1.1.1 集 合（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

1．1　集　合 1．1.1　集　合 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的关系． 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义． 1.通过学习集合及其相关的概念，培养数学抽象的核心素养． 2.通过对集合有关知识的运用，达成数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P1] 1．集合与集合的元素 把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素． 2．元素与集合的关系 若S是一个集合，a是S的一个元素，记作a∈S，读作a属于S，若a不是集合S的元素，记作a∉S，读作a不属于S． 3．集合的基本属性 (1)同一个集合中的元素是互不相同的． (2)集合中的元素是确定的，亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的． (3)集合中的元素没有顺序． 4．常见数集及其记法 常见数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N＋ Z Q R 5.集合的分类 有限集 元素个数有限的集合叫有限集 无限集 元素无限多的集合叫无限集 空集 没有元素的集合叫空集，记作∅ 1．列举法 (1)把集合中的元素一一列举出来，这种表示法叫作列举法． (2)用列举法表示集合，常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔． 2．描述法 (1)把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合的方法叫作描述法． (2)用描述法表示集合，一般的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性． (1)区间定义及表示 设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] (2)无穷概念及无穷区间表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)接近于0的数可以组成集合．(×) (2)一个集合中可以找到两个相同的元素．(×) (3){1}＝1.(×) (4){(1，2)}＝{x＝1，y＝2}．(×) (5){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．(√) 2．给出以下三个关系：①∅＝{0}；②0∈{(0，0)}；③0∈{0}．其中表述正确的是(　　) A．①③　　　　　　　　　 B．②③ C．③ D．①②③ 答案　C 3．(多选题)下列表示正确的是(　　) A．0∈N B．∈Z C．－3∉Z D．π∉Q AD　[对于A，0是自然数，则0∈N，故A正确；对于B，不是整数，则∉Z，故B错误；对于C，－3是整数，则－3∈Z，故C错误；对于D，π是无理数，则π∉Q，故D正确．] 4．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　) A．{1，－2} B．{x＝1, y＝－2} C．{(－2，1)} D．{(1，－2)} D　[由得所以两个函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．] 5．{x|x＞1}用区间表示为______________． (1，＋∞)　[{x|x＞1}用区间表示为(1，＋∞).] [对应学生用书P2] 探究一　集合的基本概念 (多选题)下列各组对象中，能构成集合的是(　　) A．中国各地最美的乡村 B．平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．某年冬奥会所设比赛项目 BCD　[选项A中“最美”标准不明确，不符合确定性，选项BCD中的元素标准明确，均可构成集合．] [方法总结]　判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点 (1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性．如果该组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合． (2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性． [训练1]　考察下列每组对象能否构成集合： (1)不超过20的非负数； (2)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (3)某校2023年在校的所有高个子同学； (4)的近似值的全体． 解　(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合． (2)因为x2－9＝0，所以x＝±3，故能构成集合． (3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，所以不能构成集合． (4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数，如“2”，是不是的近似值．所以不能构成集合． 探究二　元素与集合的关系 (1)(多选题)下列关系中正确的是(　　) A．π∈R　　B．∉Q　　C．0∈N＋　　D．|－4|∉N＋ AB 　[根据各数集的意义可知，选项AB正确，选项CD错误．] (2)(多选题)已知集合A＝{2，4，6}，且a∈A，6－a∈A，那么a为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 AC 　[集合A含有三个元素2，4，6，且a∈A，6－a∈A，若a＝2∈A，则6－a＝4∈A.所以a＝2满足题意．若a＝4∈A，则6－a＝2∈A.所以a＝4满足题意．综上所述，a＝2或4.] [方法总结]　判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． [训练2]　已知集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A＝________． {0，1，2}　[∵∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，∴x＝0或1或2.∴集合A＝{0，1，2}．] 用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 解　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10， 所以A＝{0，2，4，6，8，10}． (2)小于8的质数有2，3，5，7，所以B＝{2，3，5，7}． (3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，， 所以C＝. (4)由得所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4).所以D＝{(1，4)}． [方法总结]　列举法表示集合的步骤 (1)分清元素：列举法表示集合，要分清是数集还是点集． (2)书写集合：列元素时要做到不重复、不遗漏． [提醒]　二元方程组的解集，函数的图象点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2，3)，(5，－1)} [训练3]　用列举法表示下列集合： (1)由book中的字母组成的集合； (2)方程(x－2)2＋|y＋1|＝0的解集． 解　(1)由book中的字母组成的集合为{b，o，k}． (2)由方程(x－2)2＋|y＋1|＝0，可知 即从而方程的解集为{(2，－1)}． 用描述法表示下列集合： (1)所有正偶数组成的集合； (2)不等式3x－2＞4的解集； (3)在平面直角坐标系中，第一、三象限内点的集合． 解　(1)正偶数都能被2整除，所以正偶数可以表示为x＝2n(n∈N＋)的形式． 故这个集合可以表示为{x|x＝2n，n∈N＋}． (2)由3x－2＞4，得x＞2.故不等式的解集为{x|x＞2}． (3)第一、三象限中的点(x，y)满足xy＞0，故这个集合可以表示为{(x，y)|xy＞0}． [变式]　若将本例第(3)题改为“坐标平面内坐标轴上的点组成的集合”，如何用描述法表示？ 解　坐标平面内，x轴上的点纵坐标为0，横坐标为任意实数；y轴上的点横坐标为0，纵坐标为任意实数．故坐标轴上的点满足xy＝0.用集合表示为{(x，y)|xy＝0}． [方法总结]　描述法表示集合的步骤 (1)确定集合中元素的特征． (2)给出其满足的性质． (3)根据描述法的形式写出其满足的集合 [训练4]　用适当的方法表示下列集合： (1)由大于5且小于9的所有正整数组成的集合； (2)使y＝ 有意义的实数x的集合； (3)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合； (4)直线y＝x上去掉原点的点的集合． 解　(1)列举法：{6，7，8}． (2)描述法：{x|x≤2，且x≠0，x∈R}． (3)列举法：{(0，0)，(2，0)}． (4)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}． [对应学生用书P4] 1．(多选题)下列各组对象中，能组成集合的是(　　) A．连江五中全体学生 B．连江五中的必修课 C．连江五中2023级高一学生 D．连江五中全体高个子学生 ABC　[集合的元素三个特性为：确定性，互异性，无序性，选项ABC均满足集合元素的确定性和互异性，而选项D不符合确定性，故选项ABC能组成集合，选项D不能组成集合．] 2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　) A．3.14　　　　　　　　　 B．－2 C． D． D 　[由题意知a应为无理数，故a可以为.] 3．集合{x∈N＋|x2－1＝0}用列举法可表示为________． {1}　[由x2－1＝0，得x＝±1. 又x∈N＋，故x＝1.] 4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，试用列举法表示集合A. 解　∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4， ∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}． 学科网（北京）股份有限公司 $$