专题04全等三角形期末复习（10大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（内蒙古专用）

专题04 全等三角形 全等三角形的性质和判定 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 全等三角形的判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。 注意：SSA、AAA不可以判定三角形全等。 1.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图的三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为 ． 【答案】7 【详解】解：∵沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处， ， ， ， 的周长． 故答案为： 2.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体 过程是这样的： 下列关于小聪作法的理由，叙述正确的是（     ） A．由可得，进而可证 B．由 可得，进而可证 C．由 可得 ，进而可证 D．由“等边对等角”可得 【答案】A 【详解】解：根据作图方式可得：， ∴， ∴， 故选：A． 3.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（   ） A．两直角边对应相等 B．斜边和一条直角边对应相等 C．两锐角对应相等 D．一个锐角和斜边对应相等 【答案】C 【详解】解：A正确．根据即可判断． B正确．根据即可判断． C错误．两锐角对应相等不能判断两个三角形全等． D正确．根据即可判断． 故选：C． 4.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为 ． 【答案】225° 【详解】解：如图所示： 在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠5=∠BCA， ∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°， 在Rt△ABD和Rt△AEH中， ∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL）， ∴∠4=∠BDA， ∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°， ∵∠3=45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°． 故答案为：225°． 5.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）在四边形中，于点E，于点F，．求证：． 【详解】解：在RT△ADC和RT△CBA中， ∴， ∴， 又∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ∴． 6.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，四边形ABCD中，BC＝CD＝2AB，ABCD，∠B＝90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F． (1)求证：ABC≌ECD； (2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：∵E是BC的中点， ∴BC＝2EC， ∵BC＝2AB， ∴AB＝EC， ∵， ∴∠B＋∠ECD＝180°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠ECD＝90°， 在△ABC和△ECD中， ， ∴△ABC≌△ECD（SAS）； （2）AC⊥DE．理由如下： ∵△ABC≌△ECD（SAS）， ∴∠CED＝∠CAB， ∵∠CAB＋∠ACB＝90°， ∴∠CED＋∠ACB＝90°， ∴∠EFC＝90°， ∴AC⊥DE． 全等三角形的基本模型一：平移型全等 1.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期末）如图，点，，，在一条直线上，， ，，试说明：． 【详解】证明：， ， ，， ， ， ， 即：． 全等三角形的基本模型二：八字型全等 1.（23-24内蒙古通辽八上期末）如图，在△ABC中，D是边上的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，．求证：． 【详解】证明：∵D是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 全等三角形的基本模型三：对称型全等 1.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）如图，已知△ABC≌△DCB，∠A=75°，∠DBC=40°， 则∠DCB的度数为（     ） A．75° B．65° C．40° D．30° 【答案】B 【详解】解：∵△ABC≌△DCB， ∴∠D=∠A=75°，∠ACB=∠DBC=40°， ∴∠DCB=180°-75°-40°=65°， 故选：B． 2.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，，，求证：． 【详解】证明：， ， ． 在和中， ， ， ． 3.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE 【详解】证明：在△ABE和△ACD中， ∵, △ABE≌△ACD (ASA)， ∴AE=AD， ∴BD=AB–AD=AC - AE=CE． 4.（23-24内蒙古通辽八上期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G， 求证：（1）DF∥BC； （2）FG＝FE． 【详解】（1）证明：∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAF． 在△ACF和△ADF中， ∵， ∴△ACF≌△ADF（SAS）． ∴∠ACF＝∠ADF． ∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°， ∴∠ACF＝∠B， ∴∠ADF＝∠B； ∴DF∥BC． （2）证明：∵DF∥BC，BC⊥AC， ∴FG⊥AC． ∵FE⊥AB， 又AF平分∠CAB， ∴FG＝FE． 全等三角形的基本模型四：一线三等角全等 1.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期末）如图，张华同学用7块高度都是的相同长方体 小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙墙间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 2.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．    （1）求证：EF＝CF﹣BE． （2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论． 【详解】解：（1）证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP， ∴∠AEB＝∠AFC＝90°． ∴∠FAC+∠ACF＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠FAC＝90°， ∴∠BAE＝∠ACF． 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴AE＝CF，BE＝AF． ∵EF＝AE﹣AF， ∴EF＝CF﹣BE； （2）EF＝BE+CF 理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP， ∴∠AEB＝∠AFC＝90°． ∴∠FAC+∠ACF＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠FAC＝90°， ∴∠BAE＝∠ACF． 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴AE＝CF，BE＝AF． ∵EF＝AE+AF， ∴EF＝BE+CF．    3.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当MN绕点C旋转到图1的位置时，其他条件不变，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系？写出结论，并写出证明过程. (2)当MN绕点C旋转到图2的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请写出你的结论，并加以证明； (3)当MN绕点C旋转到图3的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请直接写出结论，（不要求写出证明过程）． 【详解】（1）解：DE=AD+BE，理由如下： 证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠ACB=90°=∠CEB， ∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE， ∵在△ADC和△CEB中，， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CE=AD，CD=BE， ∴DE=CE+CD=AD+BE； （2）解：（1）中结论不成立，结论应为DE=AD-BE，理由如下； 证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， 同理可得∠CAD=∠BCE， ∵在△ADC和△CEB中，， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ∴CE=AD，CD=BE， ∴DE=CE - CD=AD-BE； （3）解：（1）中结论不成立，结论应为DE=BE-AD． 理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， 同理可得∠CAD=∠BCE， ∵在△ADC和△CEB中，， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CE=AD，CD=BE， ∴DE=CD - CE=BE-AD． 4.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期末）如图，已知：在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D． （1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由； （2）点P在滑动时，当AP长为多少时，△ADP与△BPC全等，为什么？ （3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由． 【详解】试题分析：为直角三角形，理由为：，得到一对内错角相等，求出为直角，即可得证； （2）当AP=4时，△ADP与△BPC全等，理由为：根据且，求出 与度数，再由外角性质得到 根据，利用 即可得证； 点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当 分别求出夹角的大小即可． 试题解析：(1)是直角三角形，理由为： 当时, 又， ∴是直角三角形； (2)当AP=4时, 理由为： 又∵∠APC是△BPC的一个外角， 又 ∴ (3)△PCD的形状可以是等腰三角形， 则 ①当PC=PD时，△PCD是等腰三角形， 即 ②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形， 即 ③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形， 即 ， 此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当或或 时，△PCD是等腰三角形. 全等三角形的基本模型五：旋转型全等 1.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图，在△ABC中，F是高的交点，， ，，则线段的长为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】证明：∵F是高和的交点， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 2.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB，求证：DE＝AB． 【详解】证明：∵∠DCA=∠ECB ∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE ∴∠DCE=∠ACB． ∵在△DCE和△ACB中 DC=AC，∠DCE=∠ACB，CE=CB， ∴△DCE≌△ACB（SAS） ∴DE=AB． 全等三角形的基本模型六：手拉手全等 1.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）如图，已知点是上一点，、都是等边三角形，连接交于点，连接交于点． (1)求证： (2)连接，判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）证明：∵与为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴； （2）为等边三角形． 理由：∵，， ∴， ∵，即， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形． 2.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）已如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P求证： (1)BE＝AD (2)∠AOB的度数 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE 即∠BCE＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD （2）由（1）可得△BCE≌△ACD ∴∠CAD＝∠CBE， ∵∠APO＝∠BPC， ∴∠AOP＝∠BCP＝60°，即∠AOB＝60°． 3.如图，△ABC是等边三角形，点E在边上，连接，以为一边作等边三角形，连接． (1)直接写出_________； (2)求证：； (3)若，求△ADE的周长． 【详解】（1）解：∵△ABC，是等边三角形， ∴ 故答案为： （2）证明：∵△ABC，是等边三角形， ∴， （SAS） （3）， ， 是等边三角形， ， ， △ADE的周长 4.（23-24内蒙古通辽八上期末）已知：如图，△ABC和均为等腰直角三角形，求证：和垂直． 【详解】∵△ABC和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 延长分别交和于G和F， ∵， ∵， 又∵， ∴， ∴． 画角平分线 1.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示，说明∠AOC＝∠BOC的依据是（     ） A． SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等 【答案】A 【详解】连接NC，MC， 在△ONC和△OMC中，， ∴△ONC≌△OMC（SSS）， ∴∠AOC=∠BOC． 故选：A 2.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴ ∴，即为的平分线． 故选A． 角平分线的性质和判定 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 1.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB 垂直，若AD=8，则点P到BC的距离是 ． 【答案】4 【详解】解：过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4． 故答案为：4． 2.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为 ． 【答案】60 【详解】解：如图，过点作于点． 由作图知平分，． ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：60． 3.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，在△ABC中，，，按如图所示的方式作射线交于点，若，则 ． 【答案】9 【详解】解：如下图所示，过点M作，垂足为D， 由题意得，为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 4.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图，在△ABC中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB， ∴CD=DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE， ∴△DEB的周长=BD+DE+BE， =BD+CD+BE， =BC+BE， =AC+BE， =AE+BE， =AB， ∵AB=6cm， ∴△DEB的周长为6cm． 故选：B． 全等三角形综合 1.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1，点，，都在网格的交点上，点，若在该网格内找一点，使得与△ABC全等，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示， ∵，，， ， ∴． 故答案为：． 2.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）下列判断错误的是（     ） A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．三条边对应相等的两个三角形全等 C．全等三角形对应边上的高相等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】D 【详解】选项A中，两个角和一边相等，如果边为两个角的公共边，则为，如果边不是两个角公共边，则为，都能够判定两个三角形全等，正确； 选项B为，能够判定两个三角形全等，正确； 选项C中，全等三角形对应位置的边角都相等，故对应边上的高也相等，正确； 选项D中，三个角对应相等，没有边对应相等，可能为一大一小的三角形，错误； 故选：D． 3.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ． 【答案】或 【详解】解：由点P的运动情况可知，和全等分以下两种情况： ①当点P在上运动时， 四边形为正方形，， ，， ， 要和全等， 即， ， ，解得； ②当点P在上运动时， 要和全等， 即， ， ，解得； 综上所述，t的值为或． 故答案为：或． 4.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC． (1)求证：CE平分∠BCD； (2)求证：AD+BC=CD． 【详解】（1）证明：如图，作EM⊥CD垂足为M， ∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD， ∴AE＝EM， ∵AE＝EB， ∴EM＝EB， ∵EB⊥BC，EM⊥CD， ∴EC平分∠BCD． （2）证明：由（1）可知：AE＝EM＝EB， 在Rt△DEA和Rt△DEM中， ， ∴Rt△DEA≌Rt△DEM（HL）， ∴DA＝DM， 同理可证：Rt△BEC≌Rt△BMC（HL）， ∴CB＝CM， ∴CD＝DM+MC＝AD+BC． 5.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，已知△ABC中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为秒．    (1)用含t的代数式表示的长度． (2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？ 【详解】（1）解：由题意得：， 则； （2）解：，理由如下： 当时，由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴； （3）解：∵点的运动速度不相等， ∴， 当与△CQP全等，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，能够使与△CQP全等． 6.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）如图，在△ABC中，平分交于点，平分交于点，与交于点，．    (1)求的度数； (2)过点作于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴在中， ， ∴的度数为； （2）． 理由：如图，过点作于点，连接， ∵平分，平分， ∴平分， ∵，， ∴，， 由（1）得：，， ∴ 在四边形中，， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴．    7.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）八（2）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． [发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，是的中线，若，求的取值范围． [探究方法]他们通过探究发现，延长至点E，使，连接．可以证出△ADC≌△EDC，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． [问题解决] (1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程． (2)如图2，是△ABC的中线，且，求证：． 【详解】（1）解：如图1，延长至点，使， ∵是△ABC的中线， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图所示，延长到F，使得， ∵是△ABC的中线， ∴， 在和△BDF中， ， ， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和△CBF中， ， ∴， ∴． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形 全等三角形的性质和判定 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 全等三角形的判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。 注意：SSA、AAA不可以判定三角形全等。 1.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图的三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为 ． 2.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 下列关于小聪作法的理由，叙述正确的是（     ） A．由可得，进而可证 B．由 可得，进而可证 C．由 可得 ，进而可证 D．由“等边对等角”可得 3.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（   ） A．两直角边对应相等 B．斜边和一条直角边对应相等 C．两锐角对应相等 D．一个锐角和斜边对应相等 4.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为 ． 5.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）在四边形中，于点E，于点F，．求证：． 6.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，四边形ABCD中，BC＝CD＝2AB，ABCD，∠B＝90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F． (1)求证：ABC≌ECD； (2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由． 全等三角形的基本模型一：平移型全等 1.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期末）如图，点，，，在一条直线上，， ，，试说明：． 全等三角形的基本模型二：八字型全等 1.（23-24内蒙古通辽八上期末）如图，在△ABC中，D是边上的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，．求证：． 全等三角形的基本模型三：对称型全等 1.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）如图，已知△ABC≌△DCB，∠A=75°，∠DBC=40°， 则∠DCB的度数为（     ） A．75° B．65° C．40° D．30° 2.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，，，求证：． 3.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE 4.（23-24内蒙古通辽八上期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G， 求证：（1）DF∥BC； （2）FG＝FE． 全等三角形的基本模型四：一线三等角全等 1.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期末）如图，张华同学用7块高度都是的相同长方体 小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙墙间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长是（     ） A． B． C． D． 2.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．    （1）求证：EF＝CF﹣BE． （2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论． 3.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当MN绕点C旋转到图1的位置时，其他条件不变，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系？写出结论，并写出证明过程. (2)当MN绕点C旋转到图2的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请写出你的结论，并加以证明； (3)当MN绕点C旋转到图3的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请直接写出结论，（不要求写出证明过程）． 4.（23-24内蒙古巴彦淖尔八上期末）如图，已知：在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D． （1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由； （2）点P在滑动时，当AP长为多少时，△ADP与△BPC全等，为什么？ （3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由． 全等三角形的基本模型五：旋转型全等 1.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图，在△ABC中，F是高的交点，， ，，则线段的长为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB，求证：DE＝AB． 全等三角形的基本模型六：手拉手全等 1.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）如图，已知点是上一点，、都是等边三角形，连接交于点，连接交于点． (1)求证： (2)连接，判断的形状，并说明理由． 2.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）已如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P求证： (1)BE＝AD (2)∠AOB的度数 3.如图，△ABC是等边三角形，点E在边上，连接，以为一边作等边三角形，连接． (1)直接写出_________； (2)求证：； (3)若，求△ADE的周长． 4.（23-24内蒙古通辽八上期末）已知：如图，△ABC和均为等腰直角三角形，求证：和垂直． 画角平分线 1.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示，说明∠AOC＝∠BOC的依据是（     ） A． SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等 2.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是（     ） A． B． C． D． 角平分线的性质和判定 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 1.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB 垂直，若AD=8，则点P到BC的距离是 ． 2.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为 ． 3.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，在△ABC中，，，按如图所示的方式作射线交于点，若，则 ． 4.（23-24内蒙古乌兰察布八上期末）如图，在△ABC中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　） A． B． C． D．不能确定 全等三角形综合 1.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1，点，，都在网格的交点上，点，若在该网格内找一点，使得与△ABC全等，则点的坐标为 ． 2.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）下列判断错误的是（     ） A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．三条边对应相等的两个三角形全等 C．全等三角形对应边上的高相等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 3.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ． 4.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC． (1)求证：CE平分∠BCD； (2)求证：AD+BC=CD． 5.（23-24内蒙古呼伦贝尔八上期末）如图，已知△ABC中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为秒．    (1)用含t的代数式表示的长度． (2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？ 6.（23-24内蒙古呼和浩特八上期末）如图，在△ABC中，平分交于点，平分交于点，与交于点，．    (1)求的度数； (2)过点作于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 7.（23-24内蒙古兴安盟八上期末）八（2）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． [发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，是的中线，若，求的取值范围． [探究方法]他们通过探究发现，延长至点E，使，连接．可以证出△ADC≌△EDC，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． [问题解决] (1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程． (2)如图2，是△ABC的中线，且，求证：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$