6.4.2 用样本估计总体的离散程度-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体的离散程度”，系统讲解极差、方差、标准差的定义与计算，及分层抽样的方差，通过甲、乙战士射靶情境导入，在平均数基础上引出离散程度参数，构建知识支架。 其特色在于以情境导学培养数学抽象，结合机床加工质量分析、射击选手选拔等实例提升数据分析素养，分层抽样方差计算步骤结构化。学生能深化统计含义理解，教师可借助丰富例题与练习提升教学效率。

第6章　统计学初步 6.4　用样本估计总体 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 学习任务 核心素养 1．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．(重点) 2．理解离散程度参数的统计含义．(重点、难点) 1．通过对标准差、方差、极差概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过利用标准差、方差、极差估计总体的离散程度，培养数据分析素养． 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5． 经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环． 若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否做出选择？ 必备知识·情境导学探新知 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 知识点　极差、方差、标准差 1．极差 (1)定义：将一组数据中的_________与_________统称为极值，将_________与_________之差称为极差，也称全距，用___表示． (2)极差的意义 极差反映了一组数据变化的幅度，是描述数据离散程度的最简单的代表值，但它易受极端值的影响，不能反映中间数据的离散状况． 最大值 最小值 最大值 最小值 R 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 2．方差 (1)总体方差： ①定义：若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2＝_________________________________为总体方差或方差． ②意义：总体方差σ2刻画了总体中的个体向总体均值μ的______或______的程度：方差越小，表明个体与均值μ的距离______，个体向μ集中得______． 总体方差σ2也刻画了总体中个体的______或______的程度：方差越小，表明个体越______，波动______． 集中 离散 越近 越好 稳定 波动 整齐 越小   课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 (2)样本方差 ①定义：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，则称 为这n个数据的样本方差，也简称方差． ②意义：样本方差s2刻画了样本数据相对于样本均值______或______的程度．当样本容量较大时，样本方差是总体方差的估计． ] 集中 离散 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 (3)分层抽样的方差 将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为n1，n2，样本均值分别为，样本方差分别为，则全部样本的样本容量、样本均值和样本方差分别为n＝n1＋n2，＝(n1＋n2)，s2＝ ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 思考　(1)甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是＝81分吗？方差是＝3吗？为什么？ (2)数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差为s2，数据x1，x2，…，xn，的方差为，那么s2与的大小关系如何？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 [提示]　(1)不是，因为甲班和乙班在这60人中的层权是不同的． (2)因为数据x1，x2，…，xn，比数据x1，x2，…，xn更加相对集中，所以方差变小了，即＜s2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 3．标准差 (1)定义：标准差是方差的算术平方根． 如果σ2是总体方差，则称σ＝是总体标准差； 如果s2是样本方差，则称s＝是样本标准差． s＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 (2)标准差的意义 标准差刻画了数据的____________或____________，标准差越大，数据的离散程度越___；标准差越小，数据的离散程度越___．样本标准差是总体标准差的估计． 离散程度 波动幅度 大 小 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0． (　　) (2)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散． (　　) √ × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 体验　2．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1，2，3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(　　) A．s3＞s1＞s2　　 B．s2＞s1＞s3 C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1 √ 图1　　　　　图2　　　　　图3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 D　[所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1．] 关键能力·合作探究释疑难 类型1　方差和标准差的计算 【例1】　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 [解]　(1)＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， ＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100． ＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝， ＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1． (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 反思领悟　标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差． (2)当标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 [跟进训练] 1．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为sA和sB，则(　　) A．>，sA>sB　　 B．<，sA>sB C．>，sA<sB D．<，sA<sB √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 B　[＝(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25， ＝(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝≈11.67． ＝[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90， ＝[(15－11.67)2＋(10－11.67)2＋(12.5－11.67)2＋(10－11.67)2＋(12.5－11.67)2＋(10－11.67)2]≈3.47． 故＜，sA＞sB．] 2．一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是(　　) A．40.6，1.1 B．48.8，4.4 C．81.2，44.4 D．78.8，75.6 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 A　[法一：设原来的数据为x1，x2，x3，…，xn，则新数据为2x1－80，2x2－80，2x3－80，…，2xn－80， 所以＝1.2， 所以＝1.2， 即＝40.6． [(2x1－80－1.2)2＋(2x2－80－1.2)2＋…＋(2xn－80－1.2)2]＝4.4， 即[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝4.4， 所以原来数据的方差为[(x1－40.6)2＋(x2－40.6)2＋…＋(xn－40.6)2]＝－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝×4.4＝1.1． 法二：设原数据的平均数为 －80，方差为22s2， 由题意得2＝40.6，s2＝1.1．] 类型2　分层抽样的方差 【例2】　在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本平均数与方差．(精确到0.1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 [解]　把甲同学抽取的样本的平均数记为 ，方差记为s2． 则＝≈5.4， s2＝＝≈12.4． 即样本的平均数为5.4，方差为12.4． 反思领悟　计算分层抽样的方差s2的步骤 (1)确定，n1，n2； (2)确定，n＝n1＋n2 ； (3)应用公式s2＝＋()2]，计算s2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 [跟进训练] 3．甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 [解]　由题意可知＝60 kg，甲队队员在所有队员中所占层权为＝＝70 kg，乙队队员在所有队员中所占层权为＝， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68(kg)， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s2＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296． 类型3　数据的数字特征的综合应用 【例3】　在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如表所示： 分数 50 60 70 80 90 100 人 数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面进行？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 [解]　(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些． (2)＝(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝×4 000＝80， ＝(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝×4 000＝80． ＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172， ＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256． ∵＝，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些． (3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好． (4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好． 反思领悟　数据分析的要点 (1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论． (2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 [跟进训练] 4．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下： 甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67； 乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75． 经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m 方可获得冠军呢？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 [解]　甲的平均成绩和方差如下： ＝(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69， ＝[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6． 乙的平均成绩和方差如下： ＝(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68， ＝[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15． 显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛． 在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m 方可获得冠军，应派乙参赛． 1．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　) A．8 B．15　　　　 C．16　　　　 D．32 学习效果·课堂评估夯基础 √ C　[已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16．故选C．] 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 2．有一份统计资料，共有11个数据如下(不完全按大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的均值为6，则这组数据的方差为(　　) A．6 B． C．66 D．6.5 √ A　[由＝(2＋4＋4＋…＋11＋x)＝6， 得x＝5，故s2＝[(2－6)2＋(4－6)2＋…＋(11－6)2＋(5－6)2]＝6．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 3．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，则： (1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． (1)7　(2)2　[(1)＝×(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7． (2)∵s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2．] 7 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 4．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是________． 2　[s＝ ＝ ＝＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 5．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________． 91　[由题意得 即 解得或所以xy＝91．] 91 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．如何计算一组数据的方差或标准差？ [提示]　首先计算出这组数据的平均数，然后按公式s2＝[(x1－)2＋…＋(xn－)2]计算方差． 按公式s＝ 计算标准差． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 2．如何计算分层抽样的方差？ [提示]　计算分层抽样的方差的步骤： ①确定，n1，n2； ②确定 n＝n1＋n2； ③应用公式s2＝＋()2]计算s2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 3．一组数据的方差或标准差反映了该组数据的什么特性？ [提示]　反映了这组数据相对于平均值的离散程度． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　) A．平均数　　　　　 B．中位数 C．方差 D．众数 课时分层作业(五十六)　用样本估计总体的离散程度 √ C　[由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．] 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．对一组样本数据xi(i＝1，2，…，n)，如将它们改为xi－m(i＝1，2，…，n)，其中m≠0，则下面结论正确的是(　　) A．平均数与方差都不变 B．平均数与方差都变了 C．平均数不变，方差变了 D．平均数变了，方差不变 √ D　[若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a≠0)的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 47 3．样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均数为1，则样本的标准差为(　　) A． 　　　　 C．2　　　　 D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[∵样本a，0，1，2，3的平均数为1，∴＝1，解得a＝－1． 则样本的方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 48 4．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y，105，109，110．已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 49 D　[由题意得，＝108， ① ＝35.2， ② 由①②解得或所以|x－y|＝18．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如表所示：     其中＝，则两个班总体数学成绩的方差为(　　) A．3 B．2 C．2.6 D．2.5 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 班级 人数 平均分数 方差 甲 20 2 乙 30 3 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 51 C　[由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝＝，则两个班数学成绩的方差为 s2＝×[2＋()2]＋×[3＋()2]＝×2＋×3＝2.6．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 二、填空题 6．甲、乙、丙、丁四人参加某次奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩(单位：环)和方差如表所示： 则参加奥运会的最佳人选应为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 丙　[因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙．]   甲 乙 丙 丁 平均数 8.5 8.7 8.8 8.0 方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7 丙 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 53 7．五个数1，2，3，4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5　　[由＝3得a＝5． 由s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2得，标准差s＝．] 5 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 54 8．为了调查公司员工的健康状况，用分层抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 200 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 55 200　[设男、女员工的层权分别为ω男，ω女， 由题意可知s2＝ω男＋()2]＋ω女＋()2]，即ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)·[602＋(50－60)2]＝602，解得ω男＝，ω女＝， 因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 三、解答题 9．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 57 [解]　甲品种的样本平均数为×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，样本方差为[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02． 乙品种的样本平均数为×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10，样本方差为 [(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244． 因为0.244＞0.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 10．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 59 [解]　由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为＝＝45(岁)， 年龄的方差为＝[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73， 所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为 ＝×38＋×45≈39.2(岁)， 该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是 s2＝[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]＝20.64． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 11．(多选题)若样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1，2＋x2，…，2＋xn，下列结论正确的是(　　) A．平均数是10　　 B．平均数是11 C．方差为2 D．方差为3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ BC　[若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数为＋a，方差为s2．故选BC．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 61 12．(多选题)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝ 3小时，方差为s2＝2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为＝2.6，＝3.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为＝＝＝3，则高三学生每天读书时间的平均数可能是(　　) A．3.2　 　　B．3.3　 　　C．2.7　 　　D．4.5 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 62 BC　[由题意可得 2.003＝[1＋(3－2.6)2]＋[2＋(3－3.2)2]＋[3＋(3－)2]， 解得＝3.3或2.7．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 13．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为___________(从小到大排列)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 1，1，3，3　[不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4为正整数． 由条件知即 1，1，3，3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 64 又x1，x2，x3，x4为正整数， ∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3． ∵s＝＝1， ∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3． 由此可得4个数分别为1，1，3，3．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 天数 151～ 180 181～ 210 211～ 240 241～ 270 271～ 300 301～ 330 331～ 360 361～ 390 灯管数 1 11 18 20 25 16 7 2 14．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1)试估计这种日光灯的平均使用寿命； (2)若定期更换，则可选择多长时间统一更换合适？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 66 [解]　(1)各组的组中值分别为165.5，195.5，225.5，255.5，285.5，315.5，345.5，375.5，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165.5×1%＋195.5×11%＋225.5×18%＋255.5×20%＋285.5×25%＋315.5×16%＋345.5×7%＋375.5×2%＝268.4≈268(天)． ＝2 128.59． 故标准差为≈46． 估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222天到314天之间统一更换较合适． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 15．在某年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下(单位：cm)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 168 167 165 186 a b c d 178 158   序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高 166 178 175 169 172 177 182 169 168 176 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 68 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在区间(160，182)内，且这20组身高数据的平均数为＝172，标准差为s＝7． (1)为了更好地研究该校男生的身高数据，决定用这20个数据中在区间(－2s，＋2s)内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，该校男生身高的平均数与方差分别为多少？(方差保留两位小数) (2)使用统计学的观点说明(－2s，＋2s)以内的数据与原数据对比有什么特点．(主要用平均数与方差进行说明) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 69 [解]　(1)由条件可得区间(＋2s)＝(158，186)，在区间外的数据有158和186，剔除后剩余18个数据，其平均数为＝(172×20－158－186)＝172(cm)，方差＝[(s2×20)－(158－172)2－(186－172)2]＝≈32.67． (2)( ＋2s)以内的数据的方差约为32.67，方差变小了，说明剔除两个极端数据后，数据更趋于集中，更具有代表性． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 $