第05讲 一次方程（组）及其应用 (讲义，5考点+3命题点15种题型（含5种解题技巧）)-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第二章 方程与不等式 第05讲 一次方程（组）及其应用 （思维导图+5考点+3命题点15种题型（含5种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元一次方程基础 考点二 解一元一次方程 考点三 二元一次方程（组）基础 考点四 解二元一次方程（组） 考点五 一次方程（组）及其应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元一次方程（组）的相关概念 ►题型01 等式的性质 ►题型02 一元一次方程的相关概念 ►题型03 二元一次方程的相关概念 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型01 一元一次方程的解法 ►题型02 代入法解二元一次方程组 ►题型03 加减法解二元一次方程组 ►题型04 整体法解二元一次方程组 ►题型05解二元一次方程组--同解方程组 ►题型06解二元一次方程组—已知二元一次方程组的解的情况求参数 ►题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组) 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型01 列一元一次方程组 ►题型02 一元一次方程的应用 ►题型03 二元一次方程组的应用 ►题型04 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用 ►题型05中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用 01考情透视·目标 中考考点 考查频率 新课标要求 一元一次方程 及其解法 ★★ 掌握等式的基本性质；能解一元一次方程. 二元一次方程 及其解法 ★★ 掌握消元法，能解二元一次方程组； *能解简单的三元一次方程组； 一次方程（组） 的应用 ★★ 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程 【考情分析1】一元一次方程属于初中的基础内容，试题形式多样，难度不大，主要以解决实际问题为考查背景，多出现在销售、行程、工程等问题中，确定题目中的等量关系，正确地列出方程是解题的关键.此外，准确的计算能力也是得分所必不可少的技能. 【考情分析2】中考对二元一次方程组的考查包括解方程组和利用二元一次方程组解决实际问题，其关键是“消元”思想，即将“二元”转化为“一元”，这也体现在用二元一次方程组可解决的问题用一元一次方程也可以解决，考查形式多样，难度不大，多以解决实际问题为出题背景. 02知识导图·思 03考点突破·考法探究 考点一 一元一次方程基础 一、一元一次方程的相关概念 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 【易错易混】 1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2）方程的解是通过解方程求得的. 3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 二、等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 1．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．3 B． C．7 D． 2．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的方程有根，则m的取值范围是 ． 3．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（    ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2 考点二 解一元一次方程 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 1．（2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（    ） A．8 B． C．2 D． 2．（2024·河北·模拟预测）下面是嘉淇同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 解得． 以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 3．（2024·贵州贵阳·二模）已知关于的方程的解是，则的值为 ． 4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程： 考点三 二元一次方程（组）基础 1.二元一次方程 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 2.二元一次方程组 二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 1．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2020·湖南益阳·中考真题）同时满足二元一次方程和的，的值为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是 （写出一个即可）． 15．（2022·四川雅安·中考真题）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ． 5．（2021·四川广安·中考真题）若、满足，则代数式的值为 ． 考点四 解二元一次方程（组） 1.代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 2.加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（2023·四川泸州·中考真题）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值 ． 5．（2024·浙江·中考真题）解方程组： 考点五 一次方程（组）及其应用 用一元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 1．（2024·四川·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·中考真题）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 4．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元一次方程（组）的相关概念 ►题型01 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式. 即：如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等. 即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 解题方法：灵活运用等式的性质. 1．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D． 2．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．（2023·河北保定·一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 一元一次方程的相关概念 1．（2024·四川攀枝花·模拟预测）下列各数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D．和 2．（2024·广西河池·三模）关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 3．（2021·贵州·一模）已知关于的方程是一元一次方程，则方程的解为（    ） A．-2 B．2 C．-6 D．-1 4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）（1）当______时，关于的方程是一元一次方程； （2）解一元二次方程． ►题型03 二元一次方程的相关概念 1．（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ． 2．（2024·河南·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程的一个解是，则a的值为 3．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解 ． 4．（2021·四川凉山·中考真题）已知是方程的解，则a的值为 ． 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型01 一元一次方程的解法 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 不要弄错符号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 1）移项时不要丢项; 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 1．（2024·辽宁·模拟预测）在解方程时，经过移项后的式子为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西·模拟预测）点在函数的图象上，则 ． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：，若，则 ． 4．（2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求这两个方程的解． ►题型02 代入法解二元一次方程组 1．（2022·辽宁沈阳·中考真题）二元一次方程组的解是 ． 2．（2024·甘肃武威·二模）已知，则 ． 3．（2024·四川绵阳·三模）如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为 ． ►题型03 加减法解二元一次方程组 1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ． 2．（2024·广西·中考真题）解方程组： 3．（2023·湖南常德·中考真题）解方程组： ►题型04 整体法解二元一次方程组 解题思路：当二元一次方程组的结构比较复杂，但又有一定的规律时，可以考虑利用整体消元法，从而使原方程组变成结构比较简单、求解方便的二元一次方程组.例如： 1．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务． 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明． 例1：计算：． 解：设，则原式． 请你利用上述方法解答下列问题： (1)计算：； (2)已知方程组的解是，则方程组的解是 ． ►题型05解二元一次方程组--同解方程组 解题方法：若方程组解相同，则联立两个不含参数的方程，解得x，y的值，再代入含参数的方程组，即可求出参数的取值. 1．（2020·广东·中考真题）已知关于，的方程组与的解相同． （1）求，的值； （2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由． 2．（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． ►题型06解二元一次方程组—已知二元一次方程组的解的情况求参数 解题方法：正常解方程组，用参数表示解，再将解代入到满足的条件中，从而求出参数值. 1．（2023·四川南充·中考真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2022·山东聊城·中考真题）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济宁·一模）已知为整数，关于，的二元一次方程组的解满足，则整数值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．（2021·江苏扬州·中考真题）已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解，求a的值． ►题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组) 1．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 2．（2023·山西大同·模拟预测）（1）计算：； （2）下面是小辉和小莹两位同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 小辉：由②得，．③…………第一步 将③代入①得，．……第二步 整理得，．………………第三步 解得．…………………………第四步 将代入③，解得．………第五步 ∴原方程组的解为……………第六步 小莹：得，．………………第一步 解得，…………………………第二步 将代入①得，．…………第三步 整理得，．………………第四步 解得…………………………第五步 ∴原方程组的解为…………第六步 任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题． ①我选择___________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是___________； ②该同学从第___________开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务二：直接写出该方程组的正确解； 任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）． 3．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框： 解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 4．（2024·江西吉安·二模）解方程组，下面是两同学的解答过程： 小春： 解：将方程变形为． 小冬： 解：将方程两边同乘2，得到，再与另一个方程相加，得到． (1)小春解法的依据是______，运用的方法是______；小冬解法的依据是______，运用的方法是______．（填序号） ①等式的性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法． (2)请选择你认为更简捷的解法，完成解答过程． 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型01 列一元一次方程组 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（    ） A．B．C． D． 4．（2024·山东威海·中考真题）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A．B．C． D． 5．（2023·吉林·中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ． 6．（2022·贵州贵阳·中考真题）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则 表示的方程是 ． ►题型02 一元一次方程的应用 1．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 2．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 3．（2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 4．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． ►题型03 二元一次方程组的应用 1．（2023·安徽·中考真题）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元，已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价． 2．（2023·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由块形状大小相同的长方形墙砖砌成．    (1)求一块长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 3.（2021·湖南邵阳·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图． 请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 4．（2021·湖北黄石·中考真题）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题： （1）笼中鸡、兔各有多少只？ （2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？ ►题型04 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用 1．（2024·辽宁·模拟预测）数学课外活动小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是．若，，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．若轻质木杆的质量忽略不计，设这个重物的质量为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西晋中·三模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．某野外作业人员，因工作需要，用橇棍撬动一块2000N的大石头，经过分析后，撬棍的阻力臂是动力臂的则所需要的动力至少为 N． 3．（2024·江苏泰州·二模）【背景知识】杠杆原理：杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂． 【知识应用】杆秤是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，传说木杆秤是鲁班发明的．由秤杆、秤锤、提纽、秤盘等组成． 如图1．已知秤锤质量为，秤盘与拎着的提纽间力臂长，当秤杆平衡时，秤锤与提纽间力臂长，求秤盘中物体的质量． 【拓展应用】天平也是利用杠杆原理来称物体质量的衡器，天平是一种等臂杠杆，当天平平衡时，物体质量砝码质量． 如图2所示的天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同．把一个物体放在该天平的一个托盘里，在另一个托盘里放砝码使天平平衡，称得物体质量为a；再作第二次测量，把物体换到天平的另一个托盘里，此时称得物体的质量为b．试用含a、b的代数式表示该物体的真实质量，并说明理由． 4．（2024·河北唐山·二模）某科学研究实验基地内装有一段长的笔直轨道，现将长度为的金属滑块在上面往返滑动一次．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设滑动时间为时，滑块左端离点A的距离为，右端离点B的距离为． (1)当时，的值为 ； (2)记，d与t具有函数关系．已知整个滑动过程总用时（含停顿时间）． ①滑块返回的速度为 ； ②滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数解析式（不写t的取值范围）； ③若，直接写出t的值． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）在进行氯化钠溶液配置实验中，小明配置了一瓶质量分数为20%的氯化钠溶液，小兰配置了一瓶质 量分数为25%的氯化钠溶液，两人用已配制好的溶液混合恰好得到质量分数为22%的氯化钠溶液，已知小明配置的溶液质量比小兰配置的溶液质量多7克，求两人配置的氯化钠溶液质量各有多少克？（提示：氯化钠质量=氯化钠溶液质量×质量分数） ►题型05中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用 1．（2024·四川资阳·中考真题）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元． (1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价； (2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 2．（2024·广东深圳·模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等． (1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？ (2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？ 3．（2024·安徽合肥·二模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．求成人票和儿童票每张原价多少元？ 4．（2024·云南昆明·三模）今年的澜沧江一湄公河合作大理马拉松（简称“2024澜湄大理马拉松”），将于5月19日在美丽的云南大理开跑，这是一场结合了自然风光、历史文化和民族风情的国际性马拉松赛事，旨在促进澜湄流域国家的合作与交流．以下是本次马拉松赛事的一些信息： 项目 距离 报名费 马拉松 42.159千米 200元/人 半程马拉松 21.0975千米 150元/人 欢乐跑 5.2千米 80元/人 亲子跑 2千米 60元/人 (1)据了解，某中学有若干名同学报名参加了本次活动欢乐跑和亲子跑中的一个项目，他们共花费了报名费640元，完成挑战后他们跑过的距离总和为34千米．请求出该中学报了欢乐跑和亲子跑的同学各有几人？ (2)已知在跑马拉松过程中，人体内消耗的水分y（单位：）与运动距离x（单位：）之间的函数关系如图所示，其中． ①请求出y与x之间的函数关系式； ②为了避免身体出现脱水现象，一般情况下体内消耗水分达时就要适当补水分，求起跑后距离起点多少千米时需要第一次补水？ $$第二章 方程与不等式 第05讲 一次方程（组）及其应用 （思维导图+5考点+3命题点15种题型（含5种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！53 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元一次方程基础 考点二 解一元一次方程 考点三 二元一次方程（组）基础 考点四 解二元一次方程（组） 考点五 一次方程（组）及其应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元一次方程（组）的相关概念 ►题型01 等式的性质 ►题型02 一元一次方程的相关概念 ►题型03 二元一次方程的相关概念 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型01 一元一次方程的解法 ►题型02 代入法解二元一次方程组 ►题型03 加减法解二元一次方程组 ►题型04 整体法解二元一次方程组 ►题型05解二元一次方程组--同解方程组 ►题型06解二元一次方程组—已知二元一次方程组的解的情况求参数 ►题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组) 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型01 列一元一次方程组 ►题型02 一元一次方程的应用 ►题型03 二元一次方程组的应用 ►题型04 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用 ►题型05中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用 01考情透视·目标 中考考点 考查频率 新课标要求 一元一次方程 及其解法 ★★ 掌握等式的基本性质；能解一元一次方程. 二元一次方程 及其解法 ★★ 掌握消元法，能解二元一次方程组； *能解简单的三元一次方程组； 一次方程（组） 的应用 ★★ 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程 【考情分析1】一元一次方程属于初中的基础内容，试题形式多样，难度不大，主要以解决实际问题为考查背景，多出现在销售、行程、工程等问题中，确定题目中的等量关系，正确地列出方程是解题的关键.此外，准确的计算能力也是得分所必不可少的技能. 【考情分析2】中考对二元一次方程组的考查包括解方程组和利用二元一次方程组解决实际问题，其关键是“消元”思想，即将“二元”转化为“一元”，这也体现在用二元一次方程组可解决的问题用一元一次方程也可以解决，考查形式多样，难度不大，多以解决实际问题为出题背景. 02知识导图·思 03考点突破·考法探究· 考点一 一元一次方程基础 一、一元一次方程的相关概念 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 【易错易混】 1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2）方程的解是通过解方程求得的. 3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 二、等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 1．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】把代入再进行求解即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤． 2．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的方程有根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，分类讨论思想是关键．由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令，即可求出m的取值范围，要注意，．再令方程为一元一次方程，进行解答． 【详解】解：当方程为一元二次方程时，方程有解， 则且， 解得：且， 当方程为一元一次方程时， 方程有解，则只需，即， 综上：当时，方程有实数根． 故答案为：． 3．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 【详解】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 4．（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案． 【详解】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误； B、若，则，故此选项错误； C、若，则，故此选项正确； D、若，则，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键． 5．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（    ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2 【答案】B 【分析】根据等式的性质2可得答案． 【详解】解：去分母得，其变形的依据是等式的性质2， 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立． 考点二 解一元一次方程 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 1．（2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式的值为5， ∴， 解得， 故选：A． 2．（2024·河北·模拟预测）下面是嘉淇同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 解得． 以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 ∴第二步开始出错， 故选：B． 3．（2024·贵州贵阳·二模）已知关于的方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【分析】把方程的解代入原方程，方程左右两边相等得到关于的方程，解方程即可．本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是知道使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 【详解】解：把代入方程中得： ， ， 故答案为：． 4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求代数式的值，由方程的解求出的值是解答本题的关键．把代入方程即可得到一个关于的方程，解方程求得的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：把代入方程中，得， 解得：， 把代入中， 则原式 ． 故答案为：． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 考点三 二元一次方程（组）基础 1.二元一次方程 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 2.二元一次方程组 二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 1．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入的值，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键． 2．（2020·湖南益阳·中考真题）同时满足二元一次方程和的，的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立和解二元一次方程组即可． 【详解】解：有题意得： 由①得x=9+y③ 将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5 则x=9+（-5）=4 所以x=4，y=-5． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及解法，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． 3．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解． 【详解】解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；     B、当时，，则是二元一次方程的解    ，不合题意； C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意； D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 4．（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是 （写出一个即可）． 【答案】x﹣y（答案不唯一） 【分析】根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可. 【详解】∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 而1﹣1＝0， ∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y． 故答案为：x﹣y（答案不唯一）. 【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键. 15．（2022·四川雅安·中考真题）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ． 【答案】1 【分析】把代入ax+by＝3可得，而2a+4b﹣5，再整体代入求值即可． 【详解】解：把代入ax+by＝3可得： ， 2a+4b﹣5 ． 故答案为：1 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键． 5．（2021·四川广安·中考真题）若、满足，则代数式的值为 ． 【答案】-6 【分析】根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3， ∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6， 故答案为：-6． 【点睛】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键． 考点四 解二元一次方程（组） 1.代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 2.加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 2．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 3．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】可设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）的等量关系可列出方程，用y分别表示出x和z即可得出结论． 【详解】解：设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）可知： ， 解得：， ∴， 即■的个数为5个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查方程组的应用，根据题意列出符合条件的方程组是解题的关键． 4．（2023·四川泸州·中考真题）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值 ． 【答案】7（答案不唯一） 【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案． 【详解】将两个方程相减得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的一个整数值可以是7． 故答案为：7（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的亮点． 5．（2024·浙江·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，，解得，再把代入①求出即可. 【详解】解： ①×3＋②得， 解得， 把代入①得， 解得 ∴ 考点五 一次方程（组）及其应用 用一元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 1．（2024·四川·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决问题的关键． 根据“每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元”，即可求解． 【详解】解：∵ 每人出8元，剩余3元， ∴， ∵每人出7元，还差4元， ∴， 故所列方程组为：． 故选：A． 2．（2024·广东深圳·中考真题）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 3．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元， 依题意得， 解得， ， 答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 4．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【答案】小峰打扫了． 【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为， 由题意，得：， 解得：， 答：小峰打扫了． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键． 设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元一次方程（组）的相关概念 ►题型01 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式. 即：如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等. 即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 解题方法：灵活运用等式的性质. 1．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据等式的性质逐个判断即可．本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数或式子，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立． 【详解】解：A．， 等式两边都乘，得，故本选项不符合题意； B．， 等式两边都减去5，得，故本选项符合题意； C．， 等式两边都除以3，得，故本选项不符合题意； D．， 等式两边都加1，得，故本选项符合题意 故选：BD． 2．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质解答即可． 【详解】解：、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式两边同时加上相等的数或式子,两边依然相等；等式两边同时乘（或除）相等的数或式子,两边依然相等；等式两边同时乘方（或开方）,两边依然相等． 3．（2023·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立． 根据等式的性质对各选项进行分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：解：A、由5，得，原变形正确，故此选项符合题意； B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意； C、由，得，原变形正确，故此选项符合题意； D、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：C 4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案． 【详解】解：由图形可得如果，那么， 故选：A． 5．（2023·河北保定·一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析左图可知，1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．两个物体等可能的向左或向右落时，共有4种情况，分别计算出左边托盘和右边托盘的质量，即可得出和的关系． 【详解】解：由左图可知2个“○”与1个“ ”的质量等于2个“ ”的质量， 1个“ ”的质量等于2个“○”的质量． 右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中， 共有4种情况： （1）“○”和“ ”都落到左边的托盘时： 左边有3个“○”2个“ ”，相当于7个“○”，右边有2个“ ”，相当于4个“○”，此时； （2）“○”和“ ”都落到右边的托盘时： 左边有2个“○”1个“ ”，相当于4个“○”，右边有3个“ ” 1个“○”，相当于7个“○”，此时； （3）“○”落到左边的托盘，“ ” 落到右边的托盘时： 左边有3个“○”1个“ ”，相当于5个“○”，右边有3个“ ”，相当于6个“○”，此时； （4）“○”落到右边的托盘，“ ” 落到左边的托盘时： 左边有2个“○”2个“ ”，相当于6个“○”，右边有2个“ ” 1个“○”，相当于5个“○”，此时； 观察四个选项可知，只有选项C符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查等可能事件、等式的性质，解题的关键是读懂题意，计算所有等可能情况下和的比值． ►题型02 一元一次方程的相关概念 1．（2024·四川攀枝花·模拟预测）下列各数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D．和 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键．依次移项、合并同类项、系数化1解方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1，得， 故选：B． 2．（2024·广西河池·三模）关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，根据题意将代入，即可求解． 【详解】解：依题意，解得：， 故选：C． 3．（2021·贵州·一模）已知关于的方程是一元一次方程，则方程的解为（    ） A．-2 B．2 C．-6 D．-1 【答案】D 【分析】利用一元一次方程的定义确定出k的值，进而求出k的值即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴ ， 解得：k=-2，方程为-4x=-2+6， 解得：x=-1， 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键． 4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）（1）当______时，关于的方程是一元一次方程； （2）解一元二次方程． 【答案】（1）1；（2）， 【分析】本题考查了一元一次方程的的定义，解一元二次方程，解题的关键是： （1）根据一元一次方程的定义得出，然后求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】解：（1）∵方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ►题型03 二元一次方程的相关概念 1．（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．由，列出方程组即可． 【详解】 解：根据题意得：． 故答案为：（答案不唯一） 2．（2024·河南·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程的一个解是，则a的值为 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的解的含义．将代入二元一次方程，即可得出答案． 【详解】解：由题意将代入二元一次方程得， ， ∴， 故答案为：3． 3．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意确定出方程的整数解即可． 【详解】解：方程的一组整数解为 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 4．（2021·四川凉山·中考真题）已知是方程的解，则a的值为 ． 【答案】-1 【分析】根据方程解的定义，将x=1，y=3代入方程，即可求得a的值． 【详解】解：根据题意，将x=1，y=3代入方程， 得：， 解得：a=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解． 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型01 一元一次方程的解法 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 不要弄错符号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 1）移项时不要丢项; 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 1．（2024·辽宁·模拟预测）在解方程时，经过移项后的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． 根据一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一的方法解答即可． 【详解】解：， 移项得， 化简得， 故选：A． 2．（2024·广西·模拟预测）点在函数的图象上，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是一次函数的性质，解一元一次方程，先根据点在函数的图象上，即可得出，然后解一元一次方程即可得出m的值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：0． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由结合题意得出，解方程即可得出答案，理解题意，正确得出方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求这两个方程的解． 【答案】方程的解为，方程的解为 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义． 首先由方程，用表示，然后由第二个方程，再用表示，此时两个的值相差5，可得方程求出的值，进而即可求得方程的解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 由， 解得：， 关于的方程的解比方程的解大5， ， 解得， ， ， 这两个方程的解为和． ►题型02 代入法解二元一次方程组 1．（2022·辽宁沈阳·中考真题）二元一次方程组的解是 ． 【答案】/ 【分析】利用代入消元法进行求解方程组的解即可． 【详解】解： 把②代入①得：，解得：， 把代入②得：； ∴原方程组的解为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 2．（2024·甘肃武威·二模）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，平方的非负性，二元一次方程组的应用，根据非负式子和为0可得，再进一步求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．（2024·四川绵阳·三模）如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程．先求出二次一次方程组的解，再代入，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解： 把②代入①得，， 解得，， 把代入②得，， ∴， 把代入得， ， 解得， 故答案为： ►题型03 加减法解二元一次方程组 1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解． 【详解】解：， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴点Q的横坐标为5， ∵， 由得，，解得：， 把代入①得，，解得：， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ∴点Q的坐标为， ∴点Q关于y轴对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键． 2．（2024·广西·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ∴方程组的解为：. 3．（2023·湖南常德·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解：将①得：③ 得： 将代入①得： 所以是原方程组的解． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． ►题型04 整体法解二元一次方程组 解题思路：当二元一次方程组的结构比较复杂，但又有一定的规律时，可以考虑利用整体消元法，从而使原方程组变成结构比较简单、求解方便的二元一次方程组.例如： 1．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，关于x，y的方程组的解为，进而求出的值即可得解． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于x，y的方程组的解为， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查解二元一次方程组．解题的关键是利用整体思想，得到． 2．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务． 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明． 例1：计算：． 解：设，则原式． 请你利用上述方法解答下列问题： (1)计算：； (2)已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法解复杂式子以及二元一次方程组，整式的乘法运算，解决本题（2）的关键是先求、的解，再求、的值． （1）仿照例题的思路，设，分别表示原式，然后进行整式乘法运算即可； （2）根据加减法，可得、的解，再根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：依题意， 设， （2）解：方程组的解是， 同理方程组中 ►题型05解二元一次方程组--同解方程组 解题方法：若方程组解相同，则联立两个不含参数的方程，解得x，y的值，再代入含参数的方程组，即可求出参数的取值. 1．（2020·广东·中考真题）已知关于，的方程组与的解相同． （1）求，的值； （2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组 的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值； （2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状． 【详解】解：由题意列方程组： 解得 将，分别代入和 解得， ∴， （2） 解得 这个三角形是等腰直角三角形 理由如下：∵ ∴该三角形是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键． 2．（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组，解一元二次方程，解二元一次方程组，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值． （1）解方程组得，根据同解方程组，得出方程组的解为，代入求出m、n的值即可； （2）把代入得出，解一元二次方程得出的两边长分别为3，4，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，求出结果即可． 【详解】（1）解：由方程组得：， ∵方程组与有相同的解， ∴方程组的解为， ∴， 解得：； （2）解：把代入关于x的一元二次方程得：， 解得：，， ∴的两边长分别为3，4， ∵第三边的长为5， 又∵， ∴为直角三角形， ∴． ►题型06解二元一次方程组—已知二元一次方程组的解的情况求参数 解题方法：正常解方程组，用参数表示解，再将解代入到满足的条件中，从而求出参数值. 1．（2023·四川南充·中考真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答． 法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可. 【详解】解：法一：， 得， 解得， 将代入，解得， ， ， 得到， ， 法二： 得：，即：， ∵， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出的关系是解题的关键． 2．（2022·山东聊城·中考真题）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两式相减，得到，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解． 【详解】解：把两个方程相减，可得， 根据题意得：， 解得：． 所以的取值范围是． 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键． 3．（2024·山东济宁·一模）已知为整数，关于，的二元一次方程组的解满足，则整数值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集．先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案． 【详解】解：， ①②得：， ， ， ， ， 整数值为2025， 故选：D． 4．（2021·江苏扬州·中考真题）已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解，求a的值． 【答案】 【分析】求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：方程组， 把②代入①得：， 解得：，代入①中， 解得：， 把，代入方程得，， 解得：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． ►题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组) 1．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解 （1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断； （2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解． 【详解】（1） （2）解：， 去分母，得，， 移项，得：， 合并同类页，得：， 解得：． 2．（2023·山西大同·模拟预测）（1）计算：； （2）下面是小辉和小莹两位同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 小辉：由②得，．③…………第一步 将③代入①得，．……第二步 整理得，．………………第三步 解得．…………………………第四步 将代入③，解得．………第五步 ∴原方程组的解为……………第六步 小莹：得，．………………第一步 解得，…………………………第二步 将代入①得，．…………第三步 整理得，．………………第四步 解得…………………………第五步 ∴原方程组的解为…………第六步 任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题． ①我选择___________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是___________； ②该同学从第___________开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务二：直接写出该方程组的正确解； 任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）． 【答案】（1）；（2）①小辉；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）；②三；去括号时，括号外是“”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号；任务二：；任务三： 【分析】（1）根据负整数指数幂，有理数的乘方以及特殊角的三角函数值进行计算即可求解； （2）任务一：①根据小辉或小莹的解法分析，根据等式的基本性质1即可求解；②根据去括号时，括号外是“”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号； 任务二：根据加减消元法解二元一次方程组； 任务三：，加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解：原式 ； （2）任务一：①小辉； 等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）； ②三； 去括号时，括号外是“”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号； 或①小莹； 等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式）； ②四； 移项未变号； 任务二：令 得， 解得： 将代入①得， 解得： 正确的解为 任务三：． 得 解得：，代入①得， 解得： 【点睛】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方以及特殊角的三角函数值，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框： 解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 【答案】最早出现错误的步骤是，正确的解法见解析． 【分析】此题主要考查了解一元一次方程，第1步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得，再合并同类项，最后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解决问题的关键． 【详解】解：最早出现错误的步骤是，正确的解法如下： 对于方程， 将系数化为整数，得， 合并同类项，得， 系数化，得． 4．（2024·江西吉安·二模）解方程组，下面是两同学的解答过程： 小春： 解：将方程变形为． 小冬： 解：将方程两边同乘2，得到，再与另一个方程相加，得到． (1)小春解法的依据是______，运用的方法是______；小冬解法的依据是______，运用的方法是______．（填序号） ①等式的性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法． (2)请选择你认为更简捷的解法，完成解答过程． 【答案】(1)①，④；②，⑤ (2)解答过程见详解 【分析】本题考查了等式性质、代入法和加减法消元解二元一次方程组． （1）利用等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程； （2）用代入法消元解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：小春的解法依据是等式的性质，运用的方法是代入消元法；小东的解法依据是等式的性质，运用的方法是加减消元法； 故答案为：① ④；② ⑤ （2）将方程两边同乘2， 得到， 再与另一个方程相加， 得， 解得． 将代入方程， 得， 原方程组的解为． 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型01 列一元一次方程组 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 2．（2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，列出方程即可． 【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，根据题意得： ， 故选：A． 3．（2024·湖北·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 4．（2024·山东威海·中考真题）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：设绳长x尺，井深y尺， 依题意，得：． 故选：C． 5．（2023·吉林·中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可． 【详解】解：设合伙人数为x人， 根据题意列方程； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 6．（2022·贵州贵阳·中考真题）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则 表示的方程是 ． 【答案】 【分析】根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示的系数与等式后面的数字，即可求解． 【详解】解： 表示的方程是 故答案为： 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键． ►题型02 一元一次方程的应用 1．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元， 依题意得， 解得， ， 答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 2．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 【答案】(1) (2)4小时 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲池的排水速度为，由题意得，，解方程即可； （2）设排水a小时，则，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲池的排水速度为， 由题意得，， 解得：， 答：甲池的排水速度为； （2）解：设排水a小时， 则， 解得：， 答：最多可以排4小时． 3．（2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 【答案】符合，理由见详解 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，根据汽车的，两类物质排放量之和原为建立方程求解即可． 【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为， 由题意得：， 解得：， ∵， ∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”． 4．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案； （2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； （2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得：； ►题型03 二元一次方程组的应用 1．（2023·安徽·中考真题）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元，已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价． 【答案】调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元 【分析】设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2023·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由块形状大小相同的长方形墙砖砌成．    (1)求一块长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）首先设一块长方形墙砖的长为，宽为，然后用的代数式分别表示出长方形的两条长边分别为，，宽为,进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案； （2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案． 【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为． 依题意得： ， 解得： ， 答：一块长方形墙砖的长为，宽为． （2）求电视背景墙的面积为：． 答：电视背景墙的面积为． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解答此题的关键． 3.（2021·湖南邵阳·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图． 请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】购置钢笔15支，金额为225元，购置笔记本34本，金额为175元 【分析】根据题意可知钢笔和笔记本一共50个，两种物品的金额1000-600=400元，再根据题意列二元一次方程组即可 【详解】解：设钢笔买了x支，笔记本买了y本 根据题意可得：钢笔和笔记本一共56-6=50个 钢笔和笔记本两种物品的金额一共1000-600=400元 则有 解得： 则购置笔记本金额为：35×5=175元 购置钢笔金额为：15×15=225元 答：购置钢笔15支，金额为225元，购置笔记本34本，金额为175元 【点睛】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，根据已知条件正确的找出等量关系是关键 4．（2021·湖北黄石·中考真题）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题： （1）笼中鸡、兔各有多少只？ （2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？ 【答案】（1）鸡有23只，兔有12只；（2）这笼鸡兔最多值3060元，最少值2060元． 【分析】（1）设笼中有x只鸡，y只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设笼中有m只鸡，n只兔，总价值为w，根据“笼中鸡兔至少30只且不超过40只”列出不等式，再根据“鸡每只值80元，兔每只值60元”得到一元一次函数，利用函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设笼中有x只鸡，y只兔， 根据题意得：， 解得：． 答：鸡有23只，兔有12只； （2）设笼中有m只鸡，n只兔，总价值为w元， 根据题意得：，即， ∵，即， 解得：， ∴， 整理得：， ∵， ∴随的增大而减少， ∴当时，有最大值，最大值为3060， 当时，有最小值，最小值为2060， 答：这笼鸡兔最多值3060元，最少值2060元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，理清题中的数量关系并掌握一次函数的性质是解题的关键． ►题型04 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用 1．（2024·辽宁·模拟预测）数学课外活动小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是．若，，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．若轻质木杆的质量忽略不计，设这个重物的质量为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 利用重物的质量的长度个钩码的质量的长度，即可得出关于的一元一次方程，此题得解 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 2．（2024·山西晋中·三模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．某野外作业人员，因工作需要，用橇棍撬动一块2000N的大石头，经过分析后，撬棍的阻力臂是动力臂的则所需要的动力至少为 N． 【答案】500 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键． 设所需要的动力至少为，根据杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，列出方程求解即可． 【详解】解：设所需要的动力至少为， 由题意得：， 解得：，即搅动这块大石头至少需要的动力是； 故答案为：500． 3．（2024·江苏泰州·二模）【背景知识】杠杆原理：杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂． 【知识应用】杆秤是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，传说木杆秤是鲁班发明的．由秤杆、秤锤、提纽、秤盘等组成． 如图1．已知秤锤质量为，秤盘与拎着的提纽间力臂长，当秤杆平衡时，秤锤与提纽间力臂长，求秤盘中物体的质量． 【拓展应用】天平也是利用杠杆原理来称物体质量的衡器，天平是一种等臂杠杆，当天平平衡时，物体质量砝码质量． 如图2所示的天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同．把一个物体放在该天平的一个托盘里，在另一个托盘里放砝码使天平平衡，称得物体质量为a；再作第二次测量，把物体换到天平的另一个托盘里，此时称得物体的质量为b．试用含a、b的代数式表示该物体的真实质量，并说明理由． 【答案】（1）（2），理由见解析； 【分析】本题考查了一元一次方程，算术平方根的实际应用，找到题中等量关系，列出方程是解题的关键． （1）秤盘中物体的质量为，则根据杠杆原理可得，即可求解； （2）设物体的真实质量为，天平的两臂长分别为，，则根据杠杆原理可得，消去，即可求解； 【详解】（1）设秤盘中物体的质量为，则根据杠杆原理可得， ， 解得． 答：秤盘中物体的质量为． （2）设物体的真实质量为，天平的两臂长分别为，，则根据杠杆原理可得， ， 两式相乘得， ， ． 答：物体的真实质量为． 4．（2024·河北唐山·二模）某科学研究实验基地内装有一段长的笔直轨道，现将长度为的金属滑块在上面往返滑动一次．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设滑动时间为时，滑块左端离点A的距离为，右端离点B的距离为． (1)当时，的值为 ； (2)记，d与t具有函数关系．已知整个滑动过程总用时（含停顿时间）． ①滑块返回的速度为 ； ②滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数解析式（不写t的取值范围）； ③若，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①6；②；③的值为6或18 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答中用的线段的和差关系，列代数式，理解题意，弄清数量关系是解题的关键； （1）先求出从点到点的速度所用的时间，再根据速度，路程，时间的关系即可求出答案； （2）①先求出从点B到点A所用的时间，再根据速度，路程，时间的关系即可求出答案； ②根据再根据速度，路程，时间的关系即可求出答案； ③分两种情况，即时，时，分别表示出，再利用列方程求出的值即可． 【详解】（1）解： ∵轨道长为，长度为的滑块从点到点的速度为， ∴从点到点的速度所用的时间为， ∴当时，滑块右端刚好与点重合，， 答：当时，的值为； （2）①∵整个过程用时，当滑块右端与点重合时，滑块停顿， ∴从点B到点A所用的时间为， ∴滑块返回的速度为， ②分析可得：， 故当滑块从右向左滑动，即时， ， ； ③当时，显然停顿时不满足，所以分两种情况： 当滑块从左向右滑动，即时，． 即，解得； 当滑块从右向左滑动，即时， 即， 解得：． 综上所述，的值为6或18． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）在进行氯化钠溶液配置实验中，小明配置了一瓶质量分数为20%的氯化钠溶液，小兰配置了一瓶质 量分数为25%的氯化钠溶液，两人用已配制好的溶液混合恰好得到质量分数为22%的氯化钠溶液，已知小明配置的溶液质量比小兰配置的溶液质量多7克，求两人配置的氯化钠溶液质量各有多少克？（提示：氯化钠质量=氯化钠溶液质量×质量分数） 【答案】小兰配置的氯化钠溶液质量为克，小明配置的溶液质量为克 【分析】设小兰配置的氯化钠溶液质量为克，则小明配置的溶液质量为克，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小兰配置的氯化钠溶液质量为克，则小明配置的溶液质量为克，依题意， 解得：， ∴克． 答：小兰配置的氯化钠溶液质量为克，小明配置的溶液质量为克． ►题型05中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用 1．（2024·四川资阳·中考真题）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元． (1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价； (2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 【答案】(1)A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元 (2)至少应购买B款纪念品30个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元． （2）解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个， 由题意得，， 解得，， 答：至少应购买B款纪念品30个． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等． (1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？ (2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？ 【答案】(1)A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元 (2)W的最大值为10562.5元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组与二次函数关系式是解题的关键． （1）设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，根据每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等，列出方程组，求解即可； （2）根据利润=每份利润×销售量，列出w关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，                         依题意得： ， 解得， 答：A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元． （2）解：依题意：获得的利润 ， 由于A类速食餐每份的利用率不低于，那么 ， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为10562.5， 答：W的最大值为10562.5元． 3．（2024·安徽合肥·二模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．求成人票和儿童票每张原价多少元？ 【答案】成人票每张原价40元，儿童票每张原价25元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，根据第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元：第二个旅游团有40名成人和50名儿童，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，由题意得： ， 解得：， 答：成人票每张原价40元，儿童票每张原价25元． 4．（2024·云南昆明·三模）今年的澜沧江一湄公河合作大理马拉松（简称“2024澜湄大理马拉松”），将于5月19日在美丽的云南大理开跑，这是一场结合了自然风光、历史文化和民族风情的国际性马拉松赛事，旨在促进澜湄流域国家的合作与交流．以下是本次马拉松赛事的一些信息： 项目 距离 报名费 马拉松 42.159千米 200元/人 半程马拉松 21.0975千米 150元/人 欢乐跑 5.2千米 80元/人 亲子跑 2千米 60元/人 (1)据了解，某中学有若干名同学报名参加了本次活动欢乐跑和亲子跑中的一个项目，他们共花费了报名费640元，完成挑战后他们跑过的距离总和为34千米．请求出该中学报了欢乐跑和亲子跑的同学各有几人？ (2)已知在跑马拉松过程中，人体内消耗的水分y（单位：）与运动距离x（单位：）之间的函数关系如图所示，其中． ①请求出y与x之间的函数关系式； ②为了避免身体出现脱水现象，一般情况下体内消耗水分达时就要适当补水分，求起跑后距离起点多少千米时需要第一次补水？ 【答案】(1)该中学有5名同学报了欢乐跑，有4名同学报了亲子跑 (2)①；②起跑后距离起点9.5千米时需要第一次补水 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的实际应用： （1）设该中学有x名同学报了欢乐跑，有y名同学报了亲子跑，根据他们共花费了报名费640元，完成挑战后他们跑过的距离总和为34千米，列出方程组进行求解即可； （2）①分和两段，分别求出函数解析式即可；②求出时的的值即可． 【详解】（1）解：设该中学有x名同学报了欢乐跑，有y名同学报了亲子跑，由题意可列方程组为 ， 解得． 答：该中学有5名同学报了欢乐跑，有4名同学报了亲子跑． （2）①由题图知，当时，设函数关系式为， 则，，即； 当时，设函数关系式为， 由得， 即． 与x之间的函数关系式为． ②令，则，解得． 答：起跑后距离起点9.5千米时需要第一次补水． $$