3.2.1 函数的单调性与最值（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

3．2　函数的基本性质 3．2.1　函数的单调性与最值 课程内容标准 学科素养凝练 1.利用函数图象，直观地观察函数的单调性． 2.利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义． 3.会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性． 　　通过对函数单调性的学习，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P52] 设D是函数f(x)的定义域： (1)如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点． (2)如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最小值N＝f(a)，称N为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点． 最大值和最小值统称为最值． 1．增函数、减函数的概念 2．如果函数y＝f(x)是区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．(×) (2)若函数y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则区间[1，3]为函数y＝f(x)的单调递减区间．(√) (3)若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数．(×) (4)若函数f(x)在区间I上是减函数，且D⊆I，则f(x)在D上也是减函数．(√) 2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是(　　) A．y＝3－x　　　　　　　 B．y＝x2＋1 C．y＝ D．y＝－|x| 答案　B 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　) A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4] C．[－3，1] D．[－3，4] C　[由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3，1].] 4．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－1，0 B．0，2 C．－1，2 D．，2 C　[由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.] [对应学生用书P53] 探究一　利用函数单调性定义证明函数单调性 证明函数f(x)＝x＋在x∈(1，＋∞)上是增函数． 证明　∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋＝(x1－x2). ∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是增函数． [方法总结]　利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号． (4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性． [提醒]　作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式． [训练1]　利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数． 证明　∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为－1<x1<x2， 所以x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0. 所以>0， 即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2). 所以y＝在(－1，＋∞)上是减函数． 已知f(x)＝画出这个函数的图象判断函数的单调性． 解　作出图象如下： 由f(x)的图象可得，该函数在[－3，－2)，[0，1)，[3，6]上单调递减；在[－2，0)，[1，3)上单调递增． [方法总结]　利用图象判断函数单调性的基本步骤 (1)作图：作出函数的图象． (2)结论：图象上升的区间对应函数单调递增区间，图象下降的区间对应函数单调递减区间． [提醒]　当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接． [训练2]　如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 解　y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2，1)，[1，3)，[3，5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1，3)上是减函数，在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数． 已知函数f(x)＝. (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值． 解　(1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝， 因为－1<x1<x2⇒x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，最大值f(4)＝＝. [方法总结] 1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． [提醒]　(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． [训练3]　已知函数f(x)＝，x∈[3，5] (1)判断函数f(x)的单调性，并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 解　(1)f(x)在[3，5]上为增函数，证明如下： ∀x1，x2∈[3，5]且x1<x2， 所以f(x1)－f(x2)＝－＝ ∵3≤x1<x2≤5，∴x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0， ∴f(x1)－f(x2)<0即f(x1)<f(x2)，f(x)在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知f(x)在[3，5]上为增函数，则f(x)max＝f(5)＝， f(x)min＝f(3)＝. (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________． (2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________． (1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1)　[(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4. ∴实数a的取值范围为(－∞，－4]. (2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)， ∴2x－3>5x－6，即x<1. ∴实数x的取值范围为(－∞，1).] [变式]　本例(2)改成：函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，求x的范围． 解　由题意可知， 解得x>. ∴x的取值范围为(，＋∞). [方法总结]　函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围． (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． [对应学生用书P55] 1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上(　　) A．单调递增　　　　　　　 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 C　[函数y＝x2－6x＋10的对称轴为直线x＝3，此函数在区间(2，3]上单调递减，在区间(3，4)上单调递增．] 2．(多选题)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1，4]上单调递增 C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D．函数在区间[－5，5]上没有单调性 ABD　[由图可知，f(x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故C错误，其余选项均正确．] 3．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则(　　) A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a) C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a) D　[a2＋1－a＝＋>0，得a2＋1>a，从而f(a2＋1)<f(a).] 4．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，2]时，f(x)是减函数，则f(1)＝________． －3　[f(x)＝2＋3－，由题意得＝2， ∴m＝8. ∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.] 学科网（北京）股份有限公司 $$