1.2.3 第1课时 含有量词的命题（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

1．2.3　全称量词和存在量词 第一课时　含有量词的命题 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 2.了解全称量词命题和存在量词命题及真假． 　　通过对全称量词与存在量词、全称量词命题和存在量词命题的学习，增强数学抽象、逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P18] 数学中“每一个”和“有一个”叫作量词． 1．全称量词：“任意、“所有”、“每一个”等叫作全称量词，数学上用符号“∀”表示． 2．存在量词：“存在某个”、“至少有一个”等叫作存在量词，数学上用符号“∃”表示． 三、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词命题：设语句P(x)中变量x的取值范围为集合M，则语句“对M的任一个元素x，有P(x)成立”是命题，叫作全称命题． 2．存在量词命题：设语句p(x)中变量x的取值范围为集合M，则语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”是命题，叫作存在量词命题． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)命题“四边形的内角和是360°”是全称量词命题．(√) (2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题.(√) (3)命题“有的无理数的平方不是有理数”是存在量词命题．(√) 2．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有(　　) A．2个　　　B．3个　　　C．4个　　　D．5个 C　[“有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．] 3．下列命题中，不是全称量词命题的为(　　) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．每一个向量都有大小 D．一定存在没有最大值的二次函数 D　[选项ABC都是全称量词命题，选项D是存在量词命题．] 4．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的为(　　) A．有一个x∈R，x2>3 B．对有些x∈R，x2>3 C．任选一个x∈R，x2>3 D．至少有一个x∈R，x2>3 C　[“∀”和“任选一个”都是全称量词．] [对应学生用书P19] (1)(多选题)下列命题中是全称量词命题的为(　　) A．任意一个自然数都是正整数 B．在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P C．三角形的内角和是180° D．存在一个x∈R，使＝0 ABC　[观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词. A中命题含有全称量词，B中命题含有全称量词，而C中命题可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，是全称量词命题，D中命题含有存在量词，不是全称量词命题．] (2)下列语句中不是存在量词命题的为(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数 D．存在x0∈R，2x0＋1是奇数 C 　[因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项ABD均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．] [方法总结]　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 [训练1]　用全称量词或存在量词表示下列语句： (1)不等式x2＋x＋1>0恒成立； (2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数； (3)方程3x－2y＝10有整数解． 解　(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立． (2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数． (3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立． (多选题)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＋2>0　　　 B．∀x∈N，x4≥1 C．∃x∈Z，x3<1 D．∃x∈Q，x2＝3 AC　[对A，由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0. 所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．对B，由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．对C，由于－1∈Z，当x＝－1时，x3<1成立，所以命题“∃x∈Z，x3<1”是真命题．对D，由于使x2＝3成立的数只有±，±都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3.所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．] [方法总结]　全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 (1)全称量词命题的真假判断 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). (2)存在量词命题的真假判断 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题． [训练2]　判断下列命题的真假： (1)∃x∈R，x2－6x－5＝0； (2)∃x∈R，x2－x＋1＝0； (3)∀x∈R，|x＋1|>0. 解　(1)∵方程x2－6x－5＝0中，Δ＝36＋20＝56>0， ∴方程有两个不相等的实数根．∴该命题是真命题． (2)∵方程x2－x＋1＝0中，Δ＝1－4＝－3<0， ∴x2－x＋1＝0无实数解．∴该命题是假命题． (3)∵当x＝－1时，|－1＋1|＝0，∴该命题是假命题． 已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求实数m的取值范围． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求实数m的取值范围． 第二步，精读题目挖已知条件：对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x. 第三步，建立联系寻解题思路：只需m大于或等于x的最大值． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　由于对任意的x∈{x|1≤x≤3}都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3. 所以实数m的取值范围是[3，＋∞). [方法总结]　通过量词的意义及命题的真假，建立关于参数的不等式(组)或方程求解． [训练3]　∀a∈A，|a－1|＝1－a成立，求实数a的取值集合A. 解　由题意得a－1≤0，所以a≤1. 所以实数a的取值集合A是(－∞，1]. [对应学生用书P21] 1．下列全称量词命题中是真命题的个数为(　　) ①所有偶数都能被2整除；②所有的奇数都能被3整除；③任意实数的平方都不小于零． A．0　　　　　B．1　　　　　C．2　　　　　D．3 C　[正确的为①③.] 2．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成(　　) A．若x∈R，则x2＋1<0 B．∀x∈R，x2＋1<0 C．∃x∈R，x2＋1<0 D．以上都不正确 C　[由存在量词命题的特点得到结果，即含存在量词的命题，用“∃”符号表示．] 3．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根：______________________________； (2)存在一个有理数x0，使得x＝8：_________________． 答案　(1)∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实数根　 (2)∃x0∈Q，使得x＝8 4．判断下列命题的真假： (1)∃x∈R，x2>x；(2)∀x∈R，x2>x； (3)∃x∈Q，x2－8＝0. 解　(1)因为x＝2时，x2>x成立，所以“∃x∈R，x2>x”是真命题． (2)因为x＝0时，x2>x不成立，所以“∀x∈R，x2>x”是假命题． (3)因为使x2－8＝0成立的数只有x＝2与x＝－2，但它们都不是有理数，所以“∃x∈Q，x2－8＝0”是假命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$