2.2 从函数观点看一元二次方程（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

2．2　从函数观点看一元二次方程 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解一元二次方程与二次函数的关系． 2.理解二次函数零点的概念． 3.掌握图象法解一元二次方程． 　　通过学习一元二次方程与二次函数的关系，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P32] 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象之间的关系如下表： 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 2.二次函数的零点 一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 3．一元二次方程根与系数的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)函数y＝x2－2x＋1的零点是(1，0)(×) (2)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等实数根，则b2－4ac>0.(√) (3)一元二次方程x2＋ax＋a－1＝0有实数根．(√) 2．(多选题)函数f(x)＝x2－16的零点是(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．(4，0) C．－4 D．(－4，0) AC　[利用直接开平方法解方程，即x2－16＝0，∴x2＝16，解得x1＝4，x2＝－4.] 3．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．3 C　[因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.] 4．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　) A．－1 B．1 C．－2或2 D．－3或1 A　[由x(x＋1)＋ax＝0，得x2＋(1＋a)x＝0. 因为方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ＝(1＋a)2＝0.所以a＝－1.] 5．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数有________个零点． 2　[由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．] [对应学生用书P33] 求下列函数的零点 (1)f(x)＝4x2－25 (2)函数y＝ax2－bx－c的图象如图所示， (3)f(x)＝x2－4x＋10. 解　(1)令4x2－25＝0，得4x2＝25. 两边都除以4，得x2＝.解得x1＝，x2＝－. 所以函数f(x)＝4x2－25的零点为，－. (2)因为函数的图象与x轴交点的横坐标为－1和3. 所以该函数的零点为－1和3. (3)令f(x)＝x2－4x＋10＝0 ∵a＝1，b＝－4，c＝10， Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×10＝8>0， ∴x＝＝＝2±， ∴x1＝2＋，x2＝2－. ∴函数的零点为2＋，2－. [方法总结]　函数零点的求法 1．代数法：求一元二次方程f(x)＝0的实数根． 2．几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． [训练1]　求下列函数的零点． (1)f(x)＝x2＋7x＋6； (2)函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， (3)f(x)＝3x2＋6x＋1. 解　(1)令f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x1＝－1或x2＝－6， 所以函数的零点是－1，－6. (2)因为函数的图象与x轴交点的横坐标为0和7. 所以该函数的零点为0和7. (3)令3x2＋6x＋1＝0，∵a＝3，b＝6，c＝1， Δ＝b2－4ac＝62－4×3×1＝24>0， ∴x＝＝. ∴x1＝，x2＝. ∴函数f(x)＝3x2＋6x＋1的零点为和. 已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围． (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有实数根； (4)方程无实数根． 解　Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k). (1)因为方程有两个不相等的实数根， 所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<..即k∈ (2)因为方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝. (3)因为方程有实根， 所以Δ≥0，即4(1－3k)≥0，所以k≤.即k∈ (4)因为方程无实根，所以Δ<0，即4(1－3k)<0， 所以k>.即k∈. [方法总结]　对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有 (1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝ ； (2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－； (3)当Δ<0时，方程没有实数根． [训练2]　不解方程，判断下列方程的实数根的个数． (1)2x2－3x＋1＝0； (2)4y2＋9＝12y； (3)5(x2＋3)－6x＝0. 解　(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×1＝1>0，所以原方程有两个不相等的实数根． (2)原方程可化为4y2－12y＋9＝0， 因为Δ＝(－12)2－4×4×9＝0，所以原方程有两个相等的实数根． (3)原方程可化为5x2－6x＋15＝0， 因为Δ＝(－6)2－4×5×15＝－264<0，所以原方程没有实数根． 若x1，x2是方程x2＋2x－2 007＝0的两个根， 试求下列各式的值： (1)x＋x；(2)＋；(3)(x1－5)(x2－5)；(4)|x1－x2|. 解　∵x1，x2是方程x2＋2x－2 007＝0的两个根， ∴x1＋x2＝－2，x1x2＝－2 007， (1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2 007)＝4 018. (2)＋＝＝＝. (3)(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2 007－5×(－2)＋25＝－1 972. (4)|x1－x2|＝＝＝＝＝4. [方法总结]　在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值． [训练3]　已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若此方程的两实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值． 解　(1)∵关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根，∴Δ≥0， 即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，解得k≤，即k的取值范围为. (2)由题知，x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1， ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3. ∵x＋x＝11，∴2k2－6k＋3＝11，即k2－3k－4＝0，解得k＝4或k＝－1， ∵k≤，∴k＝－1. 当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0，1)上，另一个根在(1，2)上． 解　(1)当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意． (2)当a>0时，设f(x)＝ax2－2x＋1， ∵方程的根分别在区间(0，1)，(1，2)上， ∴即解得<a<1. (3)当a<0时，设方程的两根为x1，x2，则x1x2＝<0，x1，x2一正一负不符合题意．综上，a的取值范围为. [变式]　若关于x的方程ax2－2x＋1＝0至少有一个正根，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝0时，方程变为－2x＋1＝0，解得x＝，符合题意． (2)当a>0时，解得a≤1，故0<a≤1. (3)当a<0时，因为f(0)＝1，故函数f(x)＝ax2－2x＋1与x轴一定有两个交点，故方程ax2－2x＋1＝0必有一个正根． 综上，实数a的取值范围是(－∞，1]. [方法总结]　解决二次方程根的分布问题应注意以下几点 (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑三个方面： ①开口方向； ②Δ与0的大小； ③对称轴与所给端点值的关系； ④端点的函数值与零的关系． [对应学生用书P35] 1．下列一元二次方程的解集为空集的是(　　) A．x2＋2x＋1＝0　　　　 B．x2＋2x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0 B　[对于选项A：因为Δ＝22－4×1×1＝0，所以方程有两个相等的实数根，选项A不合题意； 对于选项B：Δ＝22－4×1×2<0，所以方程没有实数根，选项B符合题意； 对于选项C：因为方程有两个不相等的实数根x＝±1，选项C不符合题意； 对于选项D：因为Δ＝(－2)2－4×1×(－1)>0，方程有两个不相等的实数根，选项D不合题意．] 2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<1} B．{a|a>1} C．{a|a≤1} D．{a|a≥1} B　[由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.] 3．函数f(x)＝x2＋mx－6的一个零点是－6，则另一个零点是________． 1　[由题意(－6)2－6m－6＝0，解得m＝5， 由x2＋5x－6＝0，解得x1＝－6，x2＝1.故另一个零点为1.] 4．集合{x|(a－2)x2＋3x－1＝0，x∈R}有且仅有两个子集，则a＝____________． 2或－　[∵集合{x|(a－2)x2＋3x－1＝0，x∈R}有且仅有两个子集，∴方程(a－2)x2＋3x－1＝0只有一个根，∴当a＝2时，x＝，成立． 当a≠2时，Δ＝9＋4(a－2)＝0即a＝－，方程只有一个根，∴a＝2或a＝－.] 学科网（北京）股份有限公司 $$