1.1.3 集合的交与并（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

1．1.3　集合的交与并 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集． 2.能使用Venn图表达集合的并集与交集，体会图形对理解抽象概念的作用． 　　通过对并集、交集的学习与应用，达成直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P8] 交集的定义 自然语言 把所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A，B的交集，记作A∩B(读作“A交B”). 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 图形语言 1．并集的定义 自然语言 把集合A、B中的元素放在一起组成的集合，叫作A和B的并集，记作A∪B(读作“A并B”). 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 图形语言 2.交集和并集的性质 A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A， A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)交集的元素个数一定比参与运算的任何一个集合的元素个数少．(×) (2)若A∪B＝A，则B中的每一个元素都在集合A中．(√) (3)A∩B＝C∩B，则A＝C.(×) 2．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5，7}，则A∪B＝(　　) A．{1，3}　　　　　　　 B．{1，2，3，4，5，7} C．{5，7} D．{2，4，5，7} B　[A∪B＝{1，2，3，4}∪{1，3，5，7}＝{1，2，3，4，5，7}．] 3．若集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，则M∩N＝(　　) A．{0，－1} B．{0} C．{1} D．{1，1} C　[M∩N＝{－1，1}∩{－2，1，0}＝{1}．] 4．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4} D　[∵A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{1，2，3}． ∴∁U(A∪B)＝{4}．] 5．满足{1}∪B＝{1，2}的集合B的个数是________． 2　[由{1}∪B＝{1，2}，得B＝{2}，{1，2}，共2个．] [对应学生用书P9] (1)已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{2}　　　　　　　　　 B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4} B　[由2∈A，3∈A，4∉A，5∉A，可得A∩B＝{2，3}，故选B.] (2)设集合M＝{x|0<x<4}，N＝，则M∩N＝(　　) A． B． C．{x|4≤x<5} D．{x|0<x≤5} B　[因为M＝{x|0<x<4}，N＝， 所以M∩N＝.] [方法总结]　求集合A∩B的方法与注意点 (1)方法：①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A、B的所有元素都写出来即可(相同元素只写一个). (2)注意点：若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用虚点表示． [训练1]　(1)已知集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　) A．{a|a<2} B．{a|a>－2} C．{a|a>－1} D．{a|－1<a≤2} C　[在数轴上表示出集合A, B， 由图可知若A∩B≠∅，则a>－1.] (2)已知集合A＝{(x, y)|x>0}，B＝{(x, y)|y>0}，求A∩B，并说明其几何意义． 解　A∩B＝{(x，y)|x>0，且y>0}，其几何意义为第一象限所有点的集合． (1)已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝(　　) A．(－1，2) B．(－1，2] C．[0，1) D．[0，1] B　[由题意可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，即A∪B＝(－1，2].] (2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5} A 　[在数轴上表示集合M，N，如图所示． 由图可得M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．] [方法总结]　求两个集合并集的两个方法 (1)若两个集合是有限集，可根据定义直接写出并集． (2)若两个集合是无限集，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得． [训练2]　(1)设S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，若S∪T＝R，则实数a应满足(　　) A．－3<a<－1 B．－3≤a≤－1 C．a≤－3或a>－1 D. a<－3或a>－1 A 　[在数轴上表示集合S，T，如图所示． 由S∪T＝R得解得－3<a<－1.] (2)已知A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}，求A∪B，并说明其几何意义． 解　A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合． 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B)及(∁RA)∩B. 解　把集合A，B在数轴上表示如图所示． 由图知∁RB＝{x|x≤2或x≥10}， A∪B＝{x|2<x<10}， 所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}． 因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}， 所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}． [方法总结] 1．求解与不等式有关集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，借助于数轴(这也是集合语言转化为图形语言的常用方法)可以使问题变得形象直观，要注意端点能否取得． 2．求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再运算其他部分，如求(∁RA)∩B时，可先求出∁RA，再求交集． [训练3]　(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4} A　[由M＝{1，2}，N＝{3，4}可得M∪N＝{1，2，3，4}，所以∁U(M∪N)＝{5}．] (2)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{0，1，3，5，8}，集合B＝{2，4，5，6，8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝(　　) A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6} B　[因为∁UA＝{2，4，6，7，9}，∁UB＝{0，1，3，7，9}， 所以(∁UA)∩(∁UB)＝{7，9}．] 探究四　集合交集、并集、补集性质的应用 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求实数m的取值范围． 第二步，精读题目挖已知条件：已知集合A，B，且(∁UA)∩B＝∅. 第三步，建立联系寻解题思路：利用补集的运算求参数的取值范围⇒确定集合间的关系⇒再由集合间的关系得到不等式端点之间的不等关系，解不等式可得． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　由已知得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}． 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，把集合B和∁UA在数轴上表示如图所示， 所以－m≤－2，即m≥2. 所以实数m的取值范围是[2，＋∞). [方法总结]　由集合的补集求解参数的方法 (1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解． [训练4]　已知集合A＝{x|1≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}，全集为实数集R. (1)求A∪B，(∁RA)∩B； (2)如果A⊆(∁RC)，求a的取值范围． 解　(1)因为A＝{x|1≤x<7}，B＝{x|2<x<10}， 所以A∪B＝{x|1≤x<10}，(∁RA)∩B＝{x|x<1或x≥7}∩{x|2<x<10}＝{x|7≤x<10}． (2)由题意知∁RC＝{x|x≥a}，又A⊆(∁RC)，故a≤1. 所以a的取值范围是(－∞，1]. [对应学生用书P11] 1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|1≤x≤2}，则A∩B＝(　　) A．{1，2，3}　　　　　　　　 B．{1，2} C．{x|1≤x≤2} D．∅ B 　[集合A中满足1≤x≤2的元素是1, 2, 则A∩B＝{1，2}．] 2．已知集合A＝{1，3}，B＝{1，2，m}，若A∩B＝{1，3}，则A∪B＝(　　) A．{1，2} B．{1，3} C．{1，2，3} D．{2，3} C　[因为A∩B＝{1，3}，所以m＝3.所以B＝{1，2，3}． 所以A∪B＝{1，2，3}．] 3．设全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x<5}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．{x|1≤x<2} B．{x|x<2} C．{x|x≥5} D．{x|1<x<2} D　[∁UB＝{x|x<2或x≥5}，A∩(∁UB)＝{x|1<x<2}．] 4．已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}． (1)求A∪B；(2)求(∁RA)∩B； (3)若A∩C＝A，求a的取值范围． 解　在数轴上表示出集合A，B. (1)借助数轴可知： A∪B＝{x|2<x<10}． (2)∁RA＝{x|x<3或x>7}． ∴借助数轴可知， (∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7<x<10}． (3)∵A∩C＝A， ∴A⊆C，结合数轴可知a>7.故a的取值范围是(7，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$