第3章 3.1.1 对函数概念的再认识（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“对函数概念的再认识”核心知识点，从初中变量关系描述过渡到用集合语言和对应关系刻画函数，系统梳理函数三要素、定义域求法、同一函数判断及函数值计算，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料通过问题链衔接初中知识与高中抽象概念，如例1结合集合对应关系判断函数，培养数学眼光中的抽象能力。例题与跟踪训练分层设计，强化数学思维中的推理意识，助力学生掌握定义域求法等。课中辅助教师引导概念形成，课后课时对点练帮助学生巩固，提升用数学语言表达函数关系的能力。

3.1.1　对函数概念的再认识 学习目标　1.在初中用变量之间的关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.2.了解构成函数的三要素,会判断两个函数是否为同一个函数.3.会求简单函数的定义域及函数值. 导语 函数对我们来说并不陌生,从学习加、减、乘、除开始,我们实际上就一直在和函数打交道.比如路程随时间的变化而变化；一天中温度随时间的变化而变化；天宫二号在发射过程中,上升的高度随时间的变化而变化,可以说这种变量关系无处不在,而我们要做的就是用心去体验、去感受它的美. 一、函数的概念 问题1　阅读课本上的内容,并思考初中学过的函数概念是什么？ 提示　如果在一个变化过程中有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量. 问题2　初中我们学习过哪些函数？ 提示　一次函数、二次函数和反比例函数. 知识梳理　函数的概念 概念 一般地,设A,B是两个非空的实数集,如果按照某种确定的对应关系f,对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都有唯一的数y和它对应,那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数 三要素 对应关系 y＝f(x)(x∈A,y∈B) 定义域 x的取值范围 值域 所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A} 注意点： (1)A,B是非空的实数集. (2)定义域是非空的实数集A,但函数的值域不一定是非空实数集B,而是集合B的子集. (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性,即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应. (4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图象或表格,或其他的对应关系. (5)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号表示函数. 例1　(1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A.A＝{－1,0,1},B＝{0,1},f：A中的数平方 B.A＝{0,1},B＝{－1,0,1},f：A中的数开方 C.A＝Z,B＝Q,f：A中的数取倒数 D.A＝R,B＝{x|x≥0},f：A中的数取绝对值 答案　AD 解析　按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中,集合A中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义. (2)下列图象中,不能作为y＝f(x)的函数图象的是(　　) 答案　D 解析　任作一条垂直于x轴的直线,移动直线,此直线与函数图象至多有一个交点,选项D不满足函数图象的要求. 反思感悟　(1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点,则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数. 跟踪训练1　(1)已知集合M＝{－1,1,2,4},N＝{1,2,4},给出下列四个对应关系,其中能构成从M到N的函数的是(　　) A.y＝x2 B.y＝x＋1 C.y＝x－1 D.y＝|x| 答案　D (2)(多选)下列四个图形各表示两个变量x,y的对应关系,其中表示y是x的函数关系的是(　　) 答案　BC 二、求函数的定义域 例2　(课本例1)确定下列函数的定义域： (1)f(x)＝； (2)g(x)＝. 解　(1)要使二次根式有意义,实数x需满足x2＋x－2≥0,即x≤－2或x≥1.故函数f(x)的定义域为(－∞,－2]∪[1,＋∞). (2)要使分式有意义,当且仅当分式的分母x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)≠0,即需满足x≠－1且x≠－2.故函数g(x)的定义域为(－∞,－2)∪(－2,－1)∪(－1,＋∞)；也可表示为{x|x≠－1且x≠－2}或R\{－1,－2}. 例2　(1)函数f(x)＝的定义域为　　　　.  答案　[1,＋∞) 解析　要使f(x)有意义,则 解得x≥1,所以f(x)的定义域为[1,＋∞). (2)函数f(x)＝的定义域为　　　　.  答案　∪ 解析　要使函数f(x)有意义, 则解得x≥－2且x≠ ∴f(x)的定义域为∪. 延伸探究　若f(2x＋1)的定义域是[－1,3],则f(x)的定义域为　　　　.  答案　[－1,7] 解析　∵－1≤x≤3,∴－1≤2x＋1≤7, ∴f(x)的定义域为[－1,7]. 反思感悟　求函数的定义域应关注三点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形,以避免定义域变化. (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. 跟踪训练2　求下列函数的定义域： (1)y＝3－x；(2)y＝； (3)y＝；(4)y＝. 解　(1)函数y＝3－x的定义域为R. (2)要使函数有意义,则 解得x>－2且x≠－1, 所以函数y＝的定义域为{x|x>－2且x≠－1}. (3)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足 解得x≤5,且x≠±3, 所以函数y＝的定义域为{x|x≤5且x≠±3}. (4)要使函数有意义,则 即解不等式组得－1≤x<1. 所以函数y＝的定义域为{x|－1≤x<1}. 三、同一个函数 两个函数f(x)和g(x)是同一个函数，当且仅当它们有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)=g(x). 注意点：即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数，所以判断两个函数是不是同一个函数分两步：①看定义域；②看对应关系，两步同时满足，则是同一个函数；否则不是. 例3　(课本例2)下列函数中哪个与函数y＝x(x∈R)是同一个函数？ (1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝. 解　(1)函数y＝()2＝x(x∈[0，＋∞))，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同，但定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数. (2)函数y＝＝x(x∈R)，它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)是同一个函数. (3)函数y＝＝t(t∈(－∞，0)∪(0，＋∞))，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同，但定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数. 例3　(多选)下列各组函数f(x)与g(x)是同一个函数的是(　　) A.f(x)＝g(x)＝x－1 B.f(x)＝·g(x)＝ C.f(x)＝g(x)＝x＋3 D.汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5) 答案　BD 解析　对于A,不是同一个函数,定义域不同, f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R； 对于B,是同一个函数,定义域、对应关系都相同； 对于C,不是同一个函数,对应关系不同, f(x)＝|x＋3|,g(x)＝x＋3； 对于D,是同一个函数,定义域、对应关系都相同. 反思感悟　判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时,必须是等价变形. 跟踪训练3　f(x)与g(x)表示同一个函数的是(　　) A.f(x)＝x2,g(x)＝ B.f(x)＝1,g(x)＝(x－1)0 C.f(x)＝2x＋1,g(x)＝2x＋1(x≥0) D.f(x)＝g(x)＝ 答案　D 解析　A选项中两函数的对应关系不同； B,C选项中两函数的定义域不同. 四、求函数值 例4　(课本例3)已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1和g(x)＝x2,计算下列各式： (1)f(2)＋g(3)；(2)f(a2)－g(a)； (3)f(f(f(0))). 解　(1)f(2)＋g(3)＝(2＋1)＋32＝3＋9＝12. (2)f(a2)－g(a)＝(a2＋1)－a2＝1. (3)因为f(0)＝0＋1＝1, 所以f(f(0))＝f(1)＝1＋1＝2, 从而f(f(f(0)))＝f(2)＝2＋1＝3. 例4　已知函数f(x)＝g(x)＝. (1)求f(2),f(3),f(g(2)),f(g(3))； (2)求f(g(x)). 解　(1)f(2)＝＝－. f(3)＝＝－. ∵g(2)＝∴f(g(2))＝f. ∵g(3)＝∴f(g(3))＝f. (2)∵g(x)＝ ∴f(g(x))＝f. 反思感悟　(1)函数求值的方法 ①求f(a)：已知f(x)时,只需用a替换f(x)中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. (2)函数求值的关注点：用来替换f(x)中x的数a必须是函数定义域内的值,否则函数无意义. 跟踪训练4　已知函数f(x)＝g(x)＝3x2＋1. (1)求f(1),g(1)的值； (2)求f(g(1))的值； (3)求f(a－1),g(a＋1),f(g(a＋1)). 解　(1)f(1)＝g(1)＝3×12＋1＝4. (2)f(g(1))＝f(4)＝. (3)f(a－1)＝ g(a＋1)＝3(a＋1)2＋1＝3a2＋6a＋4, f(g(a＋1))＝f(3a2＋6a＋4)＝. 1.知识清单： (1)函数的概念. (2)求函数的定义域. (3)同一个函数. (4)求函数值. 2.方法归纳：定义法、整体代换. 3.常见误区：函数概念的理解. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共30分；多选题每小题6分,共18分 1.下列图形中不是函数图象的是(　　) 答案　A 解析　A中存在一个横坐标对应两个纵坐标,这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故A不是函数图象,B,C,D均符合函数定义. 2.(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8},集合B＝{y|0≤y≤4},则下列对应关系中,可看作是从A到B的函数关系的是(　　) A.f：x→y＝x B.f：x→y＝x C.f：x→y＝x D.f：x→y＝x 答案　ABC 解析　根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,在集合B中没有元素与它对应,故不正确. 3.已知f(x)＝π(x∈R),则f(π2)的值是(　　) A.π2 B.π C. D.不确定 答案　B 解析　由函数解析式可知该函数为常函数,因此自变量取任意实数时函数值不变,均为π,故f(π2)＝π. 4.函数y＝的定义域为(　　) A.(－∞,3] B.[0,3] C.(0,2)∪(2,3) D.[0,2)∪(2,3] 答案　D 解析　由题意,得 解得0≤x≤3且x≠2. 故函数的定义域为[0,2)∪(2,3]. 5.设f：x→y＝x2是集合A到集合B的函数,如果集合B＝{1},那么集合A不可能是(　　) A.{1} B.{－1} C.{－1,1} D.{－1,0} 答案　D 解析　若集合A＝{－1,0},则0∈A,但02∉B. 6.(多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　) A.f(x)＝x,g(x)＝ B.f(x)＝g(x)＝x C.f(x)＝x2,g(x)＝ D.f(t)＝g(t)＝t＋4(t≠4) 答案　CD 解析　A项中两个函数的定义域不同,所以这两个函数不是同一个函数； B项中两个函数的定义域相同,但对应关系不同, 所以这两个函数不是同一个函数； C项中两个函数的定义域与对应关系均相同, 所以这两个函数是同一个函数； D项中两个函数的定义域与对应关系均相同,所以这两个函数是同一个函数. 7.(5分)已知函数f(x)＝则f(x)的定义域是　　　　,f(1)＝　　　　.  答案　[－1,0)∪(0,＋∞)　＋1 解析　要使函数f(x)有意义,必满足 解得x≥－1且x≠0. ∴f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,＋∞), f(1)＝＋1. 8.(5分)如图,f：A→B表示从集合A到集合B的函数,若f(a)＝2,则a的值为　　　　.  答案　1或2 解析　由图可知,若f(a)＝2,则a＝1或2. 9.(10分)求下列函数的定义域： (1)f(x)＝＋4；(5分) (2)f(x)＝.(5分) 解　(1)要使函数式有意义,必须满足 即所以≤x≤ 即函数的定义域为. (2)要使函数式有意义,必须满足 即解得 所以函数的定义域为{x|x<0且x≠－3}. 10.(10分)已知f(x)＝(x∈R且x≠－1),g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求f(2),g(2)的值；(2分) (2)求f(g(2))的值；(2分) (3)求f(a＋1),g(a－1)；(3分) (4)若g(a)＝4,求实数a的值.(3分) 解　(1)因为f(x)＝ 所以f(2)＝. 又因为g(x)＝x2＋2, 所以g(2)＝22＋2＝6. (2)f(g(2))＝f(6)＝. (3)f(a＋1)＝. g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3. (4)因为g(a)＝a2＋2＝4, 所以a2＝2,a＝±. 11.若周长为定值a的矩形,它的面积S是这个矩形的一个边长x的函数,则这个函数的定义域是(　　) A.(a,＋∞) B. C. D. 答案　D 解析　依题意知矩形的一边长为x, 则该边的邻边边长为－x, 由得0<x< 故这个函数的定义域是. 12.下列函数中,对于定义域内的任意x,f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为(　　) A.f(x)＝x＋1 B.f(x)＝－x2 C.f(x)＝ D.f(x)＝|x| 答案　A 解析　f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1,A成立. f(x＋1)＝－(x＋1)2,f(x)＋1＝－x2＋1,B不成立. f(x＋1)＝f(x)＋1＝＋1,C不成立. f(x＋1)＝|x＋1|,f(x)＋1＝|x|＋1,D不成立. 13.(5分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋2f(1－x)＝x2＋1,则f(0)＝　　　　　　.  答案　1 解析　当x＝0时,f(0)＋2f(1)＝1, ① 当x＝1时,f(1)＋2f(0)＝2, ② 由②×2－①,得3f(0)＝3,即f(0)＝1. 14.(5分)若函数f(x)的定义域是[0,1],则函数g(x)＝f(x＋a)·f(2x－a)的定义域为　　　　　　.  答案　 解析　∵f(x)的定义域是[0,1], ∴解得 ∵<a< ∴－(1－a)＝>0, －(1－a)＝a－1<0, 可得≤x≤1－a, 即函数g(x)的定义域为. 15.(多选)南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值,对于中国乃至世界是一个重大贡献,后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”,简称“祖率”.已知圆周率π＝3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…,如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n),则下列说法正确的是(　　) A.y＝f(n),n∈N＋是一个函数 B.当n＝5时,f(n)＝3.141 59 C.f(4)＝f(8) D.f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 答案　ACD 解析　对于选项A,对于任意n∈N＋,均存在唯一的f(n)与之对应,符合函数的定义,可知y＝f(n),n∈N＋是一个函数,故A正确； 对于选项B,C,因为f(4)＝5,f(5)＝9,f(8)＝5,故B错误,C正确； 对于选项D,由定义可知f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故D正确. 16.(12分)已知函数f(x)＝(m∈R). (1)若f(2)＝2,求实数m及f(f(5)＋1)；(4分) (2)若m＝10,求f(x)的定义域；(3分) (3)若f(x)的定义域为(1,＋∞),求实数m的取值范围.(5分) 解　(1)f(2)＝＝2,解得m＝－6, 所以f(x)＝则f(5)＝＝2, 所以f(f(5)＋1)＝f(3)＝. (2)当m＝10时,f(x)＝要使f(x)有意义,则 解得x≥5,所以f(x)的定义域为[5,＋∞). (3)因为f(x)的定义域为(1,＋∞), 所以y＝x2－3x－m＝－m≥0在(1,＋∞)上恒成立, 所以当x＝时,y＝x2－3x－m的最小值ymin＝－－m≥0,解得m≤－ 所以m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $