3.1.3 简单的分段函数（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P215] 1．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　) A．　　　　B．3　　　　C．　　　　D． D　[∵f(3)＝≤1，∴f(f(3))＝＋1＝.] 2．函数f(x)＝x＋的图象是(　　) C　[当x>0时，f(x)＝x＋＝x＋1， 当x<0时，f(x)＝x－1，且x≠0， 根据一次函数图象可知C正确．故选C.] 3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是(　　) C　[因为先跑，跑累了再走余下的路，所以跑的时候速度比较快，走的时候速度比较慢 路程关于时间的函数图象中的斜率代表了速度，应当先增长的比较快，后增长的比较慢 符合条件的应是选项C.] 4．(多选题)已知f(x)＝若f(x)＝1，则x的值是(　　) A．－1 B． C．－ D．1 AD　[根据题意，f(x)＝ 若f(x)＝1，分3种情况讨论：①当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝1，解可得x＝－1； ②当－1<x<2时，f(x)＝x2＝1，解可得x＝±1，又由－1<x<2，可知x＝1； ③当x≥2时，f(x)＝2x＝1，解可得x＝，舍去． 综上可得，x＝1或－1.] 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 A　[该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.] 6．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________． (－∞，1]　[由题意得f(x)＝ 画出函数f(x)的图象得值域为(－∞，1]. ] 7．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________． －　[在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象， 由题意，可知2a＝－1，则a＝－.如图所示． ] 8．设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))＝____________． 0　[因为g(x)＝，所以g(π)＝0， 又f(x)＝，所以f(g(π))＝f(0)＝0.] 9．如图所示，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求该函数的解析式． 解　设左侧的射线对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0，x≤1)， 因为点(1，1)，(0，2)在此射线上，所以，解得， 所以左侧射线对应的函数解析式为y＝－x＋2(x≤1)， 同理，当x≥3时，右侧射线对应的函数解析式为y＝x－2(x≥3)， 再设抛物线的一部分对应的函数解析式为y＝a(x－2)2＋2(1<x<3，a<0)， 将点(3，1)的坐标代入，得a＋2＝1，所以a＝－1， 所以该段抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋4x－2(1<x<3)， 综上所述，函数的解析式为 y＝. 10．烟台某中学的研究性小组为了考察长岛县的旅游开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回，设t为出发后某一时刻，S为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象能大致表示S＝f(t)的函数关系的是(　　) C　[根据汽艇行进路线想象它与码头的距离，一开始，汽艇远离码头，距离越来越大，由于是匀速直线，图象是一条直线，到了小岛时，可假设小岛是一个圆，汽艇绕小岛环行两周，则距离先增加，然后减小，再回到停靠点，再增加，减小，再回到停靠点(注意有两个来回)，然后汽艇停靠岸边，S不变，最后汽艇回码头，距离又开始减小．只有C与描述相似．] 11．(多选题)如图所示的图象表示的函数的解析式为(　　) A．y＝|x－1|(0≤x≤2) B．y＝－|x－1|(0≤x≤2) C．y＝ D．y＝ BD　[当0≤x≤1时，y＝x；当1<x≤2时，y＝3－x.所以y＝ 对于B，y＝－|x－1|(0≤x≤2)＝] 12．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________． －　[当a>0时，1－a<1，1＋a>1，∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a，解得a＝－(舍去).当a<0时，1－a>1，1＋a<1，∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.] 13．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式． 解　当点P在BC上运动，即0≤x≤4时，y＝×4×x＝2x； 当点P在CD上运动，即4<x≤8时，y＝×4×4＝8； 当点P在DA上运动，即8<x≤12时，y＝×4×(12－x)＝24－2x. 综上可知，f(x)＝ 14．某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12 000元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元．已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元． (1)写出y与x(x>0，x∈N＋)之间的函数关系式； (2)当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润． 解　(1)参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元， 当1≤x≤30且x∈N时，y＝850， 当30<x≤60且x∈N时，y＝850－10(x－30)＝1 150－10x，所以y＝ (2)当1≤x≤30且x∈N时，Q＝850x－12 000，Qmax＝850×30－12 000＝13 500(元)； 当30<x≤60且x∈N时，Q＝－10x2＋1 150x－12 000，其对称轴为x＝＝57.5，故当x＝57或58时，Qmax＝21 060元．所以当公司参加培训的员工为57人或58人时，培训机构可获得最大利润，最大利润为21 060元． 学科网（北京）股份有限公司 $$