专题07 期末选填压轴题（六大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题07 期末选填压轴题（六大题型） 零点问题 1．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】 【分析】画出函数图象。利用对称性即可求解. 【解析】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示， 根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称， 所以零点之和为， 故答案为： 2．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）若函数有且仅有1个零点，则实数a的取值范围 【答案】 【分析】把函数，的图象画在同一直角坐标系中，直线在平移过程中，可得到函数与轴的不同交点个数，从而即可求解. 【解析】解：把函数，的图象画在同一直角坐标系中，如图所示： 直线在平移过程中，可得到函数图象与轴的不同交点个数， 当时，函数与轴有且只有一个交点， 所以实数的取值范围是， 故答案为：． 3．（22-23高一上·上海杨浦·期末）设表示，中的较小数.若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，根据函数的图象得出或.然后根据的取值讨论即可求解. 【解析】设，， 由可得：. 要使函数至少有3个零点，则函数至少有1个零点，则，解得：或. (1)当时，，作出函数的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不满足题意； (2)当时，设函数的两个零点分别为， 要使得函数至少有3个零点，则， 所以，解得：； (3)当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为3，满足题意； (4)当时，设函数的两个零点分别为， 要使得函数至少有3个零点，则， 所以，解得：，此时， 综上所述，实数的取值范围是， 故答案为：. 方程实数根、交点等问题 4．（2021·上海浦东新·一模）设函数，若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值构成的集合为 ． 【答案】 【解析】将方程的解转化为两个函数交点问题求解. 【解析】由得有两个不同的解， 令， 的顶点在上， 而与的交点坐标为， 联立得， 由，解得或， 数形结合，要使得有两个不同的解， 则实数的取值范围是或或. 故答案为： 5．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，，若函数和的图象有且仅有1个公共点，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】依题意有且仅有一根，即，分别考虑该不等式为一次与二次方程的情况，结合二次方程两根关系与对数的定义域列式求解即可. 【解析】依题意有且仅有一根，即，得，即. 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当且时，，，， 若是原方程的根，当且仅当，即， 若是原方程的根，当且仅当，即， 故当是原方程的根，不是原方程的根，则，无解， 当是原方程的根，不是原方程的根，则，解得. 综上有实数的取值范围是. 故答案为： 6．（15-16高三上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题. 【解析】因为， 当时，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，， 作出的图象，如图所示： 令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减， 在，上单调递增，且，，则的图象如下所示： ①当时，令或， 则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解， 即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）； ②当时，令或或，此时对应的个数为6； ③当时， 令或或或， 此时对应的个数为； ④当时，或或或，此时对应的个数为； ⑤当时，或或，此时对应的个数为； ⑥当时，或，此时对应的个数为3； ⑦当时，，此时对应的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题. 7．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数，其中.若关于x的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，画出图像如图所示，利用数形结合思想，结合二次函数的对称性，对数函数的运算和性质，对勾函数的单调性求解. 【解析】，画出图像如图所示. 方程等价于，方程有4个不同的实数根，即函数的图象与水平直线有4个不同的交点，故. 设四个交点的横坐标从左到右依次为，如图所示，可知，， 结合,得所以. 又因为，所以，所以，所以， 由于函数在上单调递减，所以， ， 所以题设方程所有实数根之和的取值范围是. 故答案为： 8．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是 . 【答案】 【分析】判断函数关于直线对称，画出函数的大致图象，由函数与有4个交点，进而求出的取值范围，由利用函数 和换元法并结合二次函数的性质即可求出的最小值． 【解析】当时，，函数关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示 ，方程有四个不相等的实根， 函数与有4个交点， 由函数的图象可知， 即的取值范围为：， 由函数的图象可知：，，且，， ，，，， 令，，，设，则，， 根据对勾函数单调性其单调递增，则， 又， 设，，对称轴为，则 即，即范围为 故答案为：． 【点睛】方法点睛：函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点. 函数的概念与性质 9．（23-24高一上·上海虹口·期末）对于以下两个结论，说法正确的是（    ） 结论①：设，若任取，且，则必有； 结论②：设，则有对恒成立． A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】B 【分析】利用增函数的性质即可判断①，举反例即可判断②. 【解析】对于①，因为在上是增函数， 且在上也是增函数， 所以在上是增函数， 则任取，且， 必有，①正确； 对于②，，②错误. 故选：B 10．（23-24高一上·上海·期末）是定义在上的函数，那么下列函数：①；②；③中，满足性质“存在两个不等实数，使得”，的函数个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，使得． 【解析】对于①，，故①符合； 对于②，假设存在不相等，使得， 即，则， 得，这与矛盾，故②不符合； 对于③，，故③符合. 故选：C. 【点睛】方法点睛：证明存在性命题，只需找到满足条件的特殊值即可，反之需要证明不存在，一般考虑反证法，先假设存在，推出矛盾即可. 11．（23-24高一上·上海虹口·期末）对于以下两个结论，说法正确的是（    ） 结论①：若函数是定义在上的增函数，则的充要条件是； 结论②：若定义在上的函数满足，则该函数为奇函数或偶函数． A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】B 【分析】利用函数单调性的概念判断①，利用奇偶性的定义判断② 【解析】结论①：若函数是定义在上的增函数，当时，可以推出，当时，可以推出， 故的充要条件是；①对 结论②：若定义在上的函数满足，则， 故不一定恒成立，也不一定恒成立， 如函数，②错. 故选：B. 12．（2021·上海浦东新·一模）已知函数，则以下4个命题： ①是偶函数； ②在上是增函数； ③的值域为； ④对于任意的正有理数，存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】取特殊值可判断①②；根据值域中不含负无理数可判断③；根据为有理数或为无理数，解出可判断④. 【解析】①因为，所以，所以不是偶函数，故错误； ②因为，所以在不是增函数，故错误； ③因为，显然的值域中不含负无理数， 故的值域不为，故错误； ④的零点即为有理数或为无理数， 对于为有理数，必有解， 对于为无理数，必有解或无解， 故有三个零点或一个，故正确； 故选：B. 13．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知定义在上的偶函数在上严格增，记函数．对于如下两个命题：①存在函数，函数在上严格增；②存在函数，函数在上严格减．则（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【分析】根据函数单调性和奇偶性，结合常见函数的单调性即可求解. 【解析】若，则为偶函数且在上严格增，此时，则在上严格增，故①是真命题， 若，则为偶函数且在上严格增, 则，则为上的奇函数， 先考虑时，， 由于函数为上的单调递减函数， 所以函数在单调递减，进而可得在上严格减，故②都是真命题， 故选：A 14．（23-24高一上·上海·期末）已知函数满足：．则下列三个结论： （1）； （2）； （3）． 其中正确的结论是 ． 【答案】（1）（3） 【分析】构造函数得，进而得，从而可判断（1）；举反例排除断（2）；利用（1）结论，结合基本不等式求范围判断（3）. 【解析】令，则，则， 两式相减，整理得， 所以，故（1）对； 当时，， 满足，但，故（2）错； 由， 当且仅当或2时取等号， 所以， 可得，故（3）对. 故答案为：（1）（3） 【点睛】关键点睛：本题结论（1）的解决关键是通过构造函数得到，进而得到，从而得解. 15．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知，，对于实数a、b，给出以下命题： 命题①：若，则. 命题②：若，则. 则以下判断正确的是（   ） A．①为真命题；②为真命题. B．①为真命题；②为假命题. C．①为假命题；②为真命题. D．①为假命题；②为假命题. 【答案】A 【分析】令，，在R上分别讨论函数的奇偶性和单调性，从而结合函数的基本性质逐项判断命题的真假. 【解析】令，. 因为，所以是奇函数， 易知幂函数在R上增函数，因此也在R上增函数； 又因为，所以是偶函数， 令，假设任意且， 则 ， 由且知，， 所以， 即函数在上单调递增函数， 从而结合复合函数单调性可知，偶函数在上单调递增，在上单调递减，又. 对一命题①：当时，，故，又，所以， 所以，则 ， 即成立，故命题①真命题； 对于命题②：当 ，即时，，， （i）当时，则，所以， 又，所以， 所以，则， 即成立； （ii）当时，， 因为也在R上增函数, 在上单调递增, 所以在上单调递增，又， 所以在上， 又当时，，，所以在上恒成立， 故当时，成立； 综上所述，时，均有成立，故命题②真命题. 故选：A. 【点睛】本题关键是将函数拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考查对函数基本性质的掌握与熟练应用. 16．（23-24高一上·上海·期末）已知函数和的表达式分别为，，设，现有如下四个命题： ①对任意实数，且，都有；   ②存在实数，且，都有； ③存在实数，且，都有； ④对任意实数,存在，，且，使得. 其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号） 【答案】②③ 【分析】根据,的定义，分别构造函数和，求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，单调区间，结合选项逐一判断即可. 【解析】①若，则在定义域内单调递增， 由为二次函数，所以不可能在定义域上单调递增，故①错误； ②令，则， ，当时，此时，此时有两个不同实根， 不妨设为，，且，当和时， ，故在和上单调递增； 故存在和 使 ，故②正确； ④时，，此时，在定义域上单调递增， 至多有一个根，由此不存在，使得，故④错误； ③令，则， ，当时，，此时有两个不同实根， 不妨设为，且，当时，，故在上 单调递减，在，上单调递增，故一定存在，，使得 ，即 故③正确. 故答案为：②③ 【点睛】构造函数，求函数的导数判断函数的单调性，根据函数的单调性求解. 函数的综合应用 17．（19-20高三上·上海浦东新·开学考试）定义域和值域均为（常数）的函数和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程有且仅有三个解； （2）方程有且仅有三个解； （3）方程有且仅有九个解； （4）方程有且仅有一个解； 那么，其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】依题意，依次判断： （1）由于，可得方程有且仅有三个解； （2）由于，可得方程最多三个解； （3）方程的解最多有九个解； （4）由于，可得方程有且仅有一个解. 最后可求得结果. 【解析】（1）方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解；g（x）有三个不同值，由于y＝g（x）是减函数，所以有三个解，正确； （2）方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解；从图中可知，f（x）∈（0，a）可能有1，2，3个解，不正确； （3）方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解；类似（2）不正确； （4）方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解．结合图象，y＝g（x）是减函数，故正确． 故答案为①④． 故选B. 【点睛】本题考查了函数的图象及其性质、复合函数的图象与性质、方程的解与函数的零点之间的关系，考查了推理能力，考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 18．（22-23高一上·上海闵行·期末）设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（    ） A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一 C．的最大值为3 D．的最小值为3 【答案】D 【分析】代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出b的值唯一，则A项错误；代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出a的值唯一，则B项错误；分、、三种情况，求出函数的解析式，得到函数的值域，分别求出的范围，即可判断C、D项. 【解析】对于A项，当时，显然，则.函数在上的值域为，在上的值域为，又函数在上的值域为，所以，，故A项错误； 对于B项，当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，所以，故B错误； 对于C、D项， ①当时，函数，此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以； ②当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以； ③当时，.此时函数在上的值域为，在上的值域为.由已知可得，或. 当时，即，此时有； 当时，即，则，此时有. 综上所述，. 故C项错误，D项正确. 故选：D. 19．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，对，，，总有恒成立，转化为，根据单调性求函数最值即可. 【解析】由题意可得：对，，，总有恒成立，只需， ， ①当时，，满足题意； ②当时，在上单调递减，，故需，即； ③当时，在上单调递增，，故只需，即， 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：原问题对任意，，，总有，，为某一个三角形的边长，转化为对，，，总有恒成立，是解题的关键. 20．（22-23高一上·上海金山·期末）已知，若关于x的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程，等价于 且，将问题转化为的图象夹在直线和之间的部分有且仅有两个整数解求解. 【解析】解：要使方程， 当且仅当 且， 即方程等价于 且， 即， 所以方程有且仅有两个不同的整数解， 即的图象夹在直线和之间的部分有且仅有两个整数解， 函数的图象如图所示： 因为， 所以要使的整数解有且仅有两个解， 则其中一个整数解为0和-1， 即 ，解得， 故选：A 21．（23-24高一上·上海·期末）已知定义在的严格增函数与.若对任意实数，存在实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由的单调性转化得恒成立，从而求得；再由与的相关恒成立条件转化得恒成立，从而利用绝对值不等式求得；由此得解. 【解析】因为在上是严格增函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 而，故； 因为对任意实数，存在实数和，不等式恒成立， 又，所以，即， 则，且在上恒成立， 令，则，恒成立， 若，则存在使得在恒成立， 故存在使得成立，故，故， 当且仅当时等号成立, 若，不妨设， 若即，则存在，使得成立即， 故， 而，故即. 此时，可使得等号成立， 若，则存在，使得成立， 故，故， 综上：. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是取特殊值，利用绝对值不等式求得的最小值，从而得解. 22．（23-24高一上·上海青浦·期末）函数在区间上的最大值为，最小值为，则 . 【答案】2 【分析】变形给定函数，构造函数并探讨其奇偶性，再借助函数性质求解即得. 【解析】函数，令， 当时，，则函数是奇函数， 显然，，而， 所以. 故答案为：2 23．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的应用寻找方程成立的条件，再利用数形结合求解参数即可. 【解析】若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解， 则必有且同时成立，即图象夹在和之间， 易知，函数的图象大致如图， 结合图形可知的整数解只有两个，则其中一个为，另一个为， 所以，且， 解得， 故选：B 24．（23-24高一上·上海·期末）已知，设函数在区间上的最大值为.若，则正实数的最大值为 . 【答案】 【分析】画出函数图象，数形结合得到当时，取得最小值，最小值为，并得到，从而得到不等式，求解解集，得到答案. 【解析】画出的图象如下： 故， 由图象可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，， 则①， 故只需要②， 将①代入②得， 化简得，解得， 故正实数的最大值为. 故答案为： 25．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若实数满足：，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，根据图象可得，整理可得，结合二次函数分析求解. 【解析】作出的图象，如图所示， 令，由图可知：， 且，解得， 则， 因为，则，可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点 1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解． 2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 26．（2021·上海嘉定·二模）已知函数若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求得x≥2时的值域，方法一，只需使x＜2时对应的函数图像在该值域区间上只有一个交点即可，利用数形结合的办法，对参数分类讨论，写出满足的不等式组，求得a的取值范围；方法二：对a分类讨论，求得函数单调性，利用单调性满足只有一个交点，且值域要比上面求的值域要大，来求得参数的取值范围. 【解析】解：【法1】当时，．因为， 而，当且仅当，即时，等号成立，所以的取值范围是． 由题意及函数的图像与性质可得   或 ，如上图所示．解得 或 ，所以所求实数的取值范围是 ． 【法2】 当时，，即，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的取值范围是； 当时， （1）若，则 （），它是增函数，此时的取值范围是．由题意可得 ，解得 ，又，所以 ； （2）若，则．函数在上是增函数，此时的取值范围是；而函数在上是减函数，此时的取值范围是．由题意可得 ，解得，又 ，所以 ． 综上，所求实数的取值范围是 ． 故答案为：[-1,5). 【点睛】关键点点睛：数形结合将函数值问题转化为交点问题，值域范围问题，对参数分类讨论，借助单调性求解问题. 27．（23-24高一上·上海·期末）田同学向肖老师请教一个问题：已知三个互不相同的实数，，满足和，求的取值范围.肖老师告诉他：函数在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数.根据肖老师的提示，可求得该问题中值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可得：，，结合韦达定理和根的判别式可得，由，得，令，结合条件得到的单调性，从而得到值范围 【解析】由题和，，得， 所以，则，即， 又，所以由韦达定理得和为关于的方程的两个不等根， 所以，即，得， 再由，得，令， 根据题意可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，，，， 当时，，或，，不满足实数，，互不相同； 当时，，或，，不满足实数，，互不相同； 所以值范围是， 故答案为： 新定义题 28．（23-24高一上·上海·期末）某物理学家用数学方法证明数学对物理是有用的：把物理世界G（现实世界）看作时空点（四元数），找到一个函数，若存在实数，使对任意的均有不等式（是与物理世界G的时空点有关的另一个函数）成立.则称物理世界G与函数在区间上“拟同态”，函数叫物理世界G在区间上的“拟同态函数”，通过研究“拟同态函数”，可以获得物理世界G（现实世界）的相关信息.现在知道某具体物理现象G，在s的区间上的“拟同态函数”：，且，则实数n的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题转化为最值问题，结合二次函数的单调性求解最值，以及利用函数的单调性求解最值，即可求解. 【解析】根据题意可得：存在实数，对任意的均有成立， 所以对任意的，故， 进而可得， 化简得， 因此问题转化为存在使得成立， 故， 由于函数均为单调递增函数，故在单调递增，因此， 所以，即， 故答案为： 29．（22-23高一上·上海·期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，以其名命名的函数为狄利克雷函数，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数为“函数”，则关于狄利克雷函数和函数有以下四个结论： （1）； （2）函数既是偶函数又是周期函数； （3）函数图象上存在四个点、、、，使得四边形为矩形； （4）函数图象上存在三个点、、，使得为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】（2）（3）（4） 【分析】（1）（2）根据狄利克雷函数的定义，结合奇偶性、周期性定义即可判断，对于（3）（4）需要找出点验证满足条件. 【解析】由题意，的取值为0或1，所以，故（1）错误； 因为，所以为偶函数， 对于任意非零有理数，对于任意的有理数加上一个有理数仍为有理数， 对于任意的无理数加上一个有理数仍为无理数，都有， 则函数既是偶函数又是周期函数，故（2）正确； 若取函数图象上四个点，，，， 因为，且，即，互相平分， 所以函数图象上四个点，使得四边形为矩形，故（3）正确； 函数图象上三个点，，， 即，，，因为， 所以为等边三角形，故（4）正确． 故答案为：（2）（3）（4）. 30．（23-24高一上·上海松江·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于①，分类讨论、、、和五种情况分别求解即可判断； 对于②，分类讨论为整数和不为整数时原式是否成立，对于不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可. 【解析】对于①： 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，； 则符合题意，不符合题意； 综上，是单元素集，故①正确. 对于②： 当为整数时，成立； 当不为整数时，设（为整数，）， 当时，，， 此时，成立； 当时，，则，， 此时，成立； 当时，，， 此时，成立； 综上，对于任意，成立，故②正确. 故选：A 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 31．（23-24高一上·上海·期末）已知定义在上的函数，对于给定集合A，若对任意，当时都有，则称是“A封闭”函数．已知给定两个命题： ：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数． ：若是“封闭”函数，则在区间上严格减． 则下列正确的判断为（    ） A．是真命题，是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是假命题 【答案】C 【分析】通过定义进行证明若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数，命题为真命题，再举出反例得到命题为假命题. 【解析】命题：若是“封闭”函数，即对，都有， 对于集合，任意的，使得，则， 而， 所以，故一定是“封闭”函数， 当时，命题正确； 命题：不妨设，，当时， ， 此时是“封闭”函数，但为单调递增区间，命题是假命题. 故选：C 题型6 集合、不等式 32．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将不等式化为，结合分段函数的图象与性质数形结合计算即可. 【解析】 原不等式可化为，令， 则， 作出图象如图所示，易知的零点为， 要满足题意需的图象始终位于图象的上方（部分可重合）， 则需或， 所以当且仅当时取得最小值，显然没有上限. 故答案为：. 【点睛】难点点睛：首先是将不等式恒成立问题分离转化为两个分段函数与的图象所处位置问题.作出函数草图数形结合并分类讨论，关键点是对应了图象折线段的倾斜程度，同时对应了的零点位置，所以根据折线段的倾斜程度将分成和两种情况，同时注意范围及端点处即可. 33．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用题设中的新定义，可判定①正确；利用集合运算的韦恩图法，可判定②正确、④错误；利用题设中的定义与集合的运算方法，可判定③正确. 【解析】对于①中，由，所以①正确； 对于②中，由且， 同理可得：, 则， 所以， 所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示， 同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合， 所以，所以②正确；    对于③中，由，所以③正确； 对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误. 故选：B.    34．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解. 【解析】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 35．（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【解析】设，， 若，此时，，B错误； 若，此时，，错误，A错误； 若，则,则， 且，若，真包含A,故D正确，C错误. 故选：D． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 期末选填压轴题（六大题型） 零点问题 1．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ． 2．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）若函数有且仅有1个零点，则实数a的取值范围 3．（22-23高一上·上海杨浦·期末）设表示，中的较小数.若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是 . 方程实数根、交点等问题 4．（2021·上海浦东新·一模）设函数，若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值构成的集合为 ． 5．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，，若函数和的图象有且仅有1个公共点，则实数的取值范围是 6．（15-16高三上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 7．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数，其中.若关于x的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是 . 8．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是 . 函数的概念与性质 9．（23-24高一上·上海虹口·期末）对于以下两个结论，说法正确的是（    ） 结论①：设，若任取，且，则必有； 结论②：设，则有对恒成立． A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 10．（23-24高一上·上海·期末）是定义在上的函数，那么下列函数：①；②；③中，满足性质“存在两个不等实数，使得”，的函数个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（23-24高一上·上海虹口·期末）对于以下两个结论，说法正确的是（    ） 结论①：若函数是定义在上的增函数，则的充要条件是； 结论②：若定义在上的函数满足，则该函数为奇函数或偶函数． A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 12．（2021·上海浦东新·一模）已知函数，则以下4个命题： ①是偶函数； ②在上是增函数； ③的值域为； ④对于任意的正有理数，存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知定义在上的偶函数在上严格增，记函数．对于如下两个命题：①存在函数，函数在上严格增；②存在函数，函数在上严格减．则（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 14．（23-24高一上·上海·期末）已知函数满足：．则下列三个结论： （1）； （2）； （3）． 其中正确的结论是 ． 15．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知，，对于实数a、b，给出以下命题： 命题①：若，则. 命题②：若，则. 则以下判断正确的是（   ） A．①为真命题；②为真命题. B．①为真命题；②为假命题. C．①为假命题；②为真命题. D．①为假命题；②为假命题. 16．（23-24高一上·上海·期末）已知函数和的表达式分别为，，设，现有如下四个命题： ①对任意实数，且，都有；   ②存在实数，且，都有； ③存在实数，且，都有； ④对任意实数,存在，，且，使得. 其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号） 函数的综合应用 17．（19-20高三上·上海浦东新·开学考试）定义域和值域均为（常数）的函数和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程有且仅有三个解； （2）方程有且仅有三个解； （3）方程有且仅有九个解； （4）方程有且仅有一个解； 那么，其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（22-23高一上·上海闵行·期末）设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（    ） A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一 C．的最大值为3 D．的最小值为3 19．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是 ． 20．（22-23高一上·上海金山·期末）已知，若关于x的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 21．（23-24高一上·上海·期末）已知定义在的严格增函数与.若对任意实数，存在实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 22．（23-24高一上·上海青浦·期末）函数在区间上的最大值为，最小值为，则 . 23．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·上海·期末）已知，设函数在区间上的最大值为.若，则正实数的最大值为 . 25．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若实数满足：，则的取值范围是 ． 26．（2021·上海嘉定·二模）已知函数若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是 ． 27．（23-24高一上·上海·期末）田同学向肖老师请教一个问题：已知三个互不相同的实数，，满足和，求的取值范围.肖老师告诉他：函数在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数.根据肖老师的提示，可求得该问题中值范围是 . 新定义题 28．（23-24高一上·上海·期末）某物理学家用数学方法证明数学对物理是有用的：把物理世界G（现实世界）看作时空点（四元数），找到一个函数，若存在实数，使对任意的均有不等式（是与物理世界G的时空点有关的另一个函数）成立.则称物理世界G与函数在区间上“拟同态”，函数叫物理世界G在区间上的“拟同态函数”，通过研究“拟同态函数”，可以获得物理世界G（现实世界）的相关信息.现在知道某具体物理现象G，在s的区间上的“拟同态函数”：，且，则实数n的取值范围是 . 29．（22-23高一上·上海·期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，以其名命名的函数为狄利克雷函数，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数为“函数”，则关于狄利克雷函数和函数有以下四个结论： （1）； （2）函数既是偶函数又是周期函数； （3）函数图象上存在四个点、、、，使得四边形为矩形； （4）函数图象上存在三个点、、，使得为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是 ． 30．（23-24高一上·上海松江·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 31．（23-24高一上·上海·期末）已知定义在上的函数，对于给定集合A，若对任意，当时都有，则称是“A封闭”函数．已知给定两个命题： ：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数． ：若是“封闭”函数，则在区间上严格减． 则下列正确的判断为（    ） A．是真命题，是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是假命题 题型6 集合、不等式 32．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，恒成立，则的取值范围是 . 33．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 34．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 35．（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$