3.1.1 对函数概念的再认识-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

3.1.1　对函数概念的再认识 　 第3章　3.1　函数 学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，理解函数概念，培养数学抽象核心素养. 3.了解构成函数的要素. 4.能求简单函数的定义域，培养数学运算核心素养. 5.会判断两个函数是否为同一个函数，培养数学抽象核心素养. 6.会求一些简单函数的值域，培养数学运算核心素养. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　函数的概念 函数的定义 设A，B是两个非空的________，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的_____________，在集合B中都有______的数y和它对应，那么就称f：A→B为定义于A取值于B的函数 函数的记法 y＝f(x)(x∈A，y∈B) 定义域 x称为自变量，x的取值范围A称为函数的定义域 值域 与x∈A对应的数y称为函数值，记作f(x)，所有函数值组成的集合______________称为函数的值域 实数集 任何一个数x 唯一 {f(x)｜x∈A} 知识梳理 点拨　对函数概念的3点说明 (1)当A，B为非空数集时，符号f：A→B表示从集合A到集合B的一个函数. (2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性. (3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样. 知识点二　同一个函数 一个函数的构成要素为：________、__________和______.两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作 相等. 点拨　自变量和因变量用什么字母表示与函数无关，不影响两个函数的关系.两个函数的关系是通过检验两个函数的定义域和对应关系是否相同来确定的.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说： (1)定义域不同，两个函数也就不同； (2)对应关系不同，两个函数也是不同的. 定义域 对应关系 值域 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数. ( ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合. ( ) (3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y. ( ) (4)在函数的定义中，集合B是函数的值域. ( ) 自主检测 √ × × × 2.函数f(x)＝的定义域是 A.{x｜x＜4} B.{x｜x≤4} C.{x｜x＞4} D.{x｜x≥4} √ 由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x｜x＜4}. 3.若函数f(x)＝，则f(3)＝ A.2 B.4 C.2 D.10 √ 因为f(x)＝，所以f(3)＝＝2. 4.下图中能表示函数关系的是_________(填序号). 由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数. ①②④ 返回 合作探究 返回 探究点一　函数概念的理解 (1)在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数是 ①A＝{x｜x∈Z}，B＝{y｜y∈Z}，对应关系f：x→y＝； ②A＝{x｜x＞0，x∈R}，B＝{y｜y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x； ③A＝{x｜x∈R}，B＝{y｜y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25； ④A＝R，B＝R，对应关系f：x→y＝x2； ⑤A＝{(x，y)｜x∈R，y∈R}，B＝R，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y； ⑥A＝{x｜－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0. A.①⑤⑥ B.②④⑤⑥ C.②③④ D.①②③⑤ √ 典例 1 ①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应，所以不能确定y是x的函数.②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数.③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数.⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数.④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数.故 选D. (2)设M＝{x｜0≤x≤2}，N＝{y｜0≤y≤2}，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ ①中，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是.因此只有②是，故 选B. 1.判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空数集. (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应. 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系. 规律方法 2.根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 规律方法 对点练1．下列图象中表示函数图象的是 由函数定义可知，对于任意自变量x的值，都有唯一的函数值与其对应，结合四个选项可知，只有C符合要求，故选C. √ 探究点二　求函数的定义域 求下列函数的定义域： (1)f(x)＝＋； 解：要使函数有意义，只需≤x≤，则函数的定义域为. 典例 2 (2)y＝； 解：要使函数有意义，只需解得x＞－2且x≠－1， 则函数y＝的定义域为{x｜x＞－2且x≠－1}， (3)y＝－＋. 解：要使函数有意义，只需解得－≤x＜2且x≠0， 则函数y＝－＋. 已知解析式求函数定义域的一般方法 1.如果f(x)是整式，其定义域是实数集R(通常省略不写)； 2.如果f(x)是分式，其定义域是使分母不为0的实数集合； 3.如果f(x)是二次根式(偶次根式)，其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； 4.如果f(x)是由以上几部分式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； 5.f(x)＝x0的定义域是{x｜x∈R，且x≠0}. 规律方法 对点练2．函数f(x)＝＋的定义域是 A.[－1，3) B.[－1，＋∞) C.[－1，3)∪(3，＋∞) D.(3，＋∞) 要使函数有意义，则需满足不等式解得：x≥－1且x≠3， 故选C. √ 探究点三　同一个函数的判断 判断下列各组函数是否表示同一个函数. (1)f(x)＝2x＋1与g(x)＝； 解：g(x)＝｜2x＋1｜， f(x)与g(x)的对应关系不同，因此是不同的函数； (2)f(x)＝与g(x)＝x－1； 解：f(x)＝x－1(x≠0)， f(x)与g(x)的定义域不同，因此是不同的函数； 典例 3 (3)f(x)＝｜x－1｜与g(t)＝ 解：f(x)＝ f(x)与g(t)的定义域相同，对应关系相同，因此表示同一个函数； (4)f(n)＝2n－1与g(n)＝2n＋1(n∈Z). 解：f(n)与g(n)的定义域和对应关系都不同，因此是不同的函数. 判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤 注意　(1)在化简解析式时，必须是等价变形； (2)与用哪个字母表示无关. 规律方法 对点练3．(多选)下列各组函数表示同一函数的是 A.f(x)＝x，g(x)＝ B.f(x)＝x，g(x)＝ C.f(x)＝x－1(x≠－1)，g(x)＝ D.f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0 A中f(x)定义域是R，g(x)定义域是R，且g(x)＝＝x，是同一函数； B中f(x)定义域是R，g(x)定义域是R，但g(x)＝｜x｜，不是同一函数； C中f(x)定义域是{x｜x≠－1}，g(x)定义域是{x｜x≠－1}，且g(x)＝ ＝x－1(x≠－1)，是同一函数； D中f(x)定义域是R，g(x)定义域是{x｜x≠0}，不是同一函数.故选AC. √ √ 探究点四　求函数的值或值域 (1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝ ____，f(g(2))＝_____. 典例 4 因为f(x)＝(x∈R，且x≠－1)， 所以f(2)＝＝. 又因为g(x)＝x2＋2(x∈R)， 所以g(2)＝22＋2＝6， 所以f(g(2))＝f(6)＝＝. 　 　 (2)求下列函数的值域： ①y＝x＋1； (观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R. ②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； (配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)， 再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6). ③y＝； (分离常数法)y＝＝＝3－. 因为0，所以y≠3， 所以y＝的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞). ④y＝2x－. (换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2 ＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为. 1.求函数值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值； (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. 2.求函数值域常用的4种方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； (2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； 规律方法 (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； (4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法. 规律方法 对点练4．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝____. 因为f(x)＝－1，所以f(a)＝－1. 又因为f(a)＝3，所以－1＝3，a＝16. 16 对点练5．函数y＝x2＋x(－1≤x≤3)的值域是 A.[0，12] B. C. D. √ 由y＝f(x)＝x2＋x＝－， 则函数的对称轴为x＝－，开口向上， 因为－1≤x≤3， 所以ymax＝f(3)＝32＋3＝12， ymin＝f＝－， 所以函数的值域为. 故选B. 返回 随堂评价 返回 1.函数f(x)＝＋的定义域是 A.[2，3) B.(3，＋∞) C.[2，3)∪(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞) √ 由题意解得x≥2且x≠3.故选C. 2.设f(x)＝，则＝ A.1 B.－1 C. D.－ √ ＝＝＝×＝－1. 3.下列函数表示同一个函数的是 A.f(x)＝，g(x)＝ B.f(x)＝｜x｜，g(x)＝ C.f(x)＝，g(x)＝x＋1 D.f(x)＝1，g(x)＝x0 √ 对于A，函数f(x)，g(x)的定义域都为R， f(x)＝＝x，g(x)＝＝｜x｜，所以函数f(x)，g(x)不是相等函数； 对于B，函数f(x)，g(x)的定义域都为R， g(x)＝＝｜x｜，所以函数f(x)，g(x)是相等函数； 对于C，函数f(x)的定义域为，函数g(x)定义域为R，所以函数f(x)，g(x)不是相等函数； 对于D，函数g(x)的定义域为，函数f(x)定义域为R，所以函数f(x)，g(x)不是相等函数.故选B. 4.已知函数y＝的定义域是R，求实数m的取值范围. 解：①当m＝0时，y＝，其定义域是R，符合题意. ②当m≠0时，由定义域为R，可知 mx2－6mx＋9m＋8≥0对一切实数x均成立， 于是有解得m＞0. 综上，可知实数m的取值范围是[0，＋∞). 返回 课时分层评价 返回 1.(多选)下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是 A.M＝，N＝{－6，－3，1}， f＝－6， f(1)＝－3， f＝1 B.M＝N＝{x｜x≥－1}， f(x)＝2x＋1 C.M＝N＝{1，2，3}， f(x)＝2x＋1 D.M＝Z，N＝{－1，1}， f(x)＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由函数的定义知，A正确；B中，任取x∈M，都有x≥－1，从而2x＋1≥－1，因此集合M中的每一个元素在集合N中都有唯一的元素与之对应，故B正确；C中，取x＝3∈M， f(x)＝2×3＋1＝7∉N，故C不正确；D中，M＝Z，N＝{－1，1}，当x为奇数时， f(x)＝－1，当x为偶数时， f(x)＝1，满足函数的定义，故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.下列各组函数中，表示同一函数的是 A.y＝与y＝ B.y＝x与y＝ C.y＝与y＝x0 D.y＝x2与y＝(x＋1)2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A.由于函数y＝＝定义域是[0，＋∞)，y＝(x2定义域是R，即两个函数的定义域不同，则A不对； B.由于函数y＝x，y＝＝｜x｜，即两个函数的解析式不同，则B不对； C.由于函数y＝＝1定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x0＝1定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，即两个函数的定义域，解析式相同，则C对； D.由于函数y＝x2与y＝(x＋1)2，即两个函数的解析式不同，则D不对.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.函数y＝＋的定义域是 A.[0，1) B.(1，＋∞) C.(0，1)∪(1，＋∞) D.[0，1)∪(1，＋∞) √ 依题意，解得x≥0且x≠1，即函数的定义域为[0，1)∪(1， ＋∞)，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.若集合A＝{x｜y＝}，B＝{y｜y＝}，则 A.A＝B　　　 B.A∩B＝⌀ C.A∩B＝A　　 D.A∪B＝A √ 由x－1≥0得x≥1，所以A＝{x｜y＝}＝[1，＋∞).由x－1≥0得≥0，所以B＝{y｜y＝}＝[0，＋∞).故A⫋B，从而A∩B＝A，故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是 A.[0，8)　 B.(8，＋∞)　　 C.(0，8)　　 D.(－∞，0)∪(8，＋∞) √ 因为函数f(x)的定义域为R，所以不等式mx2－mx＋2＞0的解集为R. ①当m＝0时，2＞0恒成立，满足题意； ②当m≠0时，则解得0＜m＜8. 综上可得，实数m的取值范围是[0，8).故选A. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.已知函数f(x)＝＋，则f(x)的定义域是____________________， f(1)＝________. 由题意得，解得x≥－1且x≠0， 所以f(x)的定义域是[－1，0)∪(0，＋∞). f(1)＝＋＝＋1. [－1，0)∪(0，＋∞) ＋1 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.若集合A＝{0，1，3，m}，B＝{1，4，a4，a2＋3a}，其中m∈N＋，a∈N＋， f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B是从定义域A到值域B的一个函数，则m＋a＝____. 因为A＝{0，1，3，m}，B＝{1，4，a4，a2＋3a}，m∈N＋，a∈N＋， f：x→y＝3x＋1， 所以f(0)＝1， f(1)＝4， f(3)＝10， f(m)＝3m＋1. 当a4＝10时，a＝±，不满足a∈N＋， 当a2＋3a＝10时，a＝2或a＝－5(舍去)，故a＝2. 因此f(m)＝3m＋1＝a4＝16，所以m＝5， 从而m＋a＝7，故答案为7. 7 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.函数y＝2－的值域是________. 因为－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，且－x2＋4x≥0，所以0≤－x2＋4x≤4，所以0≤≤2，所以－2≤－≤0，所以0≤2－≤2，故函数y＝2－的值域是[0，2]. [0，2] 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)求下列函数的定义域： (1)y＝·； 解：由题意得，⇒x＝1， 所以函数的定义域为{1}. (2)y＝(x－1)0＋. 解：由题意得，解得x＞－1且x≠1， 所以函数的定义域为{x｜x＞－1且x≠1}. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R). (1)求f(2)，g(3)的值； 解：因为f(x)＝， 所以f(2)＝＝－. 因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8. (2)求f(g(3))的值及f(g(x)). 解：依题意，知f(g(3))＝f(8)＝＝－， f(g(x))＝＝＝(x≠0). 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.(15分)规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1(g(x)). (1)分别求f1和f2； 解：因为x＝时，4x＝， 所以f1＝＝1，g＝－＝. 所以f2＝f1＝f1＝[3]＝3. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求x的取值范围，使它同时满足f1(x)＝1，f2(x)＝3. 解：因为f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1， 所以f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3. 所以≤x＜. 故满足题意的x的取值范围为. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(15分)已知函数f(x)＝. (1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值； 解：因为f(x)＝， 所以f(2)＋f＝＋＝1， f(3)＋f＝＋＝1. 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的结论. 解：由(1)可发现f(x)＋f＝1. 证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1. 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 3.1　函数 返回 $