2.1.3 基本不等式的应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P201] 1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　) A．4　　　　　　　　　　　 B．2 C．8 D．16 B　[由a＋b＝＋＝，得ab＝1， 则＋≥2 ＝2，当且仅当＝，当a＝，b＝时，等号成立．] 2．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C． D． B　[由题意知，x＋2y＝8－x·2y≥8－， 当且仅当即时，等号成立． 整理得(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0， 所以x＋2y≥4或x＋2y≤－8. 又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4.] 3．已知a>0，b>0，且(a＋1)(b＋1)＝2，则a＋b的最小值为(　　) A．1－ B．2－ C．－1 D．2－2 D　[因为a>0，b>0，且(a＋1)(b＋1)＝2， 所以a＋b＝a＋1＋b＋1－2≥2－2＝2－2，当且仅当a＝b＝－1时等号成立．] 4．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 C　[由已知，可得6＝1，∴2a＋b＝6(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝，即a＝b＝18时等号成立，∴9m≤54，即m≤6，故选C.] 5．某公司一年购买某种货物400 t，每次都购买x t，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________t. 20　[总运费与总存储费用之和f(x)＝4x＋×4＝4x＋≥2 ＝160，当且仅当4x＝，即x＝20时等号成立，f(x)最小．] 6．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝. 解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元， 则f(x)＝(560＋48x)＋ ＝560＋48x＋(x≥10，x∈N＋). 又48x＋≥2 ＝2＝1 440，当且仅当48x＝，即x＝15时，等号成立， 因此，当x＝15时，f(x)取最小值，f(15)＝2 000. 故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层． 7．某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3 000 m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S m2. (1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)； (2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？ 解　(1)由已知xy＝3 000，2a＋6＝y， 则y＝(6<x<500)， S＝(x－4)a＋(x－6)a ＝(2x－10)a＝(2x－10) ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x－(6<x<500). (2)S＝3 030－6x－≤3 030－2 ＝3 030－2×300＝2 430. 当且仅当6x＝，即x＝50时，等号成立，此时x＝50，y＝60，Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2 430 m2. 8．(多选题)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M不可能的取值为(　　) A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 BCD　[因为正实数x，y满足x＋y＝2， 所以xy≤＝＝1. 所以≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立． 又≥M恒成立， 所以M≤1，即M的最大值为1，不可能取到2，3，4.] 9．已知x，y为正实数，若x＋2y＝1，则的最小值为________． 2＋2　[＝＋＋＝＋＋＝＋＋2≥2＋2(当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立).] 10．若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________． 2　[∵a>0，b>0. ∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2. 当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立， 所以＋＋b的最小值为2.] 11．设a，b为正实数，且＋＝2. (1)求a2＋b2的最小值； (2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值． 解　(1)∵a，b为正实数，且＋＝2 ≥2(当且仅当a＝b＝时等号成立)，∴ab≥(当且仅当a＝b＝时等号成立). ∵a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b＝时等号成立)， ∴a2＋b2的最小值为1. (2)∵＋＝2，∴a＋b＝2ab. ∵(a－b)2≥4(ab)3， ∴(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，即(2ab)2－4ab≥4(ab)3. ∴(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0. ∵a，b为正实数，∴ab＝1. 12．某城建公司承包了一项棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2千元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5千元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数．试问：提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用．) 解　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得 y＝2x－＝118－ ＝118－ ＝130－ ≤130－2＝130－112＝18(千元)， 当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时等号成立． 故提前11天能使公司获得最大附加效益． 学科网（北京）股份有限公司 $$