第三章：圆锥曲线与方程知识归纳与题型突破（18类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第一册）

第三章：圆锥曲线与方程 知识点1 椭圆 1、椭圆的标准方程 （1）椭圆的定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）椭圆的标准方程 （3）点与椭圆的位置关系：对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 2、椭圆的简单几何性质 （1）椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： （2）直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 知识点2 双曲线 1、双曲线的标准方程 （1）双曲线的定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． （2）双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 2、双曲线的简单几何性质 （1）双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x （2）直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， ①当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； ②当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 知识点3 抛物线 1、抛物线的标准方程 （1）抛物线的定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． （2）抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 2、抛物线的简单几何性质 （1）抛物线的简单几何性质 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 （2）直线与抛物线的位置关系 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 知识点4 曲线与方程 1、曲线与方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系： （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线． 2、坐标法：确定曲线的方程后，通过研究方程的性质而得到曲线的几何性质，我们称这种研究几何的方法为坐标法．基于坐标法，我们将几何问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何的核心思想． 知识点5 圆锥曲线的应用 1、解决圆锥曲线应用题的一般步骤 （1）提取有效信息；（2）抽象出圆锥曲线；（3）建立适当的坐标系；（4）求出圆锥曲线的方程；（5）求解实际问题． 题型一 椭圆的定义及应用 【例1】（24-25高二上·广西·期中）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（    ） A．1 B．6 C．7 D．4 【变式1-1】（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点在上，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【变式1-2】（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·湖南永州·期中）（多选）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 题型二 椭圆标准方程的求解 【例2】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）椭圆的长轴长为12，且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的标准方程为 . 【变式2-1】（24-25高二上·湖南岳阳·期中）（多选）若为椭圆的方程，则的值可以为（    ） A．3 B．6 C．8 D．11 【变式2-2】（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点P满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 题型三 椭圆的几何性质 【例3】（24-25高二上·重庆·月考）（多选）已知椭圆，则椭圆的（    ） A．焦点在轴上 B．长轴长为 C．短轴长为 D．离心率为 【变式3-1】（24-25高二上·河南·期中）椭圆与，且的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【变式3-2】（23-24高二上·江苏南京·月考）已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·吉林延边·月考）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 题型四 椭圆的离心率求解 【例4】（24-25高二上·浙江台州·期中）椭圆的右焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·四川攀枝花·月考）已知椭圆E： 的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·河北石家庄·期中）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·河北石家庄·月考））设分别是椭圆的左、右焦点，且，若在直线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五 直线与椭圆位置关系综合 【例5】（24-25高二上·江西·月考）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·浙江·期中）直线被椭圆截得的弦长为 . 【变式5-2】（24-25高二上·重庆江北·期中）已知椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若为锐角，求的取值范围． 【变式5-3】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； (3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 【变式5-4】（24-25高二上·四川攀枝花·月考））已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 题型六 双曲线的定义及应用 【例6】（23-24高二上·陕西咸阳·月考）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 【变式6-1】（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知分别为双曲线的左､右焦点，为的右支上一点，且，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（22-23高二下·四川内江·月考））设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 . 题型七 双曲线的标准方程求解 【例7】（24-25高二上·天津红桥·月考）已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为（    ） A． B．或 C． D． 【变式7-1】（23-24高二下·湖南邵阳·期中）（多选）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 【变式7-2】（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知双曲线的上、下焦点分别为，，动点与点在曲线上，且满足，则该双曲线的标准方程为 . 【变式7-3】（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 题型八 双曲线的几何性质 【例8】（23-24高二上·河南洛阳·期末）（多选）已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的实半轴长为 D．双曲线的渐近线方程为 【变式8-1】（23-24高二上·江苏连云港·月考）（多选）已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率 【变式8-2】（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·河南开封·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（    ） A． B． C． D． 题型九 双曲线的离心率求解 【例9】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·湖南·期中）已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 【变式9-2】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高二上·江西抚州·期中）在平面直角坐标系中，，为双曲线的左、右焦点，，P为E左支上异于顶点的一点，直线PM平分，，，则E的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 题型十 直线与双曲线位置关系综合 【例10】（24-25高二上·云南玉溪·月考）若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 . 【变式10-1】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线，过左焦点的直线与双曲线交于两点.若存在4条直线满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高二上·湖南衡阳·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程. 【变式10-3】（23-24高二下·江西·月考））已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上. (1)求的方程； (2)过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【变式10-4】（24-25高二上·湖南·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为2. (1)求E的方程. (2)若为上一点，求的取值范围. (3)判断上是否存在不同的三点，使得线段（为坐标原点）的中点与的中点重合于直线上一点.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 题型十一 抛物线的定义及应用 【例11】（24-25高二上·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-1】（24-25高二上·重庆江北·期中）抛物线上一点到的距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式11-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式11-3】（24-25高二上·河北邯郸·月考）抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点，为上一动点，则周长的最小值为 ． 题型十二 抛物线的标准方程求解 【例12】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式12-2】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25高二上·湖南·期中）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 题型十三 抛物线的几何性质 【例13】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·月考）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高二上·湖北随州·月考）设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D． 【变式13-2】（23-24高二下·陕西榆林·期末）（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【变式13-3】（2024·湖南长沙·二模）（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 题型十四 直线与抛物线位置关系综合 【例14】（24-25高二上·天津·月考）如图，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点．若，且，则此抛物线的方程为 . 【变式14-1】（24-25高二上·重庆江北·期中）已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则 ． 【变式14-2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (3)求证：直线经过原点. 【变式14-4】（24-25高二上·河北沧州·月考）已知抛物线的焦点为F，点在C上． (1)判断直线与C的公共点个数； (2)若直线与C交于另外一点Q，直线与C的准线垂直，垂足为R，O为坐标原点，求证：点P，O，R共线． 题型十五 求动点的运动轨迹 【例15】（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（24-25高二上·江西·月考）若动圆过定点，且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式15-2】（24-25高二上·上海·月考）已知双曲线的左、右焦点为、，为双曲线上的点，则中点的轨迹方程为 . 【变式15-3】（24-25高二上·江西德兴·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 题型十六 椭圆的实际应用 【例16】（24-25高二上·广西·期中）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 【变式16-1】（23-24高二上·山东潍坊·月考）开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．4 D．8 【变式16-3】（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为（    ） A． B． C． D． 题型十七 双曲线的实际应用 【例17】（24-25高二上·广西梧州·月考）如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（    ） A． B．18cm C． D． 【变式17-2】（23-24高二上·山西长治·期末）在双曲线型冷却塔（如图）的建设过程中,人员、物料的运输一直是困扰施工的难题,经实践探索设计出“附墙升降机”,其结构如图所示,安装之后附着在冷却塔的外侧,通过升降吊笼完成输送任务.假设该冷却塔的最小半径为,上口半径为,下口半径为，高为.附墙升降机轨道在点以下与冷却塔贴合,从点到顶端点是竖直的,则长约为 （保留整数）.    【变式17-3】（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 题型十八 抛物线的实际应用 【例18】（24-25高二上·江西·月考）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】（24-25高二上·山东·期中）如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了 ． 【变式18-2】（24-25高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式18-3】（23-24高二上·福建三明·期末）抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．从抛物线的焦点F发出的两条光线分别经抛物线反射，若这两条光线均在抛物线对称轴同侧且与x轴的夹角均为60°，两条反射光线之间的距离为，则p＝（    ） A．1 B． C．2 D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章：圆锥曲线与方程 知识点1 椭圆 1、椭圆的标准方程 （1）椭圆的定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）椭圆的标准方程 （3）点与椭圆的位置关系：对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 2、椭圆的简单几何性质 （1）椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： （2）直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 知识点2 双曲线 1、双曲线的标准方程 （1）双曲线的定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． （2）双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 2、双曲线的简单几何性质 （1）双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x （2）直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， ①当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； ②当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 知识点3 抛物线 1、抛物线的标准方程 （1）抛物线的定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． （2）抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 2、抛物线的简单几何性质 （1）抛物线的简单几何性质 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 （2）直线与抛物线的位置关系 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 知识点4 曲线与方程 1、曲线与方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系： （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线． 2、坐标法：确定曲线的方程后，通过研究方程的性质而得到曲线的几何性质，我们称这种研究几何的方法为坐标法．基于坐标法，我们将几何问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何的核心思想． 知识点5 圆锥曲线的应用 1、解决圆锥曲线应用题的一般步骤 （1）提取有效信息；（2）抽象出圆锥曲线；（3）建立适当的坐标系；（4）求出圆锥曲线的方程；（5）求解实际问题． 题型一 椭圆的定义及应用 【例1】（24-25高二上·广西·期中）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（    ） A．1 B．6 C．7 D．4 【答案】D 【解析】因为椭圆，所以椭圆长轴长为， 由椭圆定义知，所以.故选：D 【变式1-1】（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点在上，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【解析】根据椭圆的定义，有， 又， 当且仅当时取等号，所以的最大值为4.故选：C. 【变式1-2】（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知， 所以. 当三点共线时，， 所以的最小值为.故选：C. 【变式1-3】（24-25高二上·湖南永州·期中）（多选）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】BC 【解析】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得：故D项错误. 故选：BC. 题型二 椭圆标准方程的求解 【例2】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）椭圆的长轴长为12，且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】根据已知椭圆方程，易知焦点坐标为，得：焦点位置在轴且； 由于椭圆的长轴长为，因此得：，即， 由于，因此得：椭圆的标准方程为：. 故答案为： 【变式2-1】（24-25高二上·湖南岳阳·期中）（多选）若为椭圆的方程，则的值可以为（    ） A．3 B．6 C．8 D．11 【答案】AC 【解析】因为为椭圆的方程， 所以解得或，故选：AC 【变式2-2】（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点P满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取弦的中点D，连接，则，即， 因为，所以， 因为O为的中点，所以D是的中点，所以， 因为，所以OD垂直平分弦， 因为，，所以，所以， 由椭圆定义可得，， 所以，解得，， 又，，所以，故， 所以椭圆的方程为. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 由已知得，又因为， 因为在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或， 因此，从而所求椭圆的标准方程为， （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点和， 所以，即椭圆方程为. 题型三 椭圆的几何性质 【例3】（24-25高二上·重庆·月考）（多选）已知椭圆，则椭圆的（    ） A．焦点在轴上 B．长轴长为 C．短轴长为 D．离心率为 【答案】BD 【解析】在椭圆中，，，， 对于A选项，椭圆的焦点在轴上，A错； 对于B选项，椭圆的长轴长为，B对； 对于C选项，椭圆的短轴长为，C错； 对于D选项，椭圆的离心率为，D对.故选：BD. 【变式3-1】（24-25高二上·河南·期中）椭圆与，且的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【解析】对应椭圆，，所以， 所以该椭圆的长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为； 对于且），则， 该方程表示的是焦点在轴上的椭圆， ，所以， 长轴为，短轴为， 所以该椭圆的焦距为，离心率为， 所以两个圆锥曲线的的焦距为，故C正确.故选：C 【变式3-2】（23-24高二上·江苏南京·月考）已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记， ， ， 对称轴为，由于时取到最小值，则.故选：B 【变式3-3】（24-25高二上·吉林延边·月考）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 【答案】 【解析】的离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 题型四 椭圆的离心率求解 【例4】（24-25高二上·浙江台州·期中）椭圆的右焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点Q的坐标为，因为F关于直线的对称点Q， 所以，即，解得， 所以点Q的坐标是， 因为点Q在椭圆上，所以，得， 又，即，所以 所以该椭圆的离心率是.故选：C 【变式4-1】（24-25高二上·四川攀枝花·月考）已知椭圆E： 的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设代入椭圆方程得  , 两式相减并化简得，即，解得;， 故离心率为.故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·河北石家庄·期中）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由已知可得，，， 由椭圆定义，得， 在中，由余弦定理得 ， 所以， 又，整理得，又椭圆的离心率， 所以，解得或（舍去），所以的离心率.故选：C. 【变式4-3】（24-25高二上·河北石家庄·月考））设分别是椭圆的左、右焦点，且，若在直线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得， 设直线与x轴交于点D，则， 所以即，即，故， 又，所以.， 所以椭圆离心率的取值范围是.故选：D. 题型五 直线与椭圆位置关系综合 【例5】（24-25高二上·江西·月考）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 故，故或，故选：D. 【变式5-1】（24-25高二上·浙江·期中）直线被椭圆截得的弦长为 . 【答案】 【解析】由，得， 解得或，则或， 所以直线被椭圆截得的弦长为. 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高二上·重庆江北·期中）已知椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若为锐角，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设椭圆， 则， 所以； （2）由（1）知，设， 设， 联立椭圆方程，， ， 则，易知， 因为为锐角， 所以， 故的取值范围为． 【变式5-3】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； (3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题意设椭圆C的方程为， 因为椭圆经过点且长轴长为，所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知设直线l的方程为，设，. 将直线代入，得， 所以，， . （3）设，则中点是， 于是，即， 由于在椭圆上，故， 两式相减得到，即， 故，于是， 故直线的方程是， 整理得 【变式5-4】（24-25高二上·四川攀枝花·月考））已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)①；②存在， 【解析】（1）椭圆C 的右焦点到直线的距离为， 可得： 因为， 所以解得， 由椭圆的一个顶点为，可得， 所以由 即椭圆C的标准方程为 （2）①直线过椭圆右焦点 可得：， 即， 所以由直线与椭圆C的标准方程 联立方程组，消去y得： 设两交点，则有 又椭圆左焦点到直线的距离为 所以 解得： 或 (舍去)，即 ; ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，由于直线过定点， 且， 可知直线方程为，与椭圆 联立方程组， 消去y得：由 且， 解得 设两交点， AB中点，则有 所以 即  整理得 又因为 所以 当且仅当时， 所以，则 . 题型六 双曲线的定义及应用 【例6】（23-24高二上·陕西咸阳·月考）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，.故选：A 【变式6-1】（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为等轴双曲线的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点， 所以可设双曲线的方程为， 又因为双曲线的焦距为8，所以， 而，所以，故双曲线的标准方程为. 由双曲线的定义可知，， 由题意可知，，，， 所以,故的最大值为， 当且仅当三点共线且点位于第一象限时取得最大值.故选：B    【变式6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知分别为双曲线的左､右焦点，为的右支上一点，且，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线的半焦距，故的实半轴， 故由双曲线的定义可知， 过作的垂线，垂足为，,则为线段的中点，故， 所以.故选：A. 【变式6-3】（22-23高二下·四川内江·月考））设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 . 【答案】3 【解析】由题意得双曲线中，，则其焦点坐标， 根据双曲线对称性，不妨假设点在第一象限， 设，其中， 因为，则， 根据勾股定理知， 即，解得（负舍）， 则，则面积为. 故答案为：3. 题型七 双曲线的标准方程求解 【例7】（24-25高二上·天津红桥·月考）已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】因为方程 表示双曲线， 所以，解得或.故选：B 【变式7-1】（23-24高二下·湖南邵阳·期中）（多选）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 【答案】CD 【解析】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误； B选项，，解得或，B错误； C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为， 故，解得， 又，解得，D正确.故选：CD 【变式7-2】（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知双曲线的上、下焦点分别为，，动点与点在曲线上，且满足，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【解析】依题意， 即，故， 又点在曲线上，所以，即， 故双曲线的标准方程为. 【变式7-3】（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）依题意设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线方程为； 题型八 双曲线的几何性质 【例8】（23-24高二上·河南洛阳·期末）（多选）已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的实半轴长为 D．双曲线的渐近线方程为 【答案】AB 【解析】双曲线：的标准方程为， 则双曲线的实半轴长、虚半轴长， 半焦距， 所以双曲线的离心率，故A正确； 双曲线的虚轴长为，B正确； 双曲线的实半轴长为，故C错误； 双曲线的渐近线方程为，故D错误．故选：． 【变式8-1】（23-24高二上·江苏连云港·月考）（多选）已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率 【答案】BD 【解析】双曲线化为：，实半轴长，虚半轴长， 双曲线的顶点随k的变化而变化，焦距随k的变化而变化，AC不是； 而，渐近线方程不因k的变化而变化，离心率为常数，BD是. 故选：BD 【变式8-2】（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，所以， 所以双曲线的渐近线方程为.故选：D. 【变式8-3】（23-24高二上·河南开封·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为， 可设双曲线， 代入可得：， 则双曲线，即， 可知，所以C的实轴长为.故选：B. 题型九 双曲线的离心率求解 【例9】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由知；两条渐近线之间的夹角小于， 故；故离心率.故选：B 【变式9-1】（24-25高二上·湖南·期中）已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【解析】设的半焦距为，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为， 连接，. 因为，所以也是的中点.设， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由，得，所以， 在中，由，得. 故答案为：. 【变式9-2】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 则点到直线的距离， 可得， 又因为分别为的中点，则， 即，所以双曲线的离心率为.故选：B. 【变式9-3】（24-25高二上·江西抚州·期中）在平面直角坐标系中，，为双曲线的左、右焦点，，P为E左支上异于顶点的一点，直线PM平分，，，则E的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】由，得， 设与交于点，如图， 由直线PM平分，且， 可得为等腰三角形，则为的中点， 可得， 又因为， 可得，即， 所以双曲线E的离心率为.故选：A. 题型十 直线与双曲线位置关系综合 【例10】（24-25高二上·云南玉溪·月考）若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【解析】当直线与双曲线的渐近线平行时，， 此时直线与双曲线的其中一支有一个交点， 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 可得直线一定在两渐近线之间， 则k的取值范围为. 故答案为：. 【变式10-1】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线，过左焦点的直线与双曲线交于两点.若存在4条直线满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意：若在同一支上，则；如果在两支上，则有； 因为存在4条直线满足，所以且，解得，故选：C. 【变式10-2】（23-24高二上·湖南衡阳·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）双曲线的渐近线为，即，所以， 又焦点到直线的距离，所以， 又，所以，，所以双曲线方程为 （2）设，，直线的斜率为，则，， 所以，， 两式相减得，即 即，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以直线的方程为. 【变式10-3】（23-24高二下·江西·月考））已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上. (1)求的方程； (2)过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1)；(2)是， 【解析】（1）因为的一条渐近线的倾斜角为，所以其斜率为， 所以，所以， 又，即在上，所以， 所以，故的方程为. （2）由（1）得，设， 由题意知的斜率不为0，设的方程为， 代入的方程并整理，得， 则， 所以，且. 直线的方程为，令，得，故， 直线的方程为，令，得，故， 所以 所以为定值，且定值为. 【变式10-4】（24-25高二上·湖南·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为2. (1)求E的方程. (2)若为上一点，求的取值范围. (3)判断上是否存在不同的三点，使得线段（为坐标原点）的中点与的中点重合于直线上一点.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)或. 【解析】（1）因为，所以， 因为的短轴长为2，所以，所以的方程为. （2）设，则， 易知， 所以. 因为，所以， 所以的取值范围是. （3）方法一：由题意得直线的斜率存在，设直线的方程为， 由得， 所以，即， . 因为的中点为，所以，① . 因为点为线段的中点，所以， 将点的坐标代入，得，与①式联立， 解得或均满足， 所以直线的方程为或， 即，或. 方法二：设点，则，由题意知直线的斜率存在，所以. 将点坐标代入的方程，得，解得，所以. 若与的中点重合，则. 由点在上，得两式相减，得， 整理可得. 当点坐标为时，， 当点坐标为时，， 所以直线的方程为或， 即或. 题型十一 抛物线的定义及应用 【例11】（24-25高二上·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有.故选：C 【变式11-1】（24-25高二上·重庆江北·期中）抛物线上一点到的距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】，当时取得.故选：C. 【变式11-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解析】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8．故选：A． 【变式11-3】（24-25高二上·河北邯郸·月考）抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点，为上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【解析】设准线交轴于点，过作直线的垂线，垂足为A，连接， 由题知焦点，，. 因为，直线的斜率为，所以为正三角形， 所以，， 记关于直线的对称点为，则， 则当，，三点共线时，周长， 即周长的最小值为. 故答案为：. 题型十二 抛物线的标准方程求解 【例12】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为抛物线上一点，所以，解得， 所抛物线的方程为，所以准线方程为.故选：C. 【变式12-1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【解析】由题意，可设抛物线为，又点在抛物线上， 所以，故所求抛物线为.故选：D 【变式12-2】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由抛物线的定义，可知，又，， 则，即， 由点在C上，得，结合，解得. 所以C的方程为.故选：B. 【变式12-3】（24-25高二上·湖南·期中）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：， 设，则， 因为，即，解得，则，即， 又因为的面积为，且，解得， 所以抛物线方程为.故选：A. 题型十三 抛物线的几何性质 【例13】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·月考）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，所以抛物线图像开口向上且，所以， 所以焦点坐标为.故选：C. 【变式13-1】（24-25高二上·湖北随州·月考）设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D． 【答案】C 【解析】由题意得焦点，设点，，， 则， 所以，所以. 故选：C. 【变式13-2】（23-24高二下·陕西榆林·期末）（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【答案】AC 【解析】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误.故选：AC 【变式13-3】（2024·湖南长沙·二模）（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【解析】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误.故选：AC 题型十四 直线与抛物线位置关系综合 【例14】（24-25高二上·天津·月考）如图，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点．若，且，则此抛物线的方程为 . 【答案】 【解析】过点，分别作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点， 设，则， 由抛物线的定义得，， 所以在中，， 在中，，所以， 又， 则，解得，所以，，， 由，得，即，解得， 所以抛物线方程为. 【变式14-1】（24-25高二上·重庆江北·期中）已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则 ． 【答案】 【解析】设，，因为为的中点， 所以，， ，两式作差得：， 所以 所以，则， 因为直线过，代入得：. 故答案为： 【变式14-2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知抛物线焦点到准线的距离为，即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得，则，， 又由抛物线可知，， 所以，故选：A. 【变式14-3】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (3)求证：直线经过原点. 【答案】(1)；(2)(3)证明见解析 【解析】（1）由抛物线的定义知：， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由（1）知，， 因为的斜率不为，设方程为，， 由，化简的， 所以， 又由，得， 所以方程为，即； （3）由（2）知：， 因为，所以方程为， 即， 又因为， 所以，， 所以直线经过原点. 【变式14-4】（24-25高二上·河北沧州·月考）已知抛物线的焦点为F，点在C上． (1)判断直线与C的公共点个数； (2)若直线与C交于另外一点Q，直线与C的准线垂直，垂足为R，O为坐标原点，求证：点P，O，R共线． 【答案】(1)1个；(2)证明见解析. 【解析】（1）由点在抛物线上，得， 由消去并整理得：，即， 此方程有两个相等的实根，则有两个相同的实数解， 所以直线与抛物线C相切，有1个公共点. （2）抛物线的焦点，显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由，得，设，则，即， 抛物线的准线方程为，由垂直于C的准线于，得， 直线斜率，直线的斜率，因此， 又直线与直线有公共点，则直线与直线重合，所以点共线. 题型十五 求动点的运动轨迹 【例15】（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点，根据中点的坐标公式可得， 代入椭圆方程得，其中.故选：C 【变式15-1】（24-25高二上·江西·月考）若动圆过定点，且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【解析】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得， 所以, 所以的轨迹为双曲线的右支. 设的轨迹方程为，则， 所以轨迹方程为.故选：D 【变式15-2】（24-25高二上·上海·月考）已知双曲线的左、右焦点为、，为双曲线上的点，则中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设点、， 在双曲线中，，，则，则点， 由中点坐标公式可得，可得，即点， 因为点在双曲线上，所以，，整理可得. 故答案为：. 【变式15-3】（24-25高二上·江西德兴·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为， 联立抛物线方程，得，， 设，则， 设线段中点，则， 即，故线段中点的轨迹方程为，即， 故答案为： 题型十六 椭圆的实际应用 【例16】（24-25高二上·广西·期中）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据椭圆的定义，设长轴长为2a，焦距为2c， 由题可知，，即万千米， 因为天平三号卫星， 运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米， 则，可得万千米，因此， 所以椭圆的方程为.故选：A. 【变式16-1】（23-24高二上·山东潍坊·月考）开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的焦距为，长轴长为， 则由已知可得， 两式相加可得，两式相减可得， 则，， 所以离心率.故选：A. 【变式16-2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【解析】由椭圆，则，长轴长. 如图，在平面直角坐标系中， 延长交于点，连接， 由题意可知，又因为， 则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则为的中位线， 则.故选：C. 【变式16-3】（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆方程为，双曲线方程为， 由图①可得， 其中，故上面两式相减得， 由图②可得， 故， 由题意得，即， 即，解得， 故的长轴长与的实轴长之比为.故选：C 题型十七 双曲线的实际应用 【例17】（24-25高二上·广西梧州·月考）如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意可得，所以， 所以该笔筒中间最窄处的直径为.故选：B. 【变式17-1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（     ） A． B．18cm C． D． 【答案】D 【解析】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点， 设双曲线的方程为， 由双曲线的离心率为，得，则， 由喉部（中间最细处）的直径为，得， 所以双曲线的方程为，设点， 由，得，所以该塔筒的高为.故选：D 【变式17-2】（23-24高二上·山西长治·期末）在双曲线型冷却塔（如图）的建设过程中,人员、物料的运输一直是困扰施工的难题,经实践探索设计出“附墙升降机”,其结构如图所示,安装之后附着在冷却塔的外侧,通过升降吊笼完成输送任务.假设该冷却塔的最小半径为,上口半径为,下口半径为，高为.附墙升降机轨道在点以下与冷却塔贴合,从点到顶端点是竖直的,则长约为 （保留整数）.    【答案】 【解析】根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系: 使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合.此时上、下口的直径都平行于轴, 且, 设双曲线的方程为，则， 因为直径是实轴，又两点都在双曲线上，所以 ，解得， 因为，所以， 解得， 所以双曲线方程为， 所以， 因为双曲线关于轴对称， 所以. 故答案为:. 【变式17-3】（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，，由题意知，，， 所以，，，所以， 又，所以，解得， 所以.故选：B. 题型十八 抛物线的实际应用 【例18】（24-25高二上·江西·月考）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为.故选：C. 【变式18-1】（24-25高二上·山东·期中）如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了 ． 【答案】/ 【解析】建系如图，设抛物线方程为， 则根据题意可知图中坐标为， ，， 抛物线方程为， 令，可得， 则水面下降了米 故答案为： 【变式18-2】（24-25高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为.故选：B 【变式18-3】（23-24高二上·福建三明·期末）抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．从抛物线的焦点F发出的两条光线分别经抛物线反射，若这两条光线均在抛物线对称轴同侧且与x轴的夹角均为60°，两条反射光线之间的距离为，则p＝（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】根据题意作出下图，两条光线分别为， 可设：，与联立消元得， 解得、，∴， 同理设：，与联立消元得， 解得、，∴， ∴，∴，故B正确.故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$