩N ACD　[A选项，根据定义，由a∈P，则a－a＝0∈P，＝1∈P，则0，1是任何数域中的元素，故A正确； B选项，若数集M，N都是数域，不妨设M＝{a＋b|a，b∈Q}，N＝{c＋d|c，d∈Q}． 取x＝1＋∈M，y＝1＋∈N，则x－y＝－∉(M∪N)，则M∪N不是一个数域，故B错误； C选项，由题可知，任何一个形如M＝{a＋b|a，b∈Q}，k是素数的集合都是数域，而素数有无穷多个，并且k不同时集合也不同，故存在无穷多个数域，故C正确； D选项，由0，1是任何数域中的元素可得1＋1＝2∈P，0－1＝－1∈P依次类推，整数集是任何数域的子集，若数集M，N都是数域，则Z⊆M，Z⊆N，则整数集Z⊆M∩N，故D正确．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上． 12．已知集合A＝{y|y＝－2x，－1≤x≤2，y∈Z}，用列举法表示集合A＝____________． {－4，－3，－2，－1，0，1，2}　[∵－1≤x≤2， ∴－4≤－2x≤2，即－4≤y≤2. 又y∈Z，∴y＝－4，y＝－3，y＝－2，y＝－1，y＝0，y＝1，y＝2.] 13．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是__________． [－1，5]　[因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P.所以即所以－1≤a≤5.] 14．若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是__________． 3　[具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x－m＞0}． (1)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围； (2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围． 解　(1)∵A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x>m}， 又A∩B＝∅，∴m≥3. 即实数m的取值范围是[3，＋∞). (2)∵A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x>m}， 由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≤－1. 即实数m的取值范围是(－∞，－1]. 16．(15分)对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围． 解　令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5， 即ymin＝－5， 因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立， 所以只要m<－5即可． 所以所求m的取值范围是{m|m<－5}． 17．(15分)已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x≤a}． (1)求A∪B，(∁RA)∩B； (2)若A∩C≠∅，求a的取值范围． 解　(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}， 所以A∪B＝{x|2≤x<10}． ∁RA＝{x|x<2或x≥7}， 则(∁RA)∩B＝{x|7≤x<10}． (2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x≤a}，且A∩C≠∅， 所以a≥2， 所以a的取值范围为[2，＋∞). 18．(17分)求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 解　①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件； ②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则必须满足⇒a<0； 若方程有两个负的实根， 则必须满足⇒0<a≤. 综上，若方程至少有一个负实根，则a≤. 反之，若a≤，则方程至少有一个负实根． 因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤. 19．(17分)已知集合A＝{x|－3≤x≤10} ，B＝{x|2m＋1≤x≤3m－2}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围． 解　(1)由命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，可知B⊆A， 又B≠∅，所以 ，解得3≤m≤4. 故实数m的取值范围是[3，4]. (2)因为B≠∅，所以2m＋1≤3m－2，得m≥3. 因为命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题， 所以A∩B≠∅， 所以－3≤2m＋1≤10，或－3≤3m－2≤10，得－2≤m≤. 综上，实数m的取值范围是[3，]. 学科网（北京）股份有限公司 $$