2.2 从函数观点看一元二次方程（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P203] 1．方程x2－2kx＋3k2＝0的根的情况是(　　) A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 C　[Δ＝(－2k)2－12k2＝12k2－12k2＝0.] 2．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为(　　) A．5 B．－1 C．2 D．－5 B　[设方程的另一个根为x0，则－2＋x0＝－3，即x0＝－1.] 3．已知a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则a2－b＋2 019的值是(　　) A．2 023 B．2 021 C．2 020 D．2 019 A　[a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根， ∴b＝3－b2，a＋b＝－1，ab＝－3， ∴a2－b＋2 019＝a2－3＋b2＋2 019＝(a＋b)2－2ab＋2 016＝1＋6＋2 016＝2 023.] 4．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　) A．－1和 B．1和－ C．和 D．－和 B　[∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3， ∴即∴g(x)＝6x2－5x－1， 令g(x)＝0，得x1＝－，x2＝1. ∴g(x)的零点为1和－，故选B.] 5．若x1、x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则x1＋x1x2＋x2的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 A　[因为x1、x2是方程x2－2x－1＝0的两个根， 所以x1＋x2＝2，x1x2＝－1. 所以x1＋x1x2＋x2＝2－1＝1.] 6．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1，8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． 存在　[令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0， ∴(x－6)(x＋3)＝0. ∵x＝6∈[1，8]，x＝－3∉[1，8]， ∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1，8]上存在零点．] 7．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________． －，－　[由得 ∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点是－，－.] 8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x－x＝10，则a＝________． 　[由题知x1＋x2＝5，x1x2＝a. 因为x－x＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，所以x1－x2＝2， 所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4， 所以a＝.] 9．已知函数f(x)＝x2－x－2a. (1)若a＝1，求函数f(x)的零点； (2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2. 令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2. 即函数f(x)的零点为－1和2. (2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－， 所以a的取值范围是. 10．求函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2(a∈R)的零点． 解　令y＝0并化为：(ax－1)(x－2)＝0. 当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则其零点为x＝2； 当a＝时，则由(x－2)＝0， 解得x1＝x2＝2，则其零点为x＝2； 当a≠0且a≠时，则由(ax－1)(x－2)＝0， 解得x＝或x＝2，则其零点为x＝或x＝2. 11．(多选题)抛物线y＝－x2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中，正确的是(　　) A．抛物线于x轴的一个交点坐标为(－2，0) B．抛物线与y轴的交点坐标为(0，6) C．抛物线的对称轴是直线x＝0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 ABD　[当x＝－2时，y＝0，∴抛物线过(－2，0).∴抛物线与x轴的一个交点坐标为(－2，0)，选项A正确．当x＝0时，y＝6，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，6)，选项B正确．当x＝0和x＝1时，y＝6，∴抛物线的对称轴为x＝，选项C错误．当x<时，y随x的增大而增大， ∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，选项D正确．] 12．函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋a－2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数a的取值范围是________． 　[因为f(x)＝x2＋(2a－1)x＋a－2的函数图象为开口向上的抛物线，且有两个零点，一个大于1，另一个小于1，则f(1)＝12＋(2a－1)×1＋a－2＝3a－2<0， 解得a<，故实数的a的取值范围为.] 13．函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，则实数a的取值范围是________． (－3，0)　[函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，由二次函数图象的性质，知即解得－3<a<0.] 14．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围． 解　令g(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14. 依题意得或 即或解得－<m<0. 故实数m的取值范围为. 15．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c. (1)若a>b>c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点； (2)设x1，x2∈R，x1<x2，且f(x1)≠f(x2)，若方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x1，x2). 证明　(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0. 又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0， ∴Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根， ∴f(x)必有两个零点． (2)令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]， 则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x1)－f(x2)]， g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x2)－f(x1)]. ∵g(x1)g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2，且f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)g(x2)<0. ∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根． 即方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]必有一实根属于区间(x1，x2). 学科网（北京）股份有限公司 $$