2.3.1 一元二次不等式及其解法（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

2．3　一元二次不等式 2．3.1　一元二次不等式及其解法 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解一元二次不等式概念并掌握一元二次不等式的解法． 2.理解“三个二次”间的关系． 1.在求解一元二次不等式的过程中，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 2.在理解“三个二次”间关系的过程中强化数学抽象、直观想象的核心素养． [对应学生用书P36] 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 一元二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个相异实根x1、2＝(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(×) (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．(×) (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．(×) (4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(√) 2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　) A．　　　　 B． C．∅ D． D　[变形为(3x＋1)2≤0，∴x＝－.] 3．不等式≥2的解集为(　　) A．[－1，0) B．[－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪(0，＋∞) A　[由≥2得－2≥0，即≥0. 则原不等式等价于∴－1≤x<0.] 4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________． ∅　[原不等式变形为3x2－5x＋4<0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅．] 5．若一元二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________． (－∞，－1)　[由题意知⇒⇒a＜－1.] [对应学生用书P36] (1)解下列一元二次不等式： ①x2－3x＋5>0；②－6x2－x＋2≥0； (2)解不等式组： (3)解不等式组：0≤x2－x－2≤4. 解　(1)①∵Δ＝(－3)2－4×5＝9－20<0，∴x2－3x＋5>0的解集为R. ②原不等式可化为6x2＋x－2≤0， ∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，∴方程6x2＋x－2＝0有两个不相等的实数根，分别是－，. ∴原不等式的解集为. (2)原不等式组化为 即 ∴∴1≤x<2. ∴原不等式组的解集为{x|1≤x<2}． (3)原不等式组即为 即 ∴∴－2≤x≤－1或2≤x≤3. ∴原不等式组的解集为{x|－2≤x≤－1或2≤x≤3}． [方法总结]　解不含参数的一元二次不等式的方法 方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积的形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号的方向得到不等式的解集． 方法二：若不等式对应的一元二次方程能够转化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得． 方法三：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法． [训练1]　(1)解下列一元二次不等式： ①－x2＋2x－>0；②－x2＋3x－5>0； (2)求不等式组的解集． (1)解　①不等式两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0， ∵3>0， Δ＝36－24＝12>0，且方程3x2－6x＋2＝0的根是 x1＝1－，x2＝1＋， ∴原不等式的解集是. ②不等式可化为x2－6x＋10<0， Δ＝(－6)2－4×10＝－4<0，∴原不等式的解集为∅. (2)解　方程3x2－7x－10＝0的两根为x1＝－1，x2＝，因此不等式3x2－7x－10≤0的解集是，方程x2－5x＋4＝0的两根为x1＝1，x2＝4， ∴不等式x2－5x＋4>0的解集是(－∞，1)∪(4，＋∞). ∴不等式组的解集为[－1，1). 解下列不等式： (1)<0；(2)≤2；(3)>1. 解　(1)由<0，得>0， 此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}． (2)法一：移项得－2≤0，左边通分并化简有≤0， 即≥0，它的同解不等式为 ∴x<2或x≥5，∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}． 法二：原不等式可化为≥0， 此不等式等价于①或② 解①得x≥5，解②得x<2，∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}． (3)法一：原不等式可化为<0， ∵x2＋x＋1＝＋>0， ∴x2－1<0，解得－1<x<1， ∴原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 法二：∵x2＋x＋1>0，∴原不等式可化为x＋2>x2＋x＋1， 即x2－1<0，解得－1<x<1， ∴原不等式的解集为{x|－1<x<1}． [方法总结]　分式不等式的解法要做等价变形，可利用移项，通分，但要防止解集的扩大或缩小．比如≤1写成1≤x－1，这就默认x－1为正数，导致取值范围错误． [训练2]　解不等式≤1. 解　法一：原不等式可化为－1≤0，即≤0， 故有≥0，所以x－2与x－1同号或x－2＝0， 故有或所以x≥2或x<1. 所以原不等式的解集为{x|x≥2或x<1}． 法二：由法一，原不等式整理为≥0， 它等价于(x－1)(x－2)≥0且x≠1，由此解得原不等式的解集为{x|x≥2或x<1}． 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R). 解　原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0. 当a＜0时，a＜a2，原不等式的解集为 {x|x＜a或x＞a2}； 当a＝0时，x2＞0，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式的解集为 {x|x＜a2或x＞a}； 当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当a＞1时，a＜a2，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}． 综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}． [变式]　将本例改为“解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.” 解　(1)当a＝0时，原不等式即为－x＋1＜0，解得x＞1. (2)当a＜0时，原不等式化为(x－)(x－1)＞0， 解得x＜或x＞1. (3)当a＞0时，原不等式化为(x－)(x－1)＜0. ①当a＝1，即＝1时，不等式无解； ②当a＞1，即＜1时，解得＜x＜1； ③当0＜a＜1，即＞1时，解得1＜x＜. 综上，当a＜0时， 不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为{x}； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a＞1时，不等式的解集为{x}． [方法总结]　在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从以下三个方面进行考虑： (1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0，a＝0，a<0； (2)关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(Δ>0)、一根(Δ＝0)、无根(Δ<0)； (3)关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 探究四　一元二次不等式、一元二次方程与二次函数间的关系 已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集． 第二步，精读题目挖已知条件：关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}． 第三步，建立联系寻解题思路：解集{x|1＜x＜2}的端点1，2是对应方程x2＋ax＋b＝0的两根． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　由根与系数的关系，可得即 ∴不等式bx2＋ax＋1＞0，即2x2－3x＋1＞0. 由2x2－3x＋1＞0，解得x＜，或x＞1. ∴bx2＋ax＋1＞0的解集为. [方法总结]　应用三个“二次”之间的关系解题的思想 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换． [训练3]　已知不等式ax2＋bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值． 解　法一：由题意知x1＝1，x2＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根，故，解得a＝1，b＝－3. 法二：由题意知x1＝1，x2＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根，由根与系数的关系得，解得a＝1，b＝－3. [对应学生用书P39] 1．不等式>0的解集是(　　) A．　　 B． C． D． A　[>0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>或x<－，此不等式的解集为.] 2．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是，则a的值为(　　) A．－ B．2 C．－2 D． C　[因为不等式ax2＋5x－2>0的解集为，所以，2为方程ax2＋5x－2＝0的两个根．根据根与系数的关系可得×2＝－，解得a＝－2.] 3．不等式ax2＋bx＋12＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则a－b＝________． 0　[由题意，得解得 ∴a－b＝0.] 4．解下列不等式： (1)x(7－x)≥12； (2)x2>2(x－1). 解　(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0， 因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4， 所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}． (2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0， 因为判别式Δ＝4－8＝－4<0， 所以方程x2－2x＋2＝0无实数根，抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上． 所以原不等式的解集 学科网（北京）股份有限公司 $$