3.2.2 第1课时 函数奇偶性的概念（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

3．2.2　函数的奇偶性 课程内容标准 学科素养凝练 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.学会利用图象理解和研究函数的性质． 3.掌握判断函数奇偶性的方法． 　　通过函数奇偶性概念的学习，形成数学抽象、数形结合、逻辑推理的核心素养． 第一课时　函数奇偶性的概念 [对应学生用书P56] 1．如果F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，就称F(x)是偶函数． 2．如果F(x)的图象是以原点为中心的中心对称图形，就称F(x)是奇函数． 1．如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)，则称F(x)为偶函数． 2．如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)，则称F(x)为奇函数． 3．当函数F(x)是奇函数或偶函数时，称F(x)具有奇偶性．奇函数和偶函数的定义域关于原点对称． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)函数f(x)＝x的图象关于(0，0)对称．(√) (2)偶函数的图象一定与y轴相交．(×) (3)若对函数f(x)有f(－1)＝f(1)，则f(x)为偶函数.(×) (4)奇函数的图象一定过(0，0).(×) (5)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(×) 2．下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝x　　　　　　　 B．y＝3x2 C．y＝x－1 D．y＝|x|(x∈[0，1]) B　[选项A，C中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数．] 3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 C　[∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.] 4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝______． 3　[∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.] [对应学生用书P57] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝. 解　(1)f(x)的定义域是R，关于原点对称． 又f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域是R，关于原点对称． 又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． [训练1]　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝ 解　(1)由题设得∴函数f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且x＋2>0. ∴|x＋2|＝x＋2. ∴f(x)＝＝＝. ∴f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． 当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋2x＋3，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)； 当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋2x－3，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x). ∴对∀x∈R，都有f(－x)＝－f(x)， f(x)是R上的奇函数． 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示． (1)画出在区间[－5，0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值范围． 解　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值范围是(－2，0)∪(2，5). [方法总结]　根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题． [训练2]　(1)函数f(x)＝2x－的图象关于(　　) A．y轴对称　　　　　　 B．直线y＝－x对称 C．直线y＝x对称 D．原点对称 D　[函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． f(－x)＝－2x＋＝－＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数，函数f(x)＝2x－的图象关于原点对称．] (2)(2021·全国卷乙)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 B　[由题意可得f(x)＝＝－1＋， 对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数； 对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数； 对于C，f(x＋1)－1＝－2.定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选B.] (1)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝______； (2)已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝______． (1)－1　(2)1　[(1)方法一(定义法)　由已知f(－x)＝－f(x)， 即＝－. 显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a， 故a＋1＝0，得a＝－1. 方法二(特值法)　由f(x)为奇函数得f(－1)＝－f(1)， 即＝－， 整理得a＝－1. (2)(特值法)　由f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)， 即a×(－1)2＋(－1)＝－(－12＋1)， 整理得a－1＝0，解得a＝1.] [方法总结]　由函数的奇偶性求参数应注意两点 1．函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用． 2．利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数． [训练3]　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2，2a]，则a＝________，b＝________； (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________． (1)　0　(2)0　[(1)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称， 故有a－2＋2a＝0，解得a＝.又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即－＝0，解得b＝0. (2)由f(x)为奇函数得f(－x)＝－f(x)， 即f(－x)＋f(x)＝0， 所以a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝0. 即2ax2＝0，所以a＝0.] [对应学生用书P58] 1．已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b等于(　　) A．－1　　　　B．1　　　　C．0　　　　D．2 A　[因为一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称， 所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，故选A.] 2．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是(　　) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a)) B　[因为f(x)为奇函数，所以f(－a)＝－f(a)，所以点(－a，－f(a))在函数y＝f(x)的图象上．] 3．(多选题)下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝ C．f(x)＝－x3 D．f(x)＝－ CD　[对于A：f(x)＝|x|是定义域R上的偶函数，∴不满足题意； 对于B：f(x)＝在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数但不在定义域上单调递减，∴不满足题意． 对于C：f(x)＝－x3在定义域R上是奇函数，∴满足题意； 对于D：f(x)＝－在定义域R上是奇函数，∴满足题意．] 4．设函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝________． －1　[∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，∴a＋1＝－(a＋1) ∴2a＝－2，解得a＝－1.] 学科网（北京）股份有限公司 $$