3.1.1 对函数概念的再认识（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

3．1　函　数 3．1.1　对函数概念的再认识 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过实例理解函数的概念，能用集合语言描述具体的函数． 2.体会对应关系在刻画函数概念中的作用． 3.会求一些简单函数的定义域、值域． 1.通过对函数概念的学习，达成数学抽象、数学建模的核心素养． 2.通过求一些简单函数的定义域、值域提升数学运算的核心素养． [对应学生用书P42] 1．函数的定义 设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数，也记作y＝f(x)(x∈A，y∈B). 2．函数的定义域、值域 在函数的定义中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与x∈A对应的数y叫函数值，记作f(x)，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域． 3．函数的三要素为定义域，对应关系，值域． 4．相等(同一个)函数 两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)函数值域中的每一个值都有定义域中的一个值与它对应.(√) (2)若函数的定义域是无限集，则值域也是无限集．(×) (3)定义域与对应关系确定后，函数的值域也就确定了．(√) (4)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素.(√) 2．下列表示y关于x的函数的是(　　) A．y＝x2　　　　　　　　 B．y2＝x C．|y|＝x D．|y|＝|x| A　[结合函数的定义可知A正确．] 3．下列函数中，与函数y＝x相等的是(　　) A．y＝()2 B．y＝ C．y＝|x| D．y＝ D　[函数y＝x的定义域为R；y＝()2的定义域为[0，＋∞)；y＝＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝＝x，且定义域为R.] 4．下列图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是(　　) B　[根据函数的任意性和唯一性(定义)可知，B不正确．] 5．已知f(x)＝，g(x)＝x2＋2，则f(2)＝________，g(2)＝________． 　6　[f(2)＝＝，g(2)＝22＋2＝6.] [对应学生用书P43] 判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数． (1)A＝N，B＝N＋，对应关系f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； (2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (3)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应关系f：对A中元素求面积与B中元素对应． 解　(1)对于A中的元素0，在对应关系f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数． (2)对于A中的元素±1，在对应关系f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在对应关系f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数． (3)集合A不是数集，故不是函数． [方法总结]　判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断 (1)A，B必须是非空数集； (2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应； (3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一． [训练1]　(1)(多选题)对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有(　　) A．y是x的函数 B．对于不同的x值，y的值也不同 C．f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量 D．f(x)一定可以用一个具体式子表示出来 AC　[AC显然正确；B不对，如f(x)＝x2，当x＝±1时，y＝1；D不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子表示．] (2)下列对应或关系式中是A到B的函数的有________．(填序号) ①A＝B＝[－1，1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1； ②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图； ③A＝R，B＝R，f：x→y＝； ④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝. ②　[对于①项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．] (多选题)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝与g(x)＝x B．f(x)＝x与g(x)＝ C．f(x)＝x0与g(x)＝ D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1 CD　[对A，f(x)＝＝|x|与g(x)＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数．对B，g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数．对C，f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一个函数．对D，f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应关系也相同，而与用什么字母表示对应关系无关，故是同一个函数．] [方法总结]　判断同一个函数的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相同； (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． [训练2]　下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1；②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝，g(x)＝；④f(x)＝，g(x)＝x＋3. 其中表示同一个函数的是________．(填序号) ③　[①定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R. ②对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝. ③定义域、对应关系都相同． ④对应关系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3. 综上，只有③中两个函数表示同一个函数．] 设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝， (1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))； (2)求g(f(x)). 解　(1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10， f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20. 因为g(x)＝， 所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2). g(f(2))＝g(10)＝＝. (2)g(f(x))＝g(2x2＋2)＝＝. [变式]　已知f(x)＝2x2＋2，若f(b)＝10，求b的值． 解　因为f(b)＝10，所以2b2＋2＝10，解得b＝±2. [方法总结]　函数求值的方法及关注点 (1)方法：①求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值． ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． (2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 求下列函数的定义域． (1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝＋x0＋； 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求函数的定义域． 第二步，精读题目挖已知条件：函数中所包含的代数式有分式、偶次开方式． 第三步，建立联系寻解题思路：自变量必须使所有的代数式均有意义． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　(1)要使函数f(x)有意义，则有3x－2>0，∴x>，即f(x)的定义域为. (2)要使函数f(x)有意义，则⇒x≥－1且x≠2，即f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，＋∞). (3)要使函数f(x)有意义，则解得x≥－4且x≠0，x≠－2， 即f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2，0)∪(0，＋∞). [方法总结]　已知函数解析式，求定义域需注意以下三个方面：一是不能对函数解析式化简，否则可能造成定义域变化；二是要使函数解析式中的每一部分都有意义；三是定义域要用集合或区间形式表示． [训练3]　(1)函数y＝的定义域为(　　) A．　　　　　　B．或 C．或 D． B　[由解得] (2)已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为________． 　[由题意知0＜y＜10，即0＜10－2x＜10，解得0＜x＜5.又底边长y与腰长x应满足2x＞y，即4x＞10，x＞.综上，＜x＜5.] [对应学生用书P45] 1．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是(　　) A．f：x→y＝x　　　　　 B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝ C　[对选项C，当x＝4时，y＝>2不合题意，故选C.] 2．与函数y＝x＋1相同的函数是(　　) A．y＝ B．y＝t＋1 C．y＝ D．y＝()2 B　[y＝x＋1的定义域为R，值域也是R，选项A的定义域为{x|x≠1}，D的定义域为{x|x≥－1}，而C中y＝≥0，由同一函数的定义知应选B.] 3．(多选题)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　) BC　[对于A，由图象可知，函数的定义域为[0，1]，而集合M＝{x|0≤x≤2}，不符合题意； 对于B，由图象可知，函数的定义域为[0，2]，值域为[0，2]，满足函数的定义，故正确； 对于C，由图象可知，函数的定义域为[0，2]，值域为[0，2]，满足函数的定义，故正确； 对于D，由图象可知，图形中一个x有两个y值与之相对应，不满足函数的定义，故不正确．] 4．已知函数f(x)＝x＋， (1)求f(x)的定义域； (2)求f(－1)，f(2)的值； (3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值． 解　(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0， ∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞). (2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝. (3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$