3.2.2 第2课时 函数的奇偶性应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

第二课时　函数的奇偶性应用 [对应学生用书P58] 设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，则f(－1)＝________． －2　[因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1).又因为x∈[0，＋∞)时f(x)＝x(1＋)，f(1)＝1×(1＋)＝2.所以f(－1)＝－2.] [方法总结]　解析式含参数，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数求解，有时需求得参数值进而求得函数值．构造函数本着“避繁就简”的原则，若函数f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn为奇函数，则偶次项系数为零(包括常数项)，若为偶函数，则奇次项系数为零． [训练1]　(1)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f＝，则f＝(　　) A．－　　　　　　　　　 B．－ C． D． (2)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x＋b，则f(－1)＝________． (1)C　(2)－3　[(1)解法一：由题意可得f＝f＝f＝－f，而f＝f＝f＝－f＝－，f＝.故选C. 解法二：因为f(x)是奇函数，所以f(1＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f＝f＝f＝，故选C. (2)∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝b＝0.∴f(x)＝x2＋2x(x≥0). ∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋2)＝－3.] (1)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，求f(x)在R上的解析式． (2)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式． 解　(1)因为x≥0时，f(x)＝x2－2x，设x<0，则－x>0. ∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x. 又y＝f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x). ∴f(x)＝x2＋2x(x<0). ∴f(x)＝ (2)∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0. ∵x<0时，f(x)＝x(2－x)， ∴当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x)＝x(x＋2)(x＞0). ∴f(x)＝ [方法总结]　这类问题常见的情形 (1)已知当x∈(a，b)时，f(x)＝φ(x)，求当x∈(－b，－a)时f(x)的解析式． 若f(x)为奇函数，则当x∈(－b，－a)时，f(x)＝－f(－x)＝－φ(－x)； 若f(x)为偶函数，则当x∈(－b，－a)时，f(x)＝f(－x)＝φ(－x). (2)若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，不能漏掉． [训练2]　设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求f(x)，g(x)的解析式； 解　∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x). 由f(x)＋g(x)＝，① 用－x代换x，得f(－x)＋g(－x)＝， 即f(x)－g(x)＝－.② 联立①②解得f(x)＝，g(x)＝. 已知定义在(－1，1)上的奇函数f(x)＝是增函数，且f＝. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0. 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求实数a，b的值得解析式，解不等式f(t－1)＋f(2t)<0. 第二步，精读题目挖已知条件：定义域(－1，1)，解析式f(x)＝，函数值f＝. 第三步，建立联系寻解题思路：利用奇偶性和已知函数值求出a，b的值，再结合定义域解不等式． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　(1)因为f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，则f(0)＝0，得b＝0.又因为f()＝，所以＝，解得a＝1.所以f(x)＝. (2)因为定义在(－1，1)上的奇函数f(x)是增函数，由f(t－1)＋f(2t)<0得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t). 所以即解得0<t<. 故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为{t}． [方法总结]　函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质，在解答数学问题时，要善于应用函数的观点，挖掘函数的奇偶性和单调性，并注意奇偶性与单调性的相互关系．即：若y＝f(x)为奇函数，且y＝f(x)在关于原点对称的区间上若单调，则单调性相同．若y＝f(x)为偶函数，且y＝f(x)在关于原点对称的区间上若单调，则单调性相反. [训练3]　(1)已知偶函数f(x)在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是(　　) A．f<f(－3)<f(4) B．f(－3)<f<f(4) C．f(4)<f(－3)<f D．f(4)<f<f(－3) D　[解法一：∵f(x)为偶函数，∴f(－4)＝f(4). 又f(x)在(－∞，－2]上为增函数， ∴f(－4)<f<f(－3)， 即f(4)<f<f(－3). 解法二：∵f(x)为偶函数，且在(－∞，－2]上为增函数， ∴f(x)在[2，＋∞)上为减函数，其图象关于y轴对称． 又|4|>>|－3|，∴f(4)<f<f(－3).] (2)已知奇函数f(x)在[－1，1]上为增函数，解不等式f＋f(x－1)>0. 解　原不等式可化为f>－f(x－1)，∵f(x)为奇函数，∴－f(x－1)＝f(1－x).∴原不等式可化为f>f(1－x).又∵f(x)为定义在[－1，1]上的增函数， ∴解得即<x≤2. ∴原不等式的解集为. [对应学生用书P60] 1．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则(　　) A．f(1)>f(2)　　　　　　 B．f(1)<f(2) C．f(1)＝f(2) D．以上都有可能 A　[∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(2)，故选A.] 2．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝－x2＋2x－3 B．f(x)＝－x2－2x－3 C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2－2x＋3 B　[若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B.] 3．(多选题)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　) A．y＝x3 B．y＝|x| C．y＝－x2＋1 D．y＝ CD　[对于A，y＝x3为奇函数，所以该选项不符合题意； 对于B，x>0时，y＝|x|＝x，所以函数y＝|x|在(0，＋∞)上为增函数，所以该选项不符合题意； 对于C，该函数定义域为R，二次函数y＝－x2＋1图象的对称轴为y轴，所以该函数为偶函数，且该函数在(0，＋∞)上单调递减，所以该选项符合题意； 对于D，作出函数y＝的图象如下图所示： 可知该选项符合题意．] 4．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为________． (－∞，0)∪(4，＋∞)　[由题意得f(x)＝ ∵f(x－2)＞0，∴(x－2)3－8＞0，x－2∈[0，＋∞)或－(x－2)3－8＞0，x－2∈(－∞，0).解得x＞4或x＜0.] 学科网（北京）股份有限公司 $$