2.1.3 基本不等式的应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

2．1.3　基本不等式的应用 课程内容标准 学科素养凝练 1.能用基本不等式解决简单的最大值最小值问题． 2.能够利用基本不等式解决生活中的实际应用题． 　　通过基本不等式的应用，提升逻辑推理与数学运算的核心素养． [对应学生用书P29] 已知x，y均为正数，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2． (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若a≠0，则a＋≥2＝2.(×) (2)若a>0，b>0，则ab≤.(√) (3)两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值．(×) 2．用铁丝围成一个面积为16 cm2的矩形，最少需要铁丝(　　) A．8 cm　　　B．16 cm　　　C．32 cm　　　D．64 cm 答案　B 3．已知x＞1，则函数f(x)＝x＋的最小值为(　　) A．2 B．2 C．2－1 D．2＋1 D　[∵x＞1，∴x－1＞0，x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．] 4．已知xy>0，且x＋y＝10，则xy的最大值是________． 答案　25 [对应学生用书P30] (1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值； (2)设0<x<，求函数y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知x>2，求x＋的最小值； (4)已知x>0，y>0，且 ＋＝1，求x＋y的最小值． 解　(1)当x>0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时，等号成立． ∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2处取得最小值4. (2)∵0<x<，∴3－2x>0. ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． ∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为. (3)∵x>2，∴x－2>0.∴x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立． ∴x＋的最小值为6. (4)方法一　∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16， 当且仅当＝，＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式等号成立．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 方法二　由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值). 由＋＝1可知x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16， 当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式等号成立． 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. [方法总结] (1)应用基本不等式求最值，必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接应用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形． (2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子进行适当的“拆项、添项、配凑、变形”等，以创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用函数的图象或性质． [训练1]　(1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值； (2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值； (3)若a>0，b>0，且ab＋a＋2b＝30，求y＝ab的最大值． 解　(1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，当且仅当3x＝，即x＝2时，等号成立． ∴f(x)的最小值为12. (2)∵x<3，∴x－3<0.∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1， 当且仅当＝3－x，即x＝1时，等号成立． ∴f(x)的最大值为－1. (3)由ab＋a＋2b＝30，∴b＝(a<30). ∴y＝ab＝.令t＝a＋2，则a＝t－2， ∴y＝34－≤34－2＝18， 当且仅当t＝，即t＝8，a＝6时取等号，此时b＝3. ∴y＝ab的最大值为18. 探究二　利用基本不等式求实际问题中的最值问题 如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫作“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝v2＋v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”． (1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式； (2)当v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？ 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：时间间隔T与速度v的函数关系式，车流量最大值． 第二步，精读题目挖已知条件：“刹车距离”公式s＝v2＋v，“安全距离”为“刹车距离”再加25米． 第三步，建立联系寻解题思路：车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小，T＝. 第四步，书写过程养规范习惯． 解　(1)T＝＝＝＋＋. (2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小． ∵T＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即v＝20时等号成立， ∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大． [方法总结]　利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件． [训练2]　某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解　设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1). 设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立． 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． 若对任意的x>0，≤a恒成立，求a的取值范围． 解　设f(x)＝＝， ∵x>0，∴x＋≥2， 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立． ∴f(x)≤，即f(x)max＝，∴a≥. 故a的取值范围是. [方法总结]　最值法解答恒成立问题 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min. (2)f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max. [训练3]　已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，求实数a的最小值． 解　∵2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立， ∴2(x－a)＋≥7－2a. 设f(x)＝2(x－a)＋， 则原问题可转化为 当x∈(a，＋∞)时，有7－2a≤f(x)min， ∵x∈(a，＋∞)，∴x－a>0. ∴f(x)＝2(x－a)＋≥2＝4. 当且仅当2(x－a)＝，即x－a＝1，x＝a＋1时等号成立． ∴x∈(a，＋∞)时，f(x)min＝4. ∴7－2a≤4，∴a≥.∴a的最小值为. [对应学生用书P32] 1．函数y＝(x＞1)在x＝t处取得最小值，则t等于(　　) A．1＋　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 B　[y＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．] 2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　) A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m C　[设两直角边长分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，即ab＝4.l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m).∵要求够用且浪费最少， ∴选C.] 3．函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为________． 2　[方法一　①当x∈(0，2)时， 4－2x＞0， f(x)＝x(4－2x)≤＝2，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，等号成立． ②当x≤0或x≥2时，f(x)≤0，故f(x)max＝2. 方法二　f(x)＝x(4－2x)＝－2x2＋4x＝－2(x－1)2＋2， ∴当x＝1时f(x)max＝2.] 4．已知a>b>0，求a2＋的最小值． 解　因为a>b>0，所以a－b>0， a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当b＝a－b，a2＝2，a>b>0， 即a＝，b＝时等号成立．所以a2＋的最小值是4. 学科网（北京）股份有限公司 $$