专题05轴对称期末复习（8大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（内蒙古专用）

专题05 轴对称 轴对称图形 1. 轴对称图形： 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称. 2. 轴对称： 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条音直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 1.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）下面图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）下列不是轴对称图形的是（     ） A．   B．   C．   D．   4.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）在一些美术字种，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中， 可以看作是轴对称图形的是（     ） A．爱 B．国 C．敬 D．业 线段垂直平分线的性质和判定 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 1.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期末）如图，已知，，，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点M，N，连接与相较于点D，则的周长为 （     ）    A．13 B．10 C．8 D．5 2.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图所示，在中，分别垂直平分和， 交于D、E，若，则______． A． B． C． D． 3.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，，分别是，的垂直平分线，若的 周长为10，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．20 4.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游 戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边中垂线的交点 5.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）在△ABC中，垂直平分斜边，分别交 于D、E．若，求．    画轴对称图形 1. 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y） 2. 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y） 3. 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线的对称图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 1.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）平面直角坐标系内的点A（－1，3）与点B（－1，－3）的 位置关系是（　   　） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 2.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期末）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是 ． 3.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，3），点B的坐标 为（-2，-3），那么点A和点B的位置关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于坐标轴和原点都不对称 4.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，在正方形网格上有一个△ABC． (1)画△ABC关于直线的对称图形（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积； (3)在直线上求作一点P，使最小（保留作图痕迹，不写作法）． 5.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐 标分别是，，． (1)请画出与△ABC关于x轴对称的； (2)在y轴上找一点P，使最小． (3)若点是△ABC内部的一个点，求点Q关于x轴对称的点的坐标． 6.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为 ，，． (1)在图中作，使和△ABC关于轴对称； (2)写出点，，的坐标； (3)求△ABC的面积． 7.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图： (1)画出△ABC关于y轴的对称图形； (2)请计算△ABC的面积； (3)直接写出△ABC关于x轴对称的三角形的各点坐标． 等腰三角形定义 等腰三角形定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 1.（23-24内蒙古通辽八上期末）等腰三角形一边等于4，另一边等于2，则周长是（     ） A．10或8 B．8 C．10 D．6 等腰三角形的性质和判定 等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成：“等边对等角”） 等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。（简写成：“三线合一”） 1.（23-24内蒙古通辽八上期末）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，则∠ABD= ． 2.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）在△ABC中，，点在上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.（23-24内蒙古通辽八上期末）如图，已知，，，不正确的等式是（     ） A． B． C． D． 4.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52º,则该三角形的底 角的度数为 . 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任一角．如图②，这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E在槽中滑动，若，则的度数为 ． 6.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且 AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是 7.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）如图所示，在△ABC中，，，D是BC的中点，连接AD，，垂足为E，则AE的长为（    ）   A．4 B．6 C．2 D．1 8.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，等腰△ABC中，，于点，， 于点，于点S，则下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 等边三角形的性质和判定 1.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于； 2.等边三角形的判定：①三个角都是的三角形是等边三角形；②有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 1.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期末）如图，等边三角形中，是的中点，于，，交于，，则的周长为 ． 2.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，直线，，，，则的形状为（     ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 3.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，在△ABC中，为直角，，于，若，则的长为（     ）      A．8 B．6 C．4 D．2 4.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图是乌兰察布市某公园一段索道的示意图，已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到B点过程中，上升的高度（的长）为（     ） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 最短路径问题 1.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，直线l是一条公路，A、B是两个村庄．欲在l上的某点处修建一个车站，直接向A、B两地提供乘车服务．现有如下四种建设方案，图中实线表示铺设的行走道路，则铺设道路最短的方案是（     ） A． B． C． D． 2.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，在△ABC中，，、是△ABC的两条中线，，P是上一个动点，则的最小值是（    ） A．7 B．3.5 C．5 D．2.5 3.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）下列说法中，正确的有（     ） ①一个三角形的两边长分别是5和6，则第三边长的最大整数值是10； ②全等的两个三角形对应边上的中线相等； ③无论为何值时，一定成立； ④如图，直线是△ABC中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，则周长的最小值是10． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，在△AOB中，，点，，，为上一动点，连接，，则的最小值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 5.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，在中，，AC=6，BC=8，AB=10， AD是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是 ．    6.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，在△ABC中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 三角形综合 1.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）如图，在△ABC中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、△ABC都是等腰三角形．其中正确的是 ． 2.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，中，，的角平分线和的外角平分线相交于点．过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 3.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图，在四边形中，，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，且． (1)__________°； (2)求证：； (3)连接，且平分交于点，探究的形状并说明理由． 5.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想； (2)过点作交于点，若，，求的长． 6.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°． （1）求∠ADB的度数； （2）判断△ABE的形状并证明； （3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝6，求AD的长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 轴对称 轴对称图形 1. 轴对称图形： 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称. 2. 轴对称： 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条音直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 1.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察四个选项可知，只有D选项中的图形沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，属于轴对称图形， 故选D． 2.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）下面图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，不符合题意； B中图形是轴对称图形，符合题意； C中图形不是轴对称图形，不符合题意； D中图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）下列不是轴对称图形的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 4.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）在一些美术字种，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中， 可以看作是轴对称图形的是（     ） A．爱 B．国 C．敬 D．业 【答案】D 【详解】解：A、B、C均不能找到一条直线，使A、B、C沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合， 故A、B、C不是轴对称图形，不符合题意； D能找到一条直线，使D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故D是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 线段垂直平分线的性质和判定 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 1.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期末）如图，已知，，，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点M，N，连接与相较于点D，则的周长为 （     ）    A．13 B．10 C．8 D．5 【答案】C 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∵，，， ∴的周长， 故选C． 2.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图所示，在中，分别垂直平分和， 交于D、E，若，则______． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴． ∵， ∴，则， ∴． 故选C． 3.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，，分别是，的垂直平分线，若的 周长为10，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【详解】解：∵，分别是，的垂直平分线， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴， 即． 故选：B 4.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游 戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边中垂线的交点 【答案】D 【详解】解：为使游戏公平，则凳子到三人的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要将凳子放在三边中垂线的交点， 故选：D． 5.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）在△ABC中，垂直平分斜边，分别交 于D、E．若，求．    【详解】解：∵垂直平分斜边， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 画轴对称图形 1. 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y） 2. 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y） 3. 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线的对称图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 1.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）平面直角坐标系内的点A（－1，3）与点B（－1，－3）的 位置关系是（　   　） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：平面直角坐标系内的点A（－1，3）与点B（－1，－3）关于x轴对称． 故选：B． 2.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期末）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ， 故答案为：． 3.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，3），点B的坐标 为（-2，-3），那么点A和点B的位置关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于坐标轴和原点都不对称 【答案】A 【详解】∵点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣2，﹣3）， ∴点A和点B的位置关系是关于x轴对称． 故选A． 4.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，在正方形网格上有一个△ABC． (1)画△ABC关于直线的对称图形（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积； (3)在直线上求作一点P，使最小（保留作图痕迹，不写作法）． 【详解】（1）解：如图，△即为所求； （2）解：的面积． （3）解：如图，点P即为所求． 5.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐 标分别是，，． (1)请画出与△ABC关于x轴对称的； (2)在y轴上找一点P，使最小． (3)若点是△ABC内部的一个点，求点Q关于x轴对称的点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）解：如图，点关于轴对称点的坐标为，连接交轴于点，则点为所求． （3）解：关于轴的对称的点的坐标变换规律：横坐标相同、纵坐标互为相反数， 则点关于轴对称的点的坐标为． 6.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为 ，，． (1)在图中作，使和△ABC关于轴对称； (2)写出点，，的坐标； (3)求△ABC的面积． 【详解】（1）解：如图所示，则即为作； （2）如图，，，； （3）， ∴△ABC的面积为． 7.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图： (1)画出△ABC关于y轴的对称图形； (2)请计算△ABC的面积； (3)直接写出△ABC关于x轴对称的三角形的各点坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；由题意得，； （3）解：∵与关于x轴对称，， ∴． 等腰三角形定义 等腰三角形定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 1.（23-24内蒙古通辽八上期末）等腰三角形一边等于4，另一边等于2，则周长是（     ） A．10或8 B．8 C．10 D．6 【答案】C 【详解】解：当4为底边，2为腰长时，等腰三角形三边为4、2、2， ，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形． 当2为底边，4为腰长时，等腰三角形三边为2、4、4， ，满足三角形三边关系，能构成三角形， 等腰三角形周长为， 故选：C． 等腰三角形的性质和判定 等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成：“等边对等角”） 等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。（简写成：“三线合一”） 1.（23-24内蒙古通辽八上期末）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，则∠ABD= ． 【答案】36° 【详解】设∠ABD=x， ∵BC=AD， ∴∠A=∠ABD=x， ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC， 根据三角形的外角性质，∠BDC=∠A+∠ABD=2x， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠=180°， 即x+2x+2x=180°， 解得x=36°， 即∠ABD=36°． 故答案为36°． 2.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）在△ABC中，，点在上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在△ABC中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3.（23-24内蒙古通辽八上期末）如图，已知，，，不正确的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴，，故B、C选项正确，不符合题意； ∵， ∴，不能得到，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 4.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52º,则该三角形的底 角的度数为 . 【答案】71°或19° 【详解】试题解析：分两种情况讨论： ①若∠A＜90°，如图1所示： ∵BD⊥AC， ∴∠A+∠ABD=90°， ∵∠ABD=52°， ∴∠A=90°-52°=38°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=（180°-38°）=71°； ②若∠A＞90°，如图2所示： 同①可得：∠DAB=90°-52°=38°， ∴∠BAC=180°-38°=142°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=（180°-142°）=19°； 综上所述：等腰三角形底角的度数为19°或71°． 故答案为19°或71°． 5.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任一角．如图②，这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E在槽中滑动，若，则的度数为 ． 【答案】/72度 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴. 故答案为：． 6.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且 AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是 【答案】90°． 【详解】解：∵AB=BC， ∴∠ACB=∠A=18°， ∴∠CBD=∠A+∠ACB=36°， ∵BC=CD， ∴∠CDB=∠CBD=36°， ∴∠DCE=∠A+∠CDA=18°+36°=54°， ∵CD=DE， ∴∠CED=∠DCE=54°， ∴∠EDF=∠A+∠AED=18°+54°=72°， ∵DE=EF， ∴∠EFD=∠EDF=72°， ∴∠GEF=∠A+∠AFE=18°+72°=90°． 7.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）如图所示，在△ABC中，，，D是BC的中点，连接AD，，垂足为E，则AE的长为（    ）   A．4 B．6 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解： ， ，D为BC中点， ， ， ，D为BC中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：C． 8.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，等腰△ABC中，，于点，， 于点，于点S，则下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴；故A、C选项正确； 在和中， ， ∴， ∴，故B选项正确； 由图可知不一定成立； 故选D． 等边三角形的性质和判定 1.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于； 2.等边三角形的判定：①三个角都是的三角形是等边三角形；②有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 1.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期末）如图，等边三角形中，是的中点，于，，交于，，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∵是的中点， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，又 ∴是等边三角形， ∴的周长为， 故答案为：． 2.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，直线，，，，则的形状为（     ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故选：C． 3.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，在△ABC中，为直角，，于，若，则的长为（     ）      A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【详解】解：∵为直角，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 4.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图是乌兰察布市某公园一段索道的示意图，已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到B点过程中，上升的高度（的长）为（     ） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 【答案】B 【难度】0.85 【详解】解：在中，，米， ∴米， 故选B． 最短路径问题 1.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，直线l是一条公路，A、B是两个村庄．欲在l上的某点处修建一个车站，直接向A、B两地提供乘车服务．现有如下四种建设方案，图中实线表示铺设的行走道路，则铺设道路最短的方案是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作点A关于l的对称点A'， 连接A'B， 则A'B为最短道路． 故选D． 2.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，在△ABC中，，、是△ABC的两条中线，，P是上一个动点，则的最小值是（    ） A．7 B．3.5 C．5 D．2.5 【答案】C 【详解】解：∵，是△ABC的中线， ∴， ∴关于对称， ∴， ∴的最小值是； 故选C． 3.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）下列说法中，正确的有（     ） ①一个三角形的两边长分别是5和6，则第三边长的最大整数值是10； ②全等的两个三角形对应边上的中线相等； ③无论为何值时，一定成立； ④如图，直线是△ABC中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，则周长的最小值是10． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①根据三角形三边关系“两边之和小于第三边”可知：第三边长小于，则第三边长的最大整数值是10，故原说法正确； ②根据全等三角形的性质可知：全等的两个三角形对应边上的中线相等，故正确； ③当，即时，没有意义，故原说法错误； ④如图，连接， ∵直线是△ABC中边的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴周长的最小值是9，故原说法错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 4.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，在△AOB中，，点，，，为上一动点，连接，，则的最小值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】解：过点C作，垂足为F，交y轴于E，连接交于P， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴点C、E关于对称， ∴， ∴， 此时，的值最小． 最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，在中，，AC=6，BC=8，AB=10， AD是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【详解】解：如图，过点作交于，交于点，过点作交于点，   ，是的平分线，，， ，这时有最小值，即的长度， ， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 6.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，在△ABC中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】9.6 【详解】解：如图，连接，， ∵，是的平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点B，P，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长，且当时，最小， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9.6 三角形综合 1.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）如图，在△ABC中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、△ABC都是等腰三角形．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和△FBD中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③如图所示，过作于点， ∵是边的中点，， ∴，即， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故③错误； ④∵， ， ， ∴， 又∵∠BGH=∠DGF， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴△ABC为等腰三角形， 即、△ABC都为等腰三角形，故④正确， ∴正确的是①②④． 故答案为：①②④． 2.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，中，，的角平分线和的外角平分线相交于点．过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：①∵的角平分线和的外角平分线相交于点， 在中 ，故①正确； ， ， 为的角平分线， ， 在和中 ， ，；故②正确； ③，即：，， 则由三角形三条高所在直线交于一点可知， ，， ， ， ， ， 与都是等腰直角三角形， ，， ， ， 不成立，故③错误， ④， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述①②④正确． 故选：． 3.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：∵，∴∠C=∠CBF， ∵BC平分∠ABF， ∴∠ABC=∠CBF， ∴∠C=∠ABC， ∴AB=AC， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴BD=CD，AD⊥BC，故②，③正确， 在△CDE与△DBF中， ， ∴△CDE≌△DBF， ∴DE=DF，CE=BF，故①正确； ∵AE=2BF， ∴AC=3BF，故④正确． 故选A． 4.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图，在四边形中，，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，且． (1)__________°； (2)求证：； (3)连接，且平分交于点，探究的形状并说明理由． 【详解】（1） （2），， ，    ， ，    ， ， 在和中， ， ， ， （3）平分，        ， ，，， ． ，，         ∴， ，         ，         ， ∴是等腰三角形 5.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想； (2)过点作交于点，若，，求的长． 【详解】（1）解：， 证明：在和中， ， ， ， ，， ． （2）， ， ， ， ， ，， ， ， 的长为6． 6.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°． （1）求∠ADB的度数； （2）判断△ABE的形状并证明； （3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝6，求AD的长． 【详解】（1）解：∵BD＝BC，∠DBC＝60°， ∴△DBC是等边三角形， ∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（SSS）， ∴∠ADB＝∠ADC， ∴∠ADB＝（360°﹣60°）＝150°． （2）解：结论：△ABE是等边三角形． 理由：∵∠ABE＝∠DBC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△EBC中， ， ∴△ABD≌△EBC（AAS）， ∴AB＝BE， ∵∠ABE＝60°， ∴△ABE是等边三角形． （3）解：连接DE． ∵∠BCE＝150°，∠DCB＝60°， ∴∠DCE＝90°， ∵∠EDB＝90°，∠BDC＝60°， ∴∠EDC＝30°， ∴EC＝DE＝3， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD＝EC＝3． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$