第3章 3.1.3 简单的分段函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学分段函数核心知识点，系统梳理其概念（定义域不同区间对应不同解析式的一个函数）、表示方法（解析法、图象法）及性质（定义域为各段并集、值域为各段值域并集），通过生活实例引入，经问题辨析、例题演练到实际应用，构建完整学习支架。 该资料以情境化设计为亮点，用电费计费等生活实例引导学生用数学眼光观察现实问题，通过分类讨论求值、数形结合画图象培养数学思维，以分段解析式和图象表达函数关系提升数学语言能力。课中例题与跟踪训练助力教师高效授课，课后对点练帮助学生巩固知识、查漏补缺。

3.1.3　简单的分段函数 学习目标　1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数,能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题. 导语 大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们是按不同的时间段来收取费用,一般来说,白天稍贵一些,晚上稍便宜一些,反映到我们数学上,这就需要我们分两段来研究用电的费用,生活中诸如此类的问题很多,比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税等.这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴. 一、分段函数求值问题 问题　函数y＝是两个函数吗？ 提示　是一个函数,只不过x的取值范围不同,解析式不同. 知识梳理　分段函数 一般地,如果自变量在定义域的不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数叫作分段函数. 注意点： (1)分段函数虽然由几部分构成,但它仍是一个函数而不是几个函数. (2)分段函数的定义域是各段范围的并集,值域为各段上值域的并集. 例1　已知函数f(x)＝ 求f(－5),f(1),f . 解　由－5∈(－∞,－2],1∈(－2,2),－∈(－∞,－2],知f(－5)＝－5＋1＝－4, f(1)＝3×1＋5＝8,f ＝f  ＝f ＝3×＋5＝. 延伸探究 1　本例条件不变,若f(a)＝3,求实数a的值. 解　当a≤－2时,f(a)＝a＋1＝3, 即a＝2∉(－∞,－2],不符合题意,舍去； 当－2<a<2时,f(a)＝3a＋5＝3, 即a＝－∈(－2,2),符合题意； 当a≥2时,f(a)＝2a－1＝3, 即a＝2∈[2,＋∞),符合题意. 综上可得,当f(a)＝3时,a的值为－或2. 延伸探究 2　本例条件不变,若f(x)>2x,求x的取值范围. 解　当x≤－2时,f(x)>2x可化为x＋1>2x, 即x<1,所以x≤－2； 当－2<x<2时,f(x)>2x可化为3x＋5>2x, 即x>－5,所以－2<x<2； 当x≥2时,f(x)>2x可化为2x－1>2x, 则x∈∅. 综上可得,x的取值范围是(－∞,2). 反思感悟　(1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间. ②然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值. (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值,可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验函数解析式的适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解. 二、分段函数的图象及应用 例2　已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域. 解　(1)当0≤x≤2时,f(x)＝1＋＝1, 当－2<x<0时,f(x)＝1＋＝1－x. 所以f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示. (3)由(2)知,f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3). 反思感悟　(1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象. (2)画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”. (3)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”. 跟踪训练1　已知函数f(x)＝－x2＋2,g(x)＝x,令φ(x)＝min{f(x),g(x)}(即f(x)和g(x)中的最小者). (1)分别用图象和解析式表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域和值域. 解　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象如图①. 令－x2＋2＝x,得x＝－2或x＝1. 由图①中函数取值的情况,结合函数φ(x)的定义,可得函数φ(x)的图象如图②. 结合图②,得出φ(x)的解析式为 φ(x)＝ 即φ(x)＝ (2)由图②知,φ(x)的定义域为R,φ(1)＝1, ∴φ(x)的值域为(－∞,1]. 三、分段函数的实际应用 例3　(课本例6)为推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展,推动形成绿色低碳的生产方式和生活方式,某地采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100 kW·h,按0.57元/(kW·h)计费；每月用电量超过100 kW·h,其中100 kW·h仍按原标准收费,超过部分按1.5元/(kW·h)计费. (1)设月用电x kW·h,应交电费y元,写出y关于x的函数解析式. (2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表： 月份 1 2 3 合计 计费金额/元 114 75 45.6 234.6 问：小赵家第一季度共用电多少？ 解　(1)当0≤x≤100时,月电费＝月用电量×标准电价,可得y＝0.57x； 当x>100时,月电费＝100 kW·h的电费＋超过100 kW·h部分的电费,可得 y＝0.57×100＋1.5×(x－100)＝1.5x－93. 所以y＝ (2)由(1)可知,当电费不超过57元时,说明月用电量不超过100 kW·h；当电费超过57元时,说明月用电量超过100 kW·h.因此,用电量应使用函数的不同关系式来计算. 因为1月份、2月份电费超过57元,所以按第二个函数关系式计算,即1.5x－93＝114,1.5x－93＝75,分别算出1月份用电138 kW·h,2月份用电112 kW·h；而3月份电费不超过57元,按第一个函数关系式计算,有0.57x＝45.6,算出3月份用电80 kW·h. 因此,小赵家第一季度共用电330 kW·h. 例3　某企业承接了某玩具手办的生产,已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒,需投入成本h(x)万元,当产量小于或等于50万盒时,h(x)＝180x＋100；当产量大于50万盒时,h(x)＝x2＋60x＋3 500,若每盒玩具手办售价200元,通过市场分析,该企业生产的玩具手办可以全部销售完.(利润＝销售总价－成本总价,销售总价＝销售单价×销售量,成本总价＝固定成本＋生产中投入成本) 求玩具手办的销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式. 解　当产量小于或等于50万盒时, y＝200x－200－180x－100＝20x－300, 当产量大于50万盒时,y＝200x－200－x2－60x－3 500＝－x2＋140x－3 700, 故销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式为y＝x∈N. 反思感悟　分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画. (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式. 跟踪训练2　如图所示,在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿逆时针方向由B点(起点)向A点(终点)移动,设P点移动的路程为x,△ABP的面积为y. (1)根据题意写出y与x之间的函数解析式； (2)作出函数的图象,并根据图象求y的最大值. 解　(1)点P移动,△ABP的面积随之变化,可分点P落在边BC上,CD上,DA上三种情况进行讨论,得解析式为 y＝ (2)函数的图象如图所示.由图象可得ymax＝8. 1.知识清单： (1)分段函数的概念及求值. (2)分段函数的图象及应用. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合法. 3.常见误区： (1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实. (2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共30分；多选题每小题6分,共18分 1.设函数f(x)＝则f(3)等于(　　) A. B.3 C. D. 答案　C 2.下列图象是函数y＝x|x|的图象的是(　　) 答案　D 解析　函数y＝x|x|＝ 3.函数y＝f(x)的图象如图所示,观察图象可知函数y＝f(x)的定义域、值域分别是(　　) A.[－5,0]∪[2,6),[0,5] B.[－5,6),[0,＋∞) C.[－5,0]∪[2,6),[0,＋∞) D.[－5,＋∞),[2,5] 答案　C 解析　由图象可知,函数的定义域即为x的取值范围,即[－5,0]∪[2,6), 值域即为y的取值范围,即[0,＋∞). 4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水量为(　　) A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米 答案　A 解析　该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝ 由y＝16m,可知x>10. 令2mx－10m＝16m,解得x＝13. 5.(多选)设函数f(x)＝若f(a)＝4,则实数a等于(　　) A.－4 B.2 C.4 D.－2 答案　AB 解析　由或得a＝－4或a＝2. 6.(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(－∞,4) C.f(1)＝3 D.若f(x)＝3,则x的值是 答案　BD 解析　对于A,因为f(x)＝ 所以f(x)的定义域为(－∞,－1]∪(－1,2)＝(－∞,2),所以A错误； 对于B,当x≤－1时,x＋2≤1,当－1<x<2时,0≤x2<4,所以f(x)的值域为(－∞,1]∪[0,4)＝(－∞,4),所以B正确； 对于C,因为f(x)＝所以f(1)＝12＝1,所以C错误； 对于D,当x≤－1时,由f(x)＝3,得x＋2＝3,解得x＝1(舍去), 当－1<x<2时,由f(x)＝3,得x2＝3,解得x＝或x＝－(舍去), 综上,x＝所以D正确. 7.(5分)设函数f(x)＝则f 的值为　　　　　.  答案　 解析　当x>1时,f(x)＝x2＋x－2, 则f(2)＝22＋2－2＝4,∴ 当x≤1时,f(x)＝1－x2, ∴f ＝f ＝1－. 8.(5分)某商品的单价为5 000元,若一次性购买超过5件,但不超过10件时,每件优惠500元；若一次性购买超过10件,则每件优惠1 000元.某单位购买x件(x∈N＋,x≤15),设总购买费用是f(x)元,则f(x)的解析式是　　　　.  答案　f(x)＝ 解析　当x≤5,x∈N＋时,f(x)＝5 000x； 当5<x≤10,x∈N＋时,f(x)＝(5 000－500)x ＝4 500x；当10<x≤15,x∈N＋时,f(x)＝(5 000－1 000)x＝4 000x. 9.(10分)已知函数f(x)＝ (1)求f(f(f(5)))的值；(5分) (2)画出函数f(x)的图象.(5分) 解　(1)因为5>4,所以f(5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0, 所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1<4, 所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1. (2)f(x)的图象如图所示. 10.(10分)《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税,超过5 000元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 某职工每月收入为x元,应缴纳的税额为y元. (1)请写出y关于x的函数关系式；(5分) (2)有一职工八月份缴纳了54元的税款,请问该职工八月份的工资是多少？(5分) 解　(1)由题意, 得y＝ (2)∵该职工八月份缴纳了54元的税款, ∴5 000<x≤8 000,(x－5 000)×3%＝54, 解得x＝6 800. 故这名职工八月份的工资是6 800元. 11.定义运算a⊗b如下：a⊗b＝设函数f(x)＝x⊗ (x＋1),则该函数的图象是(　　) 答案　C 解析　由a⊗b的定义可知f(x)＝ 因为f(0)＝0－1＝－1,所以函数图象过点(0,－1),排除A,B； 当x<0时,f(x)＝x2>0,排除D,只有C符合. 12.设函数f(x)＝若f ＝4,则b等于(　　) A. B. C. D.1 答案　A 解析　由题可知f ＝3×－b＝－b, ①⇒则b∈∅, ②⇒则b＝ 所以b＝. 13.(5分)已知函数f(x)＝则使f(x)<2成立的x的值组成的集合为　　　　.  答案　 解析　由题意可得 或 由解得1≤x<； 由解得x<－或<x<1. 综上所述,使f(x)<2成立的x的值组成的集合为. 14.(5分)设x∈R,则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为　　　　　　.  答案　{y|y≤2} 解析　当x≥1时,y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x<1时,y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x<0时,y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故y＝根据函数解析式作出函数图象,如图所示.由图象可以看出,函数的值域为{y|y≤2}. 15.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成,则(　　) A.f(f(1))＝3 B.f(2)>f(0) C.f(x)＝－x＋1＋2|x－1|,x∈[0,4] D.∃a>0,不等式f(x)≤a的解集为 答案　AC 解析　因为f(1)＝0,f(0)＝3,所以f(f(1))＝3,A正确； f(0)＝3,0<f(2)<3,所以f(2)<f(0),B错误； 由题图得,当x∈[0,1]时,设解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0),图象经过(1,0),(0,3),所以 解得所以y＝3－3x； 当x∈[1,4]时,设解析式为y＝k2x＋b2(k2≠0),图象经过(1,0),(4,3),所以 解得所以解析式为y＝x－1； 即f(x)＝－x＋1＋2|x－1|,x∈[0,4],C正确； 由C得 f(2)＝2－1＝1, f ＝3－如图, 所以不存在大于零的a,使得不等式f(x)≤a的解集为故D错误. 16.(12分)如图,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x＝t(t<2)右侧的图形的面积为函数f(t). (1)求f(t)的解析式；(5分) (2)已知当m∈(0,2)时,f(m)＝.若正实数a,b满足2a＋b＝m,求的最小值.(7分) 解　(1)当t≤0时,f(t)＝S△OAB＝×2×； 当0<t<1时,f(t)＝×t×t＝t2； 当1≤t<2时,f(t)＝×(2－t)×(2－t)＝(t2－4t＋4), 综上所述,f(t)＝ (2)由(1)知,当0<m<1时,f(m)＝m2＝解得m＝1或m＝－1,均不符合； 当1≤m<2时,f(m)＝(m2－4m＋4)＝解得m＝1或m＝3(舍去), 所以2a＋b＝1. ＋1, 因为a,b都是正实数,所以≥2＝2 当且仅当即a＝b＝－1时,等号成立. 所以的最小值为2＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $