专题2.8 函数图象与函数零点问题（练习）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题2.8 函数图象与函数零点问题 【新高考专用】 题型一 函数图象的画法与图象变换 1．（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【解题思路】先变形得到，故利用“上加下减，左加右减”得到答案. 【解答过程】， 故先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到. 故选：A. 2．（2024高三·全国·专题练习）若函数的图象如下图所示，函数的图象为（   ）    A．     B．     C．   D．     【解题思路】利用函数图象的对称变换和平移变换，判断选项. 【解答过程】函数的图象关于对称可得函数的图象， 再向右平移2个单位得函数，即的图象. 故选：C. 3．（24-25高一上·天津东丽·期中） (1)作出该函数的图象， (2)求的值； (3)若，求实数的值. 【解题思路】（1）根据分段函数的解析式，分段画出函数的图象； （2）先求，再求； （3）根据分段函数每段的值域，代入求自变量的值. 【解答过程】（1）根据分段函数的解析式，画出分段函数的图象， （2），； （3）当时，， 当，， 当时，， 所以，即，得. 4．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数 (1)求； (2)画出函数的图像； (3)若，求的取值范围． 【解题思路】（1）代入计算，即可得到结果； （2）由分段函数的解析式，分别画出每一段的函数图像，即可得到结果； （3）根据题意，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1），. （2）函数的图像为： （3）当时，由可得，解得，所以； 当时，由可得，解得，所以； 当时，由可得，解得，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 题型二 函数图象的识别 5．（2024·陕西安康·模拟预测）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】通过判断函数的奇偶性和在处的导函数值的正负即可得解. 【解答过程】的定义域为R，，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除B选项； 又， 所以，函数图象在处的切线斜率大于0，所以排除C、D选项； 故选：A. 6．（2024·福建福州·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的定义域以及奇偶性即可求得答案． 【解答过程】因为函数的定义域为，排除CD， 又，即为偶函数，图象关于轴对称，排除B． 故选：A． 7．（2024·吉林·二模）已知函数()，的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论，当在不同范围内取值时，根据函数的性质判断函数图象的形状. 【解答过程】若，则，，图象为A； 若，为奇函数，当时，（当且仅当时取“”）， 所以图象关于原点对称，且在上单调递减，在上单调递增，图象为B； 若，为奇函数，且在上单调递增，图象为C； 综上可知，图象不可能为D. 故选：D. 8．（2024·全国·三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先判断函数的奇偶性，然后再代入特殊值计算即可判断. 【解答过程】因为，易知的定义域为. 因为，所以为奇函数， 图象关的原点对称.排除A，D选项； 又，，所以排除C选项. 故选：B. 题型三 函数图象的应用 9．（23-24高一上·北京·期中）如图为函数和的图象，则不等式的解集为（　　）    A． B． C． D． 【解题思路】数形结合判断各区间函数值的正负即可. 【解答过程】由图象可得当， 此时需满足，则，故； 当， 此时需满足，则，故. 综上所述，. 故选：D. 10．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数的定义域可判断的符号，分别令可判断的符号. 【解答过程】由，得，所以的定义域为， 由图可知，得， 令，则，得， 由图可知，得， 令，得，由图可知，得， 所以， 综上，，，， 故选：D. 11．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 【解题思路】根据解析式和图像直接判断AB；对于C：结合奇函数性质分析判断；对于D：利用单调性解不等式即可. 【解答过程】对于选项A：显然函数的定义域为，故A错误； 对于选项B：由图象可知可以为负值，所以的值域不为，故B错误； 因为，可知为奇函数. 对于选项C：由图象可知：在区间上单调递增， 则在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 又因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 综上所述：的解集为，故D正确； 故选：D. 12．（23-24高一上·北京·期中）如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的只有（ ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知此函数的图象在[0,1]不是呈上凸的特征，进而可得出答案． 【解答过程】先研究对中任意的和， 任意恒成立， 令，则， 则上述结论变为， 即， 如图所示，是函数的图象上的任意两点， 则是线段上的一点（不包括端点）， 作轴交函数的图象于点， 则点的纵坐标为， 又因， 所以函数的图象是呈下凹的特征，故选项中的符合， 当对中任意的和， 任意恒成立， 由上分析可得函数的图象是一条直线，故选项中的符合. 故选：A. 题型四 函数零点所在区间的判断 13．（2024·吉林长春·一模）方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为零点所在区间的求解问题，利用零点存在定理求解即可. 【解答过程】设，则方程根所在区间即为零点所在区间， 与在上均为增函数，在上单调递增； 对于A，，当时，，A错误； 对于B，，，即， ，使得，B正确； 对于CD，当时，，在区间和上无零点，C错误，D错误. 故选：B. 14．（2024·广东揭阳·二模）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用函数和的图象，观察交点横坐标的范围，然后利用零点存在定理判断． 【解答过程】解：函数，画出与的图象，如下图： 当时，， 当时，， 函数的零点所在的区间是． 故选：D． 15．（2024·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数零点所在的一个区间 . 【解题思路】根据零点存在性定理求解即可. 【解答过程】根据对数函数单调性的性质， 函数为上的减函数, 函数的图像在上为一条连续不断的曲线, 又,, 所以函数零点所在的一个区间为. 故答案为:. 16．（2024·福建漳州·一模）函数的零点属于区间，则 . 【解题思路】利用函数的单调性，结合零点存在定理即可得解. 【解答过程】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一零点，且零点在区间内， 又的零点属于区间，所以. 故答案为：. 题型五 求函数的零点或零点个数 17．（2024·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（    ） A．2 B． C．-2 D．2或-1 【解题思路】由题意令可得关于的方程，进而求解. 【解答过程】由题意令，因为，所以，即. 故选：A. 18．（2024·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 【解题思路】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【解答过程】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 所以，因此时，， 令，它在上是减函数，，，， 当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点， 所以的零点个数为2. 故选：A． 19．（2024·上海徐汇·一模）函数的零点是 ． 【解题思路】利用对数运算及零点含义可得答案. 【解答过程】由题意可得函数的定义域为. ，令可得，解得或（舍）， 故答案为：. 20．（2024·全国·模拟预测）已知函数则函数有 7 个零点． 【解题思路】设，则等价于，作出函数的图像，由图可知有3个根，再根据结合函数的图象得出交点的个数，即得到结果. 【解答过程】令，则，设，则等价于， 则函数的零点个数问题即为解的个数问题． 二次函数，其图像开口向上，过点，对称轴为，最小值为， 由题意得作出函数的图像如图所示． 由图可知有3个根，当时，，即； 当时，，即. 则对于，当时，; 当时，，此时共有3个解． 对于，此时有1个解，，即有2个解． 对于，此时有1个解，，即无解． 因此，此时函数有7个零点． 故答案为：7. 题型六 根据函数零点分布求参数 21．（24-25高一上·辽宁盘锦·期中）已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【解题思路】分函数只有一个零点且在区间内和函数有两个零点，且一个零点在上两种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【解答过程】当函数只有一个零点，则，解得； 当函数有两个零点，且一个零点在上时， 则或或 解得或或, 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：C. 22．（24-25高一上·全国·期中）如果函数的两零点分别落在区间和上，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由一元二次方程根的分布列出不等式求解即可. 【解答过程】为开口向上的抛物线， 由题意可得：，即 解得：. 故选：C. 23．（23-24高一上·上海·期末）已知函数两个零点，一个大于2另一个小于2，则实数a的取值范围为 ． 【解题思路】由题意可得关于的不等式组，求解得答案. 【解答过程】由函数两个零点，一个大于2另一个小于2， 所以 有两个不同的根，且一个根大于2另一个根小于2， 所以， 因为， 当时，只需，即，解得， 当时，只需，即，无解， 综上所述实数a的取值范围为. 故答案为：. 24．（2024高一·全国·课后作业）已知函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，那么实数k的取值范围是 ． 【解题思路】根据一元二次方程根的分布，结合二次函数的图象性质即可求解. 【解答过程】由题意可知函数有两个零点，所以， 若，则为开口向上的二次函数，要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故； 若，则为开口向下的二次函数，要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故； 综上可知：或， 故答案为：. 题型七 根据函数零点个数求参数范围 25．（2024·全国·模拟预测）若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论或三种情况，然后根据函数判断. 【解答过程】①当时，则只有一个零点0，不符合题意； ②当时，作出函数的大致图象，如图1，在和上各有一个零点，符合题意； ③当时，作出函数的大致图象，如图2，在上没有零点． 则在上有两个零点，此时必须满足，解得． 综上，得或． 故选：A. 26．（2024·安徽合肥·二模）已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出函数的图象，由题意可得的图象与至少有两个不同的交点，从而得，结合图象可得，求解即可． 【解答过程】因为， 作出函数的图象，如图所示： 由此可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 且 ， ， 又因为关于的方程至少有两个不同的实数根， 所以至少有两个不同的实数根， 即的图象与至少有两个不同的交点，所以， 又因为当时，，令，可得； 当时，，令，解得， 又因为，所以，解得． 故选:D． 27．（2024·天津·二模）设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 或 ． 【解题思路】对实数的取值进行分类讨论，分别画出不同取值情况的的函数图象，函数恰有4个零点，说明的图象与的图象有四个交点，通过斜率的变化即可确定实数的取值范围. 【解答过程】因为函数恰有4个零点， 所以的图象与的图象有四个交点， 当时，如图所示， 的图象与的图象仅有两个交点，与题意不符； 当时，如图所示， 在上，当与相切时， 联立，得， 则，得（舍去）， 由图可知，当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符， 所以当时，与在无交点，在有两个交点，与题意不符， 当时，与在无交点，在有三个交点，与题意不符， 当时，与在无交点，在有四个交点，符合题意； 当时，如图所示， 在上，当与相切时， 联立，得， 则，得（舍去）， 由图可知，当 时，与在有两个交点，在有四个交点，与题意不符， 当时，与在有两个交点，在有三个交点，与题意不符， 当时，与在有两个交点，在有两个交点，符合题意， 当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符. 综上所述， 或. 故答案为：或. 28．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数的定义域为，，若函数有三个零点，则实数的取值范围为 . 【解题思路】把函数零点问题转化为函数与直线的交点问题，数形结合列不等式组求解即可. 【解答过程】函数有三个零点，则方程即有三个根， 所以函数与函数有三个交点， 由作出函数的图象如图： 若函数与过原点直线有三个交点，如图： 则，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 题型八 函数零点的大小与范围问题 29．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数，若函数有三个不同的零点,，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据题得到时，产生一个根，时，，产生两个根，利用韦达定理及对勾函数的性质可得取值范围. 【解答过程】要函数有三个不同的零点， 则当时，，必有一个根，且为，同时， 当时，，必有两不等非负根，整理得， 所以，解得， 所以， 根据对勾函数的图像和性质可得函数在上单调递减， 故， 即的取值范围是. 故选：D. 30．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（    ） A．（3，4） B．（2，4） C．[0，4） D．[3，4） 【解题思路】利用数形结合可得，结合条件可得，，，且，再利用二次函数的性质即得. 【解答过程】由方程有四个不同的实数根， 得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线． 由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，． 设与交点的横坐标为，，设，则，， 由得， 所以，即． 设与的交点的横坐标为，， 设，则，，且， 所以， 则． 故选：D. 31．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有两个相异零点． (1)求实数a的取值范围． (2)证明：． 【解题思路】（1）利用导数求出函数的最小值，再分段讨论并构造函数，利用导数探讨单调性，结合零点存在性定理推理即得. （2）由（1）的结论，结合函数零点的意义可得有两个相异的解，再构造函数，借助单调性确定的取值区间，再结合分析法推理证明即得. 【解答过程】（1）函数，求导得， 当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则． 当时，恒成立，至多有一个零点，不符合题意， 当时，，，即，使， ，令，求导得， 令，求导得，即在上单调递增，， 于是，函数在上单调递增，， 因此，使， 所以实数a的取值范围为． （2）由（1）知，有两个相异的解，即方程有两个相异的解， 令函数，求导得在上单调递增，且， 当时，，在单调递减，当时，，在单调递增， 不妨设，显然，， 要证，即证，即证． 又，则即证，令函数，， 则 ， 而，则， 因此函数在上单调递减，即，则， 所以． 32．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解题思路】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）（i）结合（1）的单调性判断、的符号，排除，再在的情况下研究的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围； （ii）由（i）有，分析法将问题化为证明，进而构造并利用导数研究其符号，即可证结论. 【解答过程】（1）由题设，且， 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，故在上单调递增； 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由， 若时，， 令且，则， 所以时，时， 故在上递增，在上递减，则， 所以， 结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点， 又时，在上只有一个零点，不满足， 所以，此时，在上，在上， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立， 显然在上递减，且当时， 所以，时恒成立，即所求范围为； （ii）由（i），在时，存在两个不相等的零点， 不妨令，要证，即证，而， 由（i）知：在上单调递增，只需证， 由，则 令，且， 则 ， 所以，在上，即在上递增， 所以，即成立， 所以，得证. 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先记，化简整理，由函数解析式，判定奇偶性，再判断时，，进而可得出结果. 【解答过程】记， 则， 因此函数是偶函数；故排除BC； 当时，，，因此；排除D； 故选：A. 2．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【解题思路】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可. 【解答过程】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 3．（2024·浙江台州·一模）函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定的函数图象，由推理排除CD；由①中函数当时，分析判断得解. 【解答过程】由图①知，，且当时，，由②知，图象过点，且当时，， 对于C，当时，，C不可能； 对于D，当时，，D不可能； 对于A，当时，，而当时，，则，A可能； 对于B，当时，，而当时，，则，B不可能. 故选：A. 4．（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】数形结合思想，分别作出和的图象即可求解. 【解答过程】解：由，得函数的定义域为， 函数零点的个数零点个数， 即函数的图象和函数的图象的交点个数， 如图所示： 数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为． 故选:C． 5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，作出函数的图象，结合图象得出关于的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解. 【解答过程】如图，作出函数的图象， 令， 由图可知，当时，关于的方程有个不同的实数根， 当或时，关于的方程只有个实数根， 因为关于x的方程有三个不同实数根， 所以关于的方程的一个根在上，另一个根在上， 或方程的两个根一个为，另一个在上， 若为方程的根时，则， 当时，方程的另一个根为，不符题意， 当时，方程的另一个根为，不符题意， 若为方程的根时，则或， 当时，方程的另一个根为，不符题意， 当时，方程只有一个根为，不符题意， 若关于的方程的一个根在上，另一个在上时， 令， 则，即，解得， 综上所述，实数t的取值范围是. 故选：B. 6．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分，，求出解析式，然后可知图象. 【解答过程】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析函数的性质，作出函数图象，再逐项判断即可. 【解答过程】函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 方程的根是直线与函数图象交点的横坐标， 方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，，，AD正确； 显然，而，则，即，， ，B正确； 显然，，C错误. 故选：C. 8．（2024·广东广州·模拟预测）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．－32 B．32 C．16 D．8 【解题思路】由已知可分析出函数是偶函数,则其零点必然关于原点对称,故在上所有的零点的和为0,则函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和,求出上所有零点,可得答案. 【解答过程】函数是定义在R上的奇函数, . 又函数, 函数是偶函数, 函数的零点都是以相反数的形式成对出现的. 函数在上所有的零点的和为, 函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和. 即方程在上的所有实数解之和. 由时,,故有 函数在上的值域为,当且仅当时,. 又当时,,如图： 函数在上的值域为； 函数在上的值域为； 函数在上的值域为,当且仅当时,, 即方程在上的又一个实数解.即有一个零点； 函数在上的值域为,当且仅当时,, 故在上恒成立,在上无零点, 同理在上无零点, 依此类推,函数在无零点. 综上函数在上的所有零点之和为8， 故选：D. 二、多选题 9．（2024·甘肃定西·一模）已知函数，则（    ） A．当有2个零点时，只有1个零点 B．当有3个零点时，只有1个零点 C．当有2个零点时，有2个零点 D．当有2个零点时，有4个零点 【解题思路】将问题转化为与的图象交点问题，结合图象，逐一分析各选项中的取值范围，从而得解. 【解答过程】令，得， 利用指数函数与二次函数的性质作出的大致图象，如图所示， 由图可知，当有2个零点时，或， 此时无零点或只有1个零点，故A错误； 当有3个零点时，，此时只有1个零点，故B正确； 当有2个零点时，，此时有4个零点．故C错误，D正确. 故选：BD. 10．（2024·河南·模拟预测）已知函数关于的方程，下列命题正确的是（    ） A．若，则方程恰有4个不同的解 B．若，则方程恰有5个不同的解 C．若方程恰有2个不同的解，则或 D．若方程恰有3个不同的解，则 【解题思路】由得或，画出的图象，数形结合即可求解在不同条件下的取值范围. 【解答过程】因为， 所以，所以或， 的图象如图所示，由图可知与有两个交点.    对于A，若且，则方程恰有2个不同的解，故A错误； 对于B，若，则与有3个不同的交点，此时方程恰有5个不同的解，故B正确； 对于C，若方程恰有2个不同的解， 当与没有交点时满足题意，此时； 当时，方程恰有2个不同的解，此时， 故若方程恰有2个不同的解，则或，故C正确； 对于D，若方程恰有3个不同的解，则，则与有1个交点，此时或，故D错误. 故选：BC. 11．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数，，则（    ） A．若有2个不同的零点，则 B．当时，有5个不同的零点 C．若有4个不同的零点，则的取值范围是 D．若有4个不同的零点，则的取值范围是 【解题思路】作出的图象，由有2个不同的零点，结合图象，可判定A错误；由，令，得到，求得，结合图象，可判定B正确；由对数的运算性质，求得，结合二次函数的对称性得到，进而判定C正确；由，结合对勾函数的性质，可判定D正确． 【解答过程】由函数，可得， 作出的图象，如图所示． 对于A中，由，可得，若有2个不同的零点， 结合图象知或，所以A错误； 对于B中，当时，由，可得， 令，则有，可得， 结合图像知，有3个不等实根，有2个不等实根，没有实根， 所以有5个不同的零点，所以B正确； 对于C中，若有4个不同的零点， 则，且，则， 由二次函数的对称性得，则， 结合B知，所以，所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，由，其中， 由对勾函数的性质，可得在上为单调递减函数，可得， 所以的取值范围为，所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图是某个函数的图象在的一段图像．写出函数在时满足图象的一个解析式 （答案不唯一） （写出一个即可）．    【解题思路】结合图象的大致特征求解即可. 【解答过程】结合图象，函数的图象符合题意， 由图象可知函数经过， 因此，即， 此时函数的解析式为. 故答案为：（答案不唯一）. 13．（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 4 个. 【解题思路】转化为函数的图象与的图象的交点个数即可求解. 【解答过程】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示： 如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点. 故答案为：4. 14．（2024·天津·一模）若函数恰有两个不同的零点，且，则的取值范围为 ． 【解题思路】借助换元法，设，可得，令可得，再令，借助对勾函数性质即可得的单调性及其值域，若恰有两个不同的实数根、，可得，即可得的取值范围. 【解答过程】设，则，则， 令，显然,则有，令， 由对勾函数性质可知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 若恰有两个不同的实数根、，且，则， 令，解得或，故， 即有，故. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·吉林长春·期中）已如函数. (1)求，； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象. 【解题思路】（1）直接代入解析式计算函数值即可； （2）利用分段函数分类讨论计算即可. （3）根据一次函数与二次函数的图象作图即可. 【解答过程】（1）根据，可知， ； （2）若，则，解之得； 若，则，解之得，（舍去）； 综上或； （3） 16．（2024·河南·模拟预测）设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【解题思路】（1）化简不等式为，按照和分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可； （2）将零点问题转化为有解，设，则，利用函数的单调性求解参数范围即可. 【解答过程】（1）当时，不等式可化为， 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）由题意可知， 令，即，因为，所以， 所以，所以， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以，所以. 17．（2024高二下·福建·学业考试）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并用定义法证明； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由． 【解题思路】（1）根据奇偶性定义直接判断即可； （2）任取，可得，由单调性定义可得结论； （3）令，，令可求得的值，由此可求得对应的的取值，即的零点. 【解答过程】（1）由题意知：的定义域为， ，为定义在上的奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 任取， ； ，，，又，， 在上单调递减. （3）当时，，； 令，则，； 令，解得：， 在上单调递增，当或时，， 有两个不同的零点. 18．（2024·福建·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的零点个数； (2)若有三个零点，求的取值范围． 【解题思路】（1）求出函数的导数，在对按，和分类讨论确定的零点个数，其中要特别注意零点存在定理的应用. （2）利用得，又，结合基本不等式可得范围． 【解答过程】（1），则， 令，则， （i），即时，，函数单调递增， 函数在上的取值集合为，而在上的取值集合为， 则存在，使得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当趋近于0时，趋近于，因此只有一个零点； （ii）当，即时，， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 函数在上单调递减，而，因此只有一个零点； （iii）当，即时，由，得，由，得， 函数，即在上单调递增，在上单调递减，， 由（i）知，存在，使得， 而，令，， 又，则存在，使得， 即当或时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，显然， 因此，又当趋近于0时，趋近于，因此在上有一个零点， 而，，令，， 求导得，令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递减，， 函数在上单调递减，， 函数在上单调递减，，即， 因此在上有一个零点，又1是的零点，此时有三个零点， 所以或时，有一个零点，时，有三个零点． （2）由（1）讨论知是函数的一个零点， 又，则，即，， 因此， 所以的取值范围是. 19．（2024·河北·三模）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若为函数的导函数，有两个零点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 【解题思路】（1）根据函数的定义求出的解析式，再通过其导函数的正负来判断函数的单调性； （2）求出，把零点问题转化成方程的根，再转化成函数图象的交点，根据图象即可求出的范围；把代入，通过两个等式构造，结合的范围即可证明. 【解答过程】（1）因为，令，则， 所以（）， 故（）. 当时，， ， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 故在上恒成立. 所以当时，在上单调递减. （2）（ⅰ）有两个零点等价于有两个不同的根. 而 （）， 所以有两个不同的根， 等价于有两个不同的根， 等价于与有两个不同的交点. 因为，  （）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 而当趋向正无穷时，趋向0，趋向0时，趋向负无穷， 为使与有两个不同的交点，所以. （ⅱ）有两个零点，则 ，. 即，. 所以， 即， 得， 所以. 因为，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 函数图象与函数零点问题 【新高考专用】 题型一 函数图象的画法与图象变换 1．（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 2．（2024高三·全国·专题练习）若函数的图象如下图所示，函数的图象为（   ）    A．     B．     C．   D．     3．（24-25高一上·天津东丽·期中） (1)作出该函数的图象， (2)求的值； (3)若，求实数的值. 4．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数 (1)求； (2)画出函数的图像； (3)若，求的取值范围． 题型二 函数图象的识别 5．（2024·陕西安康·模拟预测）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   6．（2024·福建福州·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·吉林·二模）已知函数()，的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型三 函数图象的应用 9．（23-24高一上·北京·期中）如图为函数和的图象，则不等式的解集为（　　）    A． B． C． D． 10．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 12．（23-24高一上·北京·期中）如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的只有（ ） A． B． C． D． 题型四 函数零点所在区间的判断 13．（2024·吉林长春·一模）方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·广东揭阳·二模）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数零点所在的一个区间 . 16．（2024·福建漳州·一模）函数的零点属于区间，则 . 题型五 求函数的零点或零点个数 17．（2024·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（    ） A．2 B． C．-2 D．2或-1 18．（2024·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 19．（2024·上海徐汇·一模）函数的零点是 ． 20．（2024·全国·模拟预测）已知函数则函数有 个零点． 题型六 根据函数零点分布求参数 21．（24-25高一上·辽宁盘锦·期中）已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 22．（24-25高一上·全国·期中）如果函数的两零点分别落在区间和上，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·上海·期末）已知函数两个零点，一个大于2另一个小于2，则实数a的取值范围为 ． 24．（2024高一·全国·课后作业）已知函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，那么实数k的取值范围是 ． 题型七 根据函数零点个数求参数范围 25．（2024·全国·模拟预测）若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·安徽合肥·二模）已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（2024·天津·二模）设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ． 28．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数的定义域为，，若函数有三个零点，则实数的取值范围为 . 题型八 函数零点的大小与范围问题 29．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数，若函数有三个不同的零点,，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（    ） A．（3，4） B．（2，4） C．[0，4） D．[3，4） 31．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有两个相异零点． (1)求实数a的取值范围． (2)证明：． 32．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 3．（2024·浙江台州·一模）函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东广州·模拟预测）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．－32 B．32 C．16 D．8 二、多选题 9．（2024·甘肃定西·一模）已知函数，则（    ） A．当有2个零点时，只有1个零点 B．当有3个零点时，只有1个零点 C．当有2个零点时，有2个零点 D．当有2个零点时，有4个零点 10．（2024·河南·模拟预测）已知函数关于的方程，下列命题正确的是（    ） A．若，则方程恰有4个不同的解 B．若，则方程恰有5个不同的解 C．若方程恰有2个不同的解，则或 D．若方程恰有3个不同的解，则 11．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数，，则（    ） A．若有2个不同的零点，则 B．当时，有5个不同的零点 C．若有4个不同的零点，则的取值范围是 D．若有4个不同的零点，则的取值范围是 三、填空题 12．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图是某个函数的图象在的一段图像．写出函数在时满足图象的一个解析式 （写出一个即可）．    13．（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 个. 14．（2024·天津·一模）若函数恰有两个不同的零点，且，则的取值范围为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·吉林长春·期中）已如函数. (1)求，； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象. 16．（2024·河南·模拟预测）设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 17．（2024高二下·福建·学业考试）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并用定义法证明； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由． 18．（2024·福建·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的零点个数； (2)若有三个零点，求的取值范围． 19．（2024·河北·三模）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若为函数的导函数，有两个零点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$