6.4.2 用样本估计总体的离散程度（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

6．4.2　用样本估计总体的离散程度 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解方差、标准差概念． 2.学会计算样本数据的方差、标准差． 3.结合具体实例，掌握分层抽样的样本均值和样本方差． 　　通过对方差与标准差的学习，达成数据分析、逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P151] 在统计学中，我们将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最小值之差称为极差，也称全距，用R表示． 1．总体方差 若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2＝为总体方差或方差． 2．样本方差 (1)若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，则称s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝(xi－)2为这n个数据的样本方差，也简称为方差． (2)如果将总体分为两层，第一、二层的样本容量分别为n1，n2，样本均值分别为1，2，样本方差分别为s，s，则全部样本的方差为：s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]. 1．标准差是方差的算术平方根． 2．如果σ2是总体方差，则称σ＝是总体标准差；如果s2是样本方差，则称s＝是样本标准差． 3．样本标准差的计算公式： s＝ 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．(√) (2)样本的标准差和方差都是正数．(×) (3)在分层抽样中，可以利用不同层的平均数与方差计算样本的方差．(√) 2．数据101，98，102，100，99的标准差为(　　) A．　　　　　　　　　　B．0 C．1 D．2 A　 [该组数据的平均数＝(101＋98＋102＋100＋99)＝100， ∴s＝＝.] 3．一组样本数据a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[x2－5x＋4＝0的两根为1，4，当a＝1时，a，3，5，7的平均数是4；当a＝4时，a，3，5，7的平均数不是1，所以a＝1，b＝4，s2＝5.] 4．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2＝________． 　[该组数据的平均数为＝7，方差s2＝＝.] [对应学生用书P152] (1)某年全国奥数冬令营甲、乙两组分别为30人、24人，第二轮测试中，甲组平均成绩为40分，方差为300，乙组平均成绩为42分，方差为260，那么甲、乙两组全部54人的方差为________．(保留两位小数) 283．21　[由W甲＝，W乙＝，甲＝40，乙＝42， 故＝×40＋×42≈40.89，s＝300，s＝260， 故全部54人的方差s2＝×[300＋(40－40.89)2]＋×[260＋(42－40.89)2]≈283.21.] (2)已知一组数x1，x2，…，xn的方差是4，则2x1－1，2x2－1，…，2xn－1的标准差是________． 4　[设x1，x2，…，xn的平均数是＝(x1＋x2＋…＋xn)， 方差是s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝4； ∴2x1－1，2x2－1，…，2xn－1的平均数是 ′＝[(2x1－1)＋(2x2－1)＋…＋(2xn－1)]＝[2(x1＋x2＋…＋xn)－n]＝2－1. ∴方差是s′2＝[(2x1－1－2＋1)2＋(2x2－1－2＋1)2＋…＋(2xn－1－2＋1)2] ＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝4s2＝4×4＝16；∴标准差是s′＝4.] [方法总结] 1．计算分层抽样的方差s2的步骤： (1)确定1，2，s，s； (2)确定； (3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]计算s2. 2．若x1，x2，…，xn方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. [训练1]　(1)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数为：90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后，剩下数据的平均值和方差分别为(　　) A．92，2　　　　　　　　 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.8 B　[去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为＝＝92，方差为s2＝[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.] (2)已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy＝________． 96　[由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50， 所以x＋y＝20.又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝()2×5＝10， 得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，xy＝96.] 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为： 甲：99，100，98，100，100，103； 乙：99，100，102，99，100，100. (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， 乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100. s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝， s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件直径的平均值相同，又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定． [方法总结]　用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况． [训练2]　在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表： 分数 50 60 70 80 90 100 人 数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 已经算得两个组的平均分都是80分．请根据方差的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由． 解　s＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172， s＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256. ∵甲＝乙，s<s，∴甲组成绩比乙组成绩稳定，故甲组好些． 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别是170.6和12.59；抽取了女生27人，其平均数和方差分别是160.6和38.62. 你能由这些数据计算出全体样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？ 解　把男生样本记为x1，x2，…，x23，其平均数记为，方差记为s；把女生样本记为y1，y2，…，y27，其平均数记为，方差记为s；把总样本数据的平均数记为，方差记为s2. 根据方差的定义，全体样本方差为 s2＝[(xi－)2＋(yi－)2]＝ [(xi－＋－)2＋(yi－＋－)2]. 由(xi－)＝i－23＝0， 得(xi－)(－)＝2(－)(xi－)＝0. 同理可得(yi－)(－)＝0. 因此s2＝[(xi－)2＋(－)2＋(yi－)2＋(－)2]＝{23[s＋(－)2]＋27[s＋(－)2]}　①． 由＝170.6，＝160.6，根据按比例分配分层抽样全体样本平均数与各层样本平均数的关系，可得全体样本平均数为＝＋＝＝165.2. 把已知男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得 s2＝{23×[12.59＋(170.6－165.2)2]＋27×[38.62＋(160.6－165.2)2]}＝51.486 2. 我们可以计算出全体样本的方差为51.486 2，并据此估计高一年级全体学生身高的总体方差为51.486 2. [方法总结]　解答此类问题关键是准确记忆公式，理清平均值、权重和方差的关系，准确计算． [训练3]　工厂为了解每个工人对某零件的日加工量，统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本. 抽到甲的一个样本容量为10，样本平均数为5，方差为1；乙的一个样本容量为12，样本平均数为6，方差为2. 现将这两组样本合在一起，求合在一起后的样本平均数和方差． 解　设抽到甲的样本数据为x1，x2，…，x10，乙的样本数据为y1，y2，…，y12， 由题意知＝5，方差s2＝1；＝6，方差t2＝2. 合在一起后的样本容量为22，样本平均数为(10×5＋12×6)≈5.55，样本方差为 ≈1.79. ∴合在一起后的样本平均数约为5.55，方差约为1.79. [对应学生用书P154] 1．下列说法正确的是(　　) A．在两组数据中，平均数较大的一组方差较大 B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小 C．方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和 D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 B　[A在两组数据中，平均数与方差所表示的意义不同，由此不能根据平均数的大小来衡量其方差的大小，所以A的说法错误； C求和后还需再除以样本容量；D方差大的表示射击水平不稳定，只有B正确．] 2．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450，430，460，440，450，440，470，460，则该组数据的方差为________． 150　[根据题意知，该组数据的平均数为＝×(450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460)＝450， 所以该组数据的方差为s2＝×[(450－450)2＋(430－450)2＋(460－450)2＋(440－450)2＋(450－450)2＋(440－450)2＋(470－450)2＋(460－450)2]＝150.] 3．已知样本x1，x2，x3，…，xn的方差s2＝1，则样本2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的方差为________． 4　[∵样本x1，x2，x3，…，xn的方差s2＝1， ∴样本2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的方差为：4s2＝4.] 4．在某学校为了调查高一年级学生每周的锻炼时间(单位：h)时，甲同学抽到了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽到了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16. 已知甲、乙两名同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本平均数与样本方差． 解　由题意知，甲同学抽取的样本容量为m＝10，样本平均数为＝5，样本方差为s2＝9；乙同学抽取的样本容量为n＝8，样本平均数为＝6，样本方差为t2＝16.合在一起后的样本平均数为＝≈5.44，样本方差为 {10×[9＋(5－5.44)2]＋8×[16＋(6－5.44)2]}≈12.36. 学科网（北京）股份有限公司 $$