3.1.2 表示函数的方法（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P212] 1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，则用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D．y＝2x(x∈{1，2，3，4}) D　[题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}．] 2．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝(　　) A．3x＋2 B．3x－2 C．2x＋3 D．2x－3 B　[设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∵2f(2)－3f(1)＝5， 2f(0)－f(－1)＝1， ∴∴ ∴f(x)＝3x－2.] 3．若f＝，则当x≠0，1时，f(x)等于(　　) A． B． C． D．－1 B　[令＝t，则x＝.代入f＝， 则有f(t)＝＝.即f(x)＝.] 4．(多选题)下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图象的是(　　) AD　[在A，D中，对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应，满足函数关系， 在B，C中，存在一个x有两个y与之对应，不满足函数对应的唯一性．] 5．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是(　　) A．支出最高值与支出最低值的比是8∶1 B．4至6月份的平均收入为50万元 C．利润最高的月份是2月份 D．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同 D　[由图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是6∶1，故A错误， 由图可知，4至6月份的平均收入为(50＋30＋40)＝40万元，故B错误， 由图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C错误， 由图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故D正确．] 6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________． 　[因为f(2x＋1)＝(2x＋1)＋， 所以f(a)＝a＋. 又f(a)＝4，所以a＋＝4.所以a＝.] 7．函数y＝f(x)图象如图所示， 则：(1)f(0)＝________；(2)f(－2)＝________； (3)f(f(2))＝________； (4)若f(x)＝0，则x＝________． (1)4　(2)3　(3)2　(4)－3　[(1)因为f(x)过点(0，4)，故可得f(0)＝4； (2)因为f(x)过点(－2，3)，故可得f(－2)＝3； (3)因为f(2)＝2，故f(f(2))＝f(2)＝2； (4)由图可知，f(x)过点(－3，0)，故可得x＝－3.] 8．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________． 1　2　[∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1. 当x＝1时，f(g(1))＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不满足f(g(x))>g(f(x))， 当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，满足f(g(x))>g(f(x))， 当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不满足f(g(x))>g(f(x)). 故满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是2.] 9．已知函数f(x)是二次函数，且它的图象过点(0，2)，f(3)＝14，f(－)＝8＋5，求f(x)的解析式． 解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则由题意得解得 所以f(x)＝3x2－5x＋2. 10．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式； (3)已知f＝x2＋＋1，求f(x)的解析式． 解　(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则2f(x＋3)－f(x－2) ＝2[k(x＋3)＋b]－[k(x－2)＋b] ＝2kx＋6k＋2b－kx＋2k－b ＝kx＋8k＋b＝2x＋21. 所以k＝2，b＝5.所以f(x)＝2x＋5. (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由f(0)＝1，得c＝1. 又因为f(x－1)－f(x)＝4x， 所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2. 所以f(x)＝－2x2－2x＋1. (3)∵f＝＋2＋1＝＋3. ∴f(x)＝x2＋3. 11．(多选题)下列函数中，对任意x，满足2f(x)＝f(2x)的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝－2x C．f(x)＝x－|x| D．f(x)＝x－1 ABC　[对于A，2f(x)＝2|x|，f(2x)＝|2x|＝2|x|，故满足2f(x)＝f(2x)； 对于B，2f(x)＝－4x，f(2x)＝－4x，故满足2f(x)＝f(2x)； 对于C，2f(x)＝2x－2|x|，f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|，故满足2f(x)＝f(2x)； 对于D，2f(x)＝2x－2，f(2x)＝2x－1，故不满足2f(x)＝f(2x).] 12．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小； (3)求函数f(x)的值域． 解　因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表： x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －5 0 3 4 3 0 －5 … 描点，连线，得函数图象如图． (1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0， 所以f(3)<f(0)<f(1). (2)根据图象，容易发现当x1<x2<1时，有f(x1)<f(x2). (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1，4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]. 13．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ B　[根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3，因此利用取整函数可表示为y＝，也可以用特殊取值法，若x＝56，y＝5，排除C，D，若x＝57，y＝6，排除A，故选B.] 学科网（北京）股份有限公司 $$