3.2.1 函数的单调性与最值（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P218] 1．函数f(x)＝在R上(　　) A．是减函数　　　　　B．是增函数 C．先减后增 D．先增后减 B　[画出该分段函数的图象， 由图象知，该函数在R上是增函数．] 2．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　) B　[已知函数的图象，判断其在定义域内的单调性，应从它的图象是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知函数B在定义域内为增函数．] 3．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则(　　) A．f(3)<f(2)<f(1) B．f(1)<f(2)<f(3) C．f(2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(2) A　[对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，f(x)在R上是减函数．又3>2>1，所以f(3)<f(2)<f(1).] 4．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．以上都不对 A　[当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10； 当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.] 5．(多选题)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则a的取值可以是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 ABC　[由题意得f(x)＝(x－a)2－a2＋a，所以函数的对称轴为x＝a.若a≥1，则函数在区间(－∞，1)上是减函数．因为是开区间，所以没有最小值．所以a<1，此时当x＝a时取得最小值．所以a∈(－∞，1).] 6．函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间为________． 　[y＝|x|(1－x)＝作出其图象如图， 观察图象知单调递增区间为.] 7．用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________m. 3　[设隔墙长度为x(0＜x＜6) m，场地面积为S m2， 则S＝x＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18. 所以当x＝3时，S有最大值18 m2.] 8．已知函数f(x)＝(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________． (－∞，0)　[函数f(x)是反比例函数，若k>0，则函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数；若k<0，则函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数．所以k<0.] 9．已知函数f(x)＝求f(x)的最大值，最小值. 解　作出函数f(x)的图象(如图). 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0.故f(x)的最大值为1，最小值为0. 10．证明：函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 证明　任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x－－x＋＝(x1－x2). ∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋x2＋>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 11．已知函数f(x)＝x2＋ax＋4，若对任意的x∈(0，2]，f(x)≤6恒成立，则实数a的最大值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 A　[原问题可转化为a≤＝－x对任意的x∈(0，2]恒成立，因为y＝－x在(0，2]上单调递减，所以ymin＝1－2＝－1.所以a≤－1.所以实数a的最大值为－1.] 12．若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．无最大值 B　[在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图． 根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象，所以当x＝1时，f(x)max＝1.] 13．函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________，函数g(x)＝的单调递增区间是____________． [－1，＋∞)　[a，＋∞)　[f(x)＝的单调递减区间为(－1，＋∞)和(－∞，－1)，又f(x)在(a，＋∞)上是减函数，所以a≥－1.因为g(x)＝＝，所以函数g(x)＝的单调递增区间是[a，＋∞).] 14．函数f(x)是R上的减函数，且过点(－3，2)和(1，－2)，则使|f(x)|<2的自变量x的取值范围是________． (－3，1)　[∵f(x)是R上的减函数，f(－3)＝2，f(1)＝－2， ∴当x>－3时，f(x)<2；当x<1时，f(x)>－2. ∴当－3<x<1时，|f(x)|<2.] 15．已知f(x)＝(x≠a). (1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围． (1)证明　当a＝－2时，f(x)＝. 取∀x1，x2∈(－∞，－2)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. ∵x1<x2<－2，∴(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， ∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)解　取∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. ∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立．∴a≤1. 综上，a的取值范围是(0，1]. 16．若f(x)＝是R上的单调函数，求实数a的取值范围． 解　因为f(x)＝是R上的单调函数，且f(x)＝－x＋3a，x＜1是减函数， 所以f(x)＝，x≥1也为减函数，所以解得a≥.故实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$