专题2.7 函数图象与函数零点问题【八大题型】（讲义）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题2.7 函数图象与函数零点问题【八大题型】 【新高考专用】 1、函数图象与函数零点问题 从近几年的高考情况来看，函数图象问题主要以考查图象识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象解函数不等式等，一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大. 函数的零点问题是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会与导数结合在解答题中考查，主要结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，此时难度偏大. 【知识点1 函数的图象问题】 1．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 2．函数图象识别的解题思路 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 3．函数图象的应用的解题策略 (1)利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系. (2)利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题 利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题. 【知识点2 函数的零点问题】 1．确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 2．函数零点个数的判断方法 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 3．已知函数零点求参数的方法 (1)已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. (2)已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 【题型1 函数图象的画法与图象变换】 【例1】（23-24高一上·江西南昌·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【变式1-1】（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）设函数． (1)作出函数的图象； (2)若的最大值为，正实数满足，求的最小值． 【变式1-3】（2024·广西南宁·一模）已知函数，． (1)在给出的坐标系中画出函数的图像； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【题型2 函数图象的识别】 【例2】（2024·北京·模拟预测）已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·安徽合肥·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·山东·二模）如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿弧的路径运动一周，设点到点的距离为，运动时间为，则下列图象能大致地刻画与之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·湖南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【题型3 函数图象的应用】 【例3】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·河南郑州·二模）若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·河南商丘·三模）已知定义在R上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型4 函数零点所在区间的判断】 【例4】（2024·海南·模拟预测）函数的零点所在的大致区间为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·河北·模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·海南·模拟预测）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【题型5 求函数的零点或零点个数】 【例5】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【变式5-1】（2024·陕西西安·一模）函数的零点为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．或5 【变式5-2】（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数（），函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6 根据函数零点分布求参数】 【例6】（24-25高一上·全国·期中）如果函数的两零点分别落在区间和上，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·云南·二模）设是关于x的方程的根．若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 根据函数零点个数求参数范围】 【例7】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·安徽合肥·二模）已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·安徽合肥·三模）设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型8 函数零点的大小与范围问题】 【例8】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·四川成都·二模）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·甘肃白银·一模）已知函数. (1)若曲线在处的切线的斜率为3，求. (2)已知恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 【变式8-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数有两个不同的零点，且． (1)求实数的取值范围； (2)求证：； (3)比较与及的大小，并证明． 1．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 4．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 5．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 6．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 7．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 8．（2022·全国·高考真题）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 函数图象与函数零点问题【八大题型】 【新高考专用】 1、函数图象与函数零点问题 从近几年的高考情况来看，函数图象问题主要以考查图象识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象解函数不等式等，一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大. 函数的零点问题是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会与导数结合在解答题中考查，主要结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，此时难度偏大. 【知识点1 函数的图象问题】 1．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 2．函数图象识别的解题思路 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 3．函数图象的应用的解题策略 (1)利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系. (2)利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题 利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题. 【知识点2 函数的零点问题】 1．确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 2．函数零点个数的判断方法 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 3．已知函数零点求参数的方法 (1)已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. (2)已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 【题型1 函数图象的画法与图象变换】 【例1】（23-24高一上·江西南昌·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【解题思路】直接根据函数的平移法则得到答案. 【解答过程】函数的图象向右平移1个单位得到， 再将得图象向上平移1个单位得到. 故选：B. 【变式1-1】（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图像，即可判断平移之后的函数图像. 【解答过程】    因为，可得函数的大致图像如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像. 故选：C. 【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）设函数． (1)作出函数的图象； (2)若的最大值为，正实数满足，求的最小值． 【解题思路】（1）分别在、及的情况下，讨论得到的解析式，由此可得函数图象； （2）结合图象可确定，化简已知等式得到，根据，利用基本不等式可求得结果. 【解答过程】（1）当时，； 当时，； 当时，； 作出的图象如下图所示， （2）由（1）可知：当时，，即， ，即， （当且仅当，即时等号成立）， . 【变式1-3】（2024·广西南宁·一模）已知函数，． (1)在给出的坐标系中画出函数的图像； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据绝对值函数分区间去绝对值后，写成分段函数，即可作出图像； （2）设，由关于的不等式恒成立，则且，得出，画出的大致图像，则满足即可，解得不等式即可求得答案． 【解答过程】（1）由题得，， 画出的图像如图所示： （2）设， ， ，且， ， 画出的大致图像， 由图像知，若恒成立， 则，即， ， 故实数的取值范围为． 【题型2 函数图象的识别】 【例2】（2024·北京·模拟预测）已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用分类讨论思想，根据函数值的符号，及变化，分别对四个选项判断即可求解. 【解答过程】对于，当时，，所以，故选项错误； 对于，当时，，所以，故选项错误； 对于，当时，，所以，且时，，；当时，，所以，且时，，，故选项正确； 对于，当时，，则，所以，故选项错误， 故选：C. 【变式2-1】（2024·安徽合肥·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数奇偶性、在上的单调性、函数值的正负情况依次判断和排除ABC，即可得解. 【解答过程】由题定义域为关于原点对称，且， 故是奇函数，故A错； 当时，， 又是增函数，在上是增函数， 故在上是增函数，故BC错； 故选：D. 【变式2-2】（2024·山东·二模）如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿弧的路径运动一周，设点到点的距离为，运动时间为，则下列图象能大致地刻画与之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】点在段运动时和点在上运动时，，之间是线性关系，点在弧上运动时，（定值），即可结合选项求解. 【解答过程】当点在段运动时，随的增大而匀速增大， 点在弧上运动时，（定值）， 点在上运动时，随着的增大而减小． 故选：C． 【变式2-3】（2024·湖南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解. 【解答过程】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C； 由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B； 由图可知，当时，， 而对于D选项，当时，，故排除D. 故选：A. 【题型3 函数图象的应用】 【例3】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将不等式转化成或，结合图象即可求解. 【解答过程】由图象可知当时， 可得：或 也即：或， 当时， 可得：或， 也即：或， 所以可转化成： 解得：或， 或解得：， 综上可知：原不等式的解集为：. 故选：B. 【变式3-1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】利用偶函数的图象特征，将不等式转化成或 【解答过程】根据偶函数的图象特征， 可知当时，，当时， 由，得， 等价于或 解得，或． 所以不等式解集为： 故选：D. 【变式3-2】（2024·河南郑州·二模）若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，即可得解. 【解答过程】由图象知，的两根为2，4，且过点， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：A. 【变式3-3】（2024·河南商丘·三模）已知定义在R上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据奇函数图像关于原点对称即得函数整体图像,利用图像即得. 【解答过程】根据奇函数的图象特征，作出在上的图象如图所示， 由，得， 等价于或 解得，或，或． 故不等式解集为：. 故选: C. 【题型4 函数零点所在区间的判断】 【例4】（2024·海南·模拟预测）函数的零点所在的大致区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据零点存在性定理即可计算求解. 【解答过程】在连续不断，且单调递减， ， 所以零点位于， 故选：C. 【变式4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由零点存在性定理可得答案. 【解答过程】因为函数的定义域为，又，易知函数在上单调递增， 又，所以在内存在一个零点，使. 故选：C. 【变式4-2】（2024·河北·模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用零点存在性定理计算即可. 【解答过程】由题知在上单调递增， ∵，，， 又，∴，即在上存在使得. 故选：B. 【变式4-3】（2024·海南·模拟预测）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用零点存在定理计算出满足条件的区间即可. 【解答过程】易知函数在上单调递增， 又，， 由函数的零点存在定理可知，函数的零点所在的一个区间是． 故选：C. 【题型5 求函数的零点或零点个数】 【例5】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【解题思路】先根据函数解析式，求出的解析式，再由函数的零点定义，解对数方程即得. 【解答过程】由可得， 由可得，，解得. 故选：C. 【变式5-1】（2024·陕西西安·一模）函数的零点为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．或5 【解题思路】根据零点的定义结合对数的运算求解，注意函数的定义域. 【解答过程】由题意可得：，解得，故的定义域为， 令，得，则，解得或， 又∵，所以． 故选：C. 【变式5-2】（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【解题思路】令，求出方程的根，再结合图象求出的解的个数即可. 【解答过程】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数， 令，则，当时，，令，， 函数在上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则存在，使得； 当时，，解得或， 作函数的大致图象，如图：      又，则， 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当 ，时，，由的图象知，方程有一个解， 综上所述，函数的零点个数为5. 故选：B. 【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数（），函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据曲线在点处的切线方程判断曲线和的交点情况，求方程的根，并根据函数的单调性及零点存在定理判断该根的大致范围，判断的图象与直线，的交点情况 【解答过程】函数的零点个数即方程的根的个数．令，则方程等价于． 求曲线在点处的切线方程，得曲线和的交点情况 对于函数，易知当时，，， 故曲线在点处的切线方程为， 因此曲线和无交点．（技巧：通过研究曲线在点处的切线， 数形结合判断曲线和的交点情况） 求方程的根，并判断该根的大致范围： 将代入，得， 则，令，得或， 故当时，，与无交点， 作出函数和的大致图象如图所示，结合图象可知， 方程有且仅有1个解，且此解就是方程的解． 易知函数是增函数，且，（点拨：因为，所以，故）因此方程的解． 又当时，，所以无解，显然有2个解， 所以函数有2个零点， 故选：B． 【题型6 根据函数零点分布求参数】 【例6】（24-25高一上·全国·期中）如果函数的两零点分别落在区间和上，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由一元二次方程根的分布列出不等式求解即可. 【解答过程】为开口向上的抛物线， 由题意可得：，即 解得：. 故选：C. 【变式6-1】（2024·云南·二模）设是关于x的方程的根．若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】函数图像开口向上，利用根的分布，即可求解实数a的取值范围. 【解答过程】由题意知，函数开口方向向上， 若，则函数须同时满足三个条件： 当时，，代入解得，恒成立； 当时，，代入解得； 当时，，代入解得， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A. 【变式6-2】（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【解题思路】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解. 由函数， 【解答过程】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】当时，解出一根，由得，当时，还有两根，则此时方程为二次方程，根据题意建立不等式解出的取值范围，再根据其他条件即可得结论. 【解答过程】当时，令，解得，即； 当时，方程有两个不等负实根，， 所以，解得， 当时，，又，则． 所以． 故选：C. 【题型7 根据函数零点个数求参数范围】 【例7】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据的性质画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数与的图象有4个交点，数形结合即可求解. 【解答过程】当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称作出函数图象：    因为函数仅有4个零点，所以函数与的图象有4个交点， 根据图象可知：，即实数的取值范围是. 故选：A. 【变式7-1】（2024·安徽合肥·二模）已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出函数的图象，由题意可得的图象与至少有两个不同的交点，从而得，结合图象可得，求解即可． 【解答过程】因为， 作出函数的图象，如图所示： 由此可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 且 ， ， 又因为关于的方程至少有两个不同的实数根， 所以至少有两个不同的实数根， 即的图象与至少有两个不同的交点，所以， 又因为当时，，令，可得； 当时，，令，解得， 又因为，所以，解得． 故选:D． 【变式7-2】（2024·安徽合肥·三模）设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，可确定当时，函数的零点个数，继而作出的大致图像，考虑时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决. 【解答过程】设，当时，，此时， 由得，即，解得或， 所以在上有2个零点； 时，若，对称轴为，函数的大致图象如图： 此时，即，则， 所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如下： 令，解得（舍去）， 显然在上存在唯一负解， 所以要使恰有5个零点， 需，即，解得， 所以． 故选：D. 【变式7-3】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知求出，再分析出函数的周期性和对称性，作出函数的图象分析即得解. 【解答过程】解：因为是定义在R上的奇函数，所以. 所以当时，. 因为，则关于对称， 因为关于对称，有6个不相同的根， ∴在有三个不同的根， 表示过定点的直线系， . 作出在上的图象,如图所示， 时，，又, 则； 时，; 时，显然不满足题意. ∴m的取值范围. 故选：D． 【题型8 函数零点的大小与范围问题】 【例8】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析函数的性质，作出函数图象，再逐项判断即可. 【解答过程】函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 方程的根是直线与函数图象交点的横坐标， 方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，，，AD正确； 显然，而，则，即，， ，B正确； 显然，，C错误. 故选：C. 【变式8-1】（2024·四川成都·二模）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】在同一平面直角坐标系中画出与的图象，数形结合可得且、，从而将转化为，令，，判断函数的单调性，从而求出的值域，即可得解. 【解答过程】因为，所以，，，， 又函数对称轴为， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象， 因为方程有四个不同的解，，，，且， 即与有四个交点，所以， 由图可知， 又，关于对称，即， 又，且， 即，则， 所以，则； 所以， 令，， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 又，， 所以， 即． 故选：D． 【变式8-2】（2024·甘肃白银·一模）已知函数. (1)若曲线在处的切线的斜率为3，求. (2)已知恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 【解题思路】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）①法一：令，得，将题意转化为的图象有两个交点，令，求出的单调性和值域，即可得出答案；法二：对求导，求出的单调性和值域，使得，即可得出答案. ②将题意转化为证明，设，证得可得，又，即可证明. 【解答过程】（1）解：由题意得. 因为曲线在处的切线的斜率为3， 所以，得. （2）①法一：解：令，得.令，则. 当时，单调递增； 当时，单调递减.故. 当趋近正无穷时，趋近，又， 所以，即的取值范围为. 法二：由题意得. 若，则单调递减，所以在上不可能有两个零点. 若，则当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，得. 当趋近时，趋近正无穷；当趋近正无穷时，趋近正无穷；. 故的取值范围为. ②证明：由①可得，则 两式相加得. 由，得. 要证，只需证. 设，则. 当时，单调递减， 当时，单调递增，则，即. 因为，所以，即. 又，所以，所以， 从而得证. 【变式8-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数有两个不同的零点，且． (1)求实数的取值范围； (2)求证：； (3)比较与及的大小，并证明． 【解题思路】（1）先结合导数与单调性关系判断函数的单调性，结合单调性及函数性质，零点存在定理即可求解； （2）令，不妨设，设，欲证，只需证，即证，即证，结合不等式特点合理构造函数，结合导数与单调性关系的转化即可求证； （3）结合所要比较式子，合理构造函数，对新函数求导，结合导数与单调性关系即可求解. 【解答过程】（1）， ，考虑函数， 有两个零点，，则有两个零点， 在上单调递减，单调递增， 所以， 因为当时；当时，，所以； （2），由题不妨设，设， 欲证，只须证，即， 即①， ， ， 证明①式只需证，即证②， 构造，， 令，，由于，所以， 所以在时单调递减，所以， 所以， 在单调递减，得证. （3）先证，构造，， ， 在单调递减，，即， 在单调递增，. 由得， 又当时，，， 所以在时单调递增，当时，， 所以当时，，即 所以， 即，即， 整理得：③， 同理当时，单调递增，当时，， 所以，即， 把代成可得：④， 由③-④得：， ，即，综上． 1．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【解答过程】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，CD选项错误； 又当时，，B选项错误. 故选：A. 2．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【解答过程】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 3．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【解题思路】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【解答过程】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD. 4．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 【解题思路】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【解答过程】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【解题思路】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【解答过程】（1）当时， ， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时， ， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 6．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 【解题思路】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【解答过程】（1）当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； （2），则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又， 由（1）得，即，所以， 当时，， 则存在，使得， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 由（1）得当时，，，所以， 此时 存在，使得， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，a的取值范围为. 7．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 【解题思路】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【解答过程】（1）[方法一]：常规求导 的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得： 令，则即 令，则 故在区间上是增函数 故，即 所以的取值范围为 （2）[方法一]：构造函数 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证,即证 因为,即证 又因为,故只需证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. [方法二]：对数平均不等式 由题意得： 令，则， 所以在上单调递增，故只有1个解 又因为有两个零点，故 两边取对数得：，即 又因为，故，即 下证 因为 不妨设，则只需证 构造，则 故在上单调递减 故，即得证. 8．（2022·全国·高考真题）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 【解题思路】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可 （2）求导,对分类讨论,对分两部分研究 【解答过程】（1）的定义域为 当时,,所以切点为 ,所以切线斜率为2 所以曲线在点处的切线方程为 （2） 设 若,当,即 所以在上单调递增, 故在上没有零点,不合题意 若,当,则 所以在上单调递增所以,即 所以在上单调递增, 故在上没有零点,不合题意 若 (1)当,则,所以在上单调递增 所以存在,使得,即 当单调递减 当单调递增 所以 当, 令则 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 又，， 所以在上有唯一零点 又没有零点,即在上有唯一零点 (2)当 设 所以在单调递增 所以存在,使得 当单调递减 当单调递增, 又 所以存在,使得,即 当单调递增,当单调递减， 当，， 又， 而,所以当 所以在上有唯一零点,上无零点 即在上有唯一零点 所以,符合题意 所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$