沪科版 期末真题必刷常考60题（40个考点专练） -2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

期末真题必刷常考60题（40个考点专练） 知识导图 一．点的坐标（共2小题） 二．坐标与图形性质（共2小题） 三．函数的概念（共1小题） 四．函数自变量的取值范围（共1小题） 五．一次函数的图象（共1小题） 六．正比例函数的图象（共1小题） 七．一次函数的性质（共2小题） 八．一次函数图象与系数的关系（共2小题） 九．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 一十．一次函数图象与几何变换（共2小题） 一十一．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 一十二．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 一十三．一次函数与二元一次方程（组）（共2小题） 一十四．一次函数的应用（共2小题） 一十五．一次函数综合题（共1小题） 一十六．三角形的角平分线、中线和高（共2小题） 一十七．三角形的面积（共1小题） 一十八．三角形的稳定性（共1小题） 一十九．三角形三边关系（共2小题） 二十．三角形内角和定理（共2小题） 二十一．三角形的外角性质（共1小题） 二十二．全等三角形的性质（共2小题） 二十三．全等三角形的判定（共2小题） 二十四．全等三角形的判定与性质（共2小题） 二十五．全等三角形的应用（共2小题） 二十六．角平分线的性质（共2小题） 二十七．线段垂直平分线的性质（共2小题） 二十八．等腰三角形的性质（共1小题） 二十九．等腰三角形的判定（共1小题） 三十．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 三十一．等边三角形的性质（共1小题） 三十二．等边三角形的判定与性质（共1小题） 三十三．含30度角的直角三角形（共1小题） 三十四．命题与定理（共2小题） 三十五．轴对称的性质（共1小题） 三十六．轴对称图形（共1小题） 三十七．作图-轴对称变换（共1小题） 三十八．利用轴对称设计图案（共1小题） 三十九．轴对称-最短路线问题（共2小题） 四十．坐标与图形变化-平移（共1小题） 题型强化 一．点的坐标（共2小题） 1．（2023秋•太湖县期末）若点的坐标为，则点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2022秋•霍邱县期末）已知点． （1）若点在轴上，求的值． （2）若点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 二．坐标与图形性质（共2小题） 3．（2023秋•宣城期末）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是2，则的值是　　． 4．（2022秋•迎江区校级期末）已知点，解答下列问题： （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点，且直线平行于轴，求点的坐标． 三．函数的概念（共1小题） 5．（2023秋•长丰县期末）下列各曲线中，表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 四．函数自变量的取值范围（共1小题） 6．（2023秋•凤阳县期末）在函数中，自变量的取值范围是 　　． 五．一次函数的图象（共1小题） 7．（2023秋•瑶海区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是　　 A． B． C． D． 六．正比例函数的图象（共1小题） 8．（2022秋•贵池区期末）一次函数与，是常数，且在同一坐标系中的大致图象是　　 A． B． C． D． 七．一次函数的性质（共2小题） 9．（2022秋•濉溪县期末）已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小是　　 A． B． C． D．不确定 10．（2023秋•瑶海区校级期末）点、是直线上的两点，则　　（填“”或“”或“” ． 八．一次函数图象与系数的关系（共2小题） 11．（2021秋•定远县期末）一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则点的坐标不可能为　　 A． B． C． D． 12．（2021秋•宜秀区校级期末）一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是　 　 九．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 13．（2023秋•金安区校级期末）点在直线上，则代数式的值是 　　． 14．（2021秋•包河区期末）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，点的坐标为，点是直线上的一个动点（点不与点重合）． （1）求的值； （2）若的面积为3，求此时点的坐标． 一十．一次函数图象与几何变换（共2小题） 15．（2022秋•金安区期末）如图，已知一条直线经过点、点，将这条直线向左平移与轴、轴分别交于点、点．若，则直线的函数解析式为　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•瑶海区校级期末）在平面直角坐标系中，将一次函数为常数）的图象向下平移2个单位长度后经过，则的值为 　　． 一十一．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 17．（2022秋•金寨县期末）已知与成正比例，当时，． （1）求与之间的函数关系式： （2）判断点是否是函数图象上的点，并说明理由． 一十二．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 18．（2023秋•太湖县期末）如图，直线经过点和点，直线经过点，则不等式的解为 　　． 19．（2022秋•亳州期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为 （1）求一次函数和正比例函数的解析式； （2）结合图象直接写出不等式的解集． 一十三．一次函数与二元一次方程（组）（共2小题） 20．（2023秋•长丰县期末）如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•蚌埠期末）已知一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，则方程组的解是 　　． 一十四．一次函数的应用（共2小题） 22．（2022秋•金安区校级期末）已知、两地相距4千米．上午，甲从地出发步行到地，乙从地出发骑自行车到地，甲乙两人离地的距离（千米）与甲所用的时间（分之间的关系如图所示．由图中的信息可知，乙到达地的时间为　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•阜阳期末）商店销售1台型和2台型电脑的利润为400元，销售2台型和1台型电脑的利润为350元，该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润元． （1）①求关于的函数关系式； ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （2）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调了元，且限定商店最多的进型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出售这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 一十五．一次函数综合题（共1小题） 24．（2023秋•泗县期末）学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法． （1）【学有所用】如图1，在等腰中，，其一腰上的高为，是底边上的任意一点，到腰、的距离、分别为、，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：； （2）【尝试提升】如图2，在中，，是边上一点，使，过上一点，作，垂足为点，作，垂足为点，已知，，求的长． （3）【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点到的距离是2，求的值． 一十六．三角形的角平分线、中线和高（共2小题） 25．（2023秋•金寨县期末）用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是　　 A． B． C． D． 26．（2022秋•霍邱县期末）如图，在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设 一十七．三角形的面积（共1小题） 27．（2021秋•涡阳县期末）如图所示，在中，、、分别为、、的中点，且，则的面积等于　　 A． B． C． D． 一十八．三角形的稳定性（共1小题） 28．（2021秋•安庆期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是　　 A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等 一十九．三角形三边关系（共2小题） 29．（2021秋•金寨县期末）为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是　　 A． B． C． D． 30．（2021秋•八公山区期末）三角形的三边长分别为5，，8，则的取值范围是 　　． 二十．三角形内角和定理（共2小题） 31．（2023秋•泗县期末）如图，，于点，为钝角，的平分线与的平分线交于点，则的度数为　　 A． B． C． D．无法确定 32．（2023秋•金寨县期末）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，求的度数． 二十一．三角形的外角性质（共1小题） 33．（2022秋•南谯区期末）如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③；④．正确的是　　 A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 二十二．全等三角形的性质（共2小题） 34．（2023秋•庐阳区校级期末）如图所示，在中，、分别是边、上的点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 35．（2022秋•怀远县期末）如图，，，，、相交于点，则度数为　　． 二十三．全等三角形的判定（共2小题） 36．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，、是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 37．（2022秋•凤阳县期末）如图，点、在上，，，． 求证：． 二十四．全等三角形的判定与性质（共2小题） 38．（2023秋•青阳县期末）如图，已知，为的角平分线，且，为延长线上的一点，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有　　 个． A．1 B．2 C．3 D．4 39．（2023秋•青阳县期末）如图，把△放置在平面直角坐标系中，已知，，，，点在第四象限，则点的坐标是　　． 二十五．全等三角形的应用（共2小题） 40．（2022秋•宣州区期末）如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带　　去． A．① B．② C．③ D．④ 41．（2022秋•亳州期末）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小明在自己家阳台处测得处的俯角为，小华站在处测得眼睛到楼端点的仰角为，发现与互余，已知米，米，米． （1）求证：； （2）求单元楼的高． 二十六．角平分线的性质（共2小题） 42．（2023秋•凤阳县期末）如图，已知平分，于点，，，，则　　 A．1 B．2 C．3 D．4 43．（2023秋•瑶海区期末）如图，在△中，，平分交于，，，则 　　． 二十七．线段垂直平分线的性质（共2小题） 44．（2021秋•东至县期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，的周长为　　 A．16 B．13 C．19 D．10 45．（2023秋•和县期末）如图，在△中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． （1）若是的中点，求证：； （2）若，求证：△为等边三角形． 二十八．等腰三角形的性质（共1小题） 46．（2023秋•庐阳区期末）等腰三角形有一个角是，则它的顶角度数是　 　． 二十九．等腰三角形的判定（共1小题） 47．（2020秋•包河区期末）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，，求的周长． 三十．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 48．（2022秋•合肥期末）如图，已知在中，平分，于点，过点作，交于点． （1）若，则的长为 　　； （2）若，则的长为 　　． 三十一．等边三角形的性质（共1小题） 49．（2021春•泗县期末）如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，△、△、△均为等边三角形，若，则△的边长为　　 A．6 B．16 C．32 D．64 三十二．等边三角形的判定与性质（共1小题） 50．（2021秋•颍东区期末）如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、． （1）当时，试判断的形状，并说明理由； （2）探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 三十三．含30度角的直角三角形（共1小题） 51．（2022秋•贵池区期末）如图，等边的边长为4，是的边上的高，过点作于点，则的长是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 三十四．命题与定理（共2小题） 52．（2023秋•包河区期末）下列可以作为命题“若，则”是假命题的反例是　　 A．， B．， C．， D．， 53．（2020秋•包河区期末）（1）如图，，，点在射线上，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题，请画出图形，并写出你所选取的的长约为 　　（精确到． （2）为锐角，，点在射线上，点到射线的距离为，，若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 　　． 三十五．轴对称的性质（共1小题） 54．（2021秋•岳西县期末）如图，点为的边上一点，点，关于对称，若，，则线段的长度为 　　． 三十六．轴对称图形（共1小题） 55．（2023秋•宁国市期末）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 三十七．作图-轴对称变换（共1小题） 56．（2023秋•和县期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）． （1）画出关于轴对称的△； （2）画出向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的△． 三十八．利用轴对称设计图案（共1小题） 57．（2022秋•淮南期末）将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形． 三十九．轴对称-最短路线问题（共2小题） 58．（2023秋•颍泉区校级期末）如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，当周长最小时，则的度数为　　 A． B． C． D． 59．（2023秋•南陵县期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 　　． 四十．坐标与图形变化-平移（共1小题） 60．（2023秋•安庆期末）点向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标是 　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题必刷常考60题（40个考点专练） 知识导图 一．点的坐标（共2小题） 二．坐标与图形性质（共2小题） 三．函数的概念（共1小题） 四．函数自变量的取值范围（共1小题） 五．一次函数的图象（共1小题） 六．正比例函数的图象（共1小题） 七．一次函数的性质（共2小题） 八．一次函数图象与系数的关系（共2小题） 九．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 一十．一次函数图象与几何变换（共2小题） 一十一．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 一十二．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 一十三．一次函数与二元一次方程（组）（共2小题） 一十四．一次函数的应用（共2小题） 一十五．一次函数综合题（共1小题） 一十六．三角形的角平分线、中线和高（共2小题） 一十七．三角形的面积（共1小题） 一十八．三角形的稳定性（共1小题） 一十九．三角形三边关系（共2小题） 二十．三角形内角和定理（共2小题） 二十一．三角形的外角性质（共1小题） 二十二．全等三角形的性质（共2小题） 二十三．全等三角形的判定（共2小题） 二十四．全等三角形的判定与性质（共2小题） 二十五．全等三角形的应用（共2小题） 二十六．角平分线的性质（共2小题） 二十七．线段垂直平分线的性质（共2小题） 二十八．等腰三角形的性质（共1小题） 二十九．等腰三角形的判定（共1小题） 三十．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 三十一．等边三角形的性质（共1小题） 三十二．等边三角形的判定与性质（共1小题） 三十三．含30度角的直角三角形（共1小题） 三十四．命题与定理（共2小题） 三十五．轴对称的性质（共1小题） 三十六．轴对称图形（共1小题） 三十七．作图-轴对称变换（共1小题） 三十八．利用轴对称设计图案（共1小题） 三十九．轴对称-最短路线问题（共2小题） 四十．坐标与图形变化-平移（共1小题） 题型强化 一．点的坐标（共2小题） 1．（2023秋•太湖县期末）若点的坐标为，则点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据平面直角坐标系各象限点的坐标特点即可求解，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【解答】解：点的坐标为，则点在第二象限． 故选：． 【点评】此题考查的点的坐标，熟知四个象限点的坐标的符号特点是解题关键． 2．（2022秋•霍邱县期末）已知点． （1）若点在轴上，求的值． （2）若点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【分析】（1）直接利用轴上点的坐标特点得出，进而得出答案； （2）直接利用点到两坐标轴的距离相等得出等式求出答案． 【解答】解：（1）点在轴上， ， 解得：； （2）点到两坐标轴的距离相等， ， 或， 解得：或， 或． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确分类讨论是解题关键． 二．坐标与图形性质（共2小题） 3．（2023秋•宣城期末）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是2，则的值是　　． 【分析】根据纵坐标相同的点平行于轴，再分点在点的左边和右边两种情况讨论求解． 【解答】解：点与点的纵坐标都是， 轴， 点在点的左边时，， 点在点的右边时，， 综上所述，的值是或0． 故答案为：或0． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，是基础题，难点在于要分情况讨论． 4．（2022秋•迎江区校级期末）已知点，解答下列问题： （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点，且直线平行于轴，求点的坐标． 【分析】（1）根据点在轴上，可得，求出的值，进一步可得点坐标； （2）根据点，且直线平行于轴，可得，求出的值，进一步可得点坐标． 【解答】解：（1）点在轴上， ， ， ， 点的坐标为； （2）点，且直线平行于轴， ， 解得， ， 点的坐标为． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征和平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 三．函数的概念（共1小题） 5．（2023秋•长丰县期末）下列各曲线中，表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数的意义即可求出答案． 【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直于轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 四．函数自变量的取值范围（共1小题） 6．（2023秋•凤阳县期末）在函数中，自变量的取值范围是 　　． 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式，解可得自变量的取值范围． 【解答】解：根据题意，有， 解可得； 故自变量的取值范围是． 故答案为． 【点评】本题主要考查了分式有意义的条件是分母不等于0． 五．一次函数的图象（共1小题） 7．（2023秋•瑶海区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】利用一次函数的性质进行判断． 【解答】解：与， 时，两函数的值都是， 两直线的交点的横坐标为1， 若，则一次函数与都是增函数，且都交轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限； 若，则一次函数经过第一、二、四象限，经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1； 故选：． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数的图象有四种情况： ①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 六．正比例函数的图象（共1小题） 8．（2022秋•贵池区期末）一次函数与，是常数，且在同一坐标系中的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，再根据正比例函数图象与系数的关系，可以判断红的符号，进而比较可得答案． 【解答】解：、由一次函数图象可知，，；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； 、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，一致，故此选项正确； 、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； 、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象． 七．一次函数的性质（共2小题） 9．（2022秋•濉溪县期末）已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小是　　 A． B． C． D．不确定 【分析】由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，可得出． 【解答】解：， 随的增大而减小， 又点和点都在一次函数的图象上，且， ． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 10．（2023秋•瑶海区校级期末）点、是直线上的两点，则　　（填“”或“”或“” ． 【分析】由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合即可得出． 【解答】解：， 随的增大而减小， 又点、是直线上的两点，且， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 八．一次函数图象与系数的关系（共2小题） 11．（2021秋•定远县期末）一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则点的坐标不可能为　　 A． B． C． D． 【分析】由的值随值的增大而增大可得出，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第一、二、三象限，再结合四个选项中点所在的象限，即可得出结论． 【解答】解：的值随值的增大而增大， ， 又， 一次函数的图象经过第一、二、三象限． 在第四象限， 点的坐标不可能为． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质，牢记“，的图象在一、二、三象限”是解题的关键． 12．（2021秋•宜秀区校级期末）一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是　　 【分析】根据一次函数的性质，构建不等式组即可解决问题； 【解答】解：由题意：， 解得， 故答案为 【点评】本题考查一次函数的性质、不等式组等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 九．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 13．（2023秋•金安区校级期末）点在直线上，则代数式的值是 　　． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，再将其代入中，即可得出结论． 【解答】解：在直线上， ， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出是解题的关键． 14．（2021秋•包河区期末）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，点的坐标为，点是直线上的一个动点（点不与点重合）． （1）求的值； （2）若的面积为3，求此时点的坐标． 【分析】（1）点在直线上，则，解得； （2）由题意得，的面积为3得，解得，进而求解． 【解答】解：（1）点在直线上， ． ； （2）点的坐标为， ， 的面积为3， ， ， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 的坐标为，或，． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，确定的纵坐标是解题的关键． 一十．一次函数图象与几何变换（共2小题） 15．（2022秋•金安区期末）如图，已知一条直线经过点、点，将这条直线向左平移与轴、轴分别交于点、点．若，则直线的函数解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】先求出直线的解析式，再根据平移的性质求直线的解析式． 【解答】解：设直线的解析式为， 、点在直线上， ，解得， 直线的解析式为； 将这直线向左平移与轴负半轴、轴负半轴分别交于点、点，使时，平移后的图形与原图形平行， 平移以后的函数解析式为：． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 16．（2023秋•瑶海区校级期末）在平面直角坐标系中，将一次函数为常数）的图象向下平移2个单位长度后经过，则的值为 　　． 【分析】根据函数图象的平移规律可得一次函数为常数）的图象向下平移2个单位长度后的解析式为，然后将点代入即可得出答案． 【解答】解：一次函数为常数）的图象向下平移2个单位长度后的解析式为， 将代入中， 得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数图象的平移以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解本题的关键． 一十一．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 17．（2022秋•金寨县期末）已知与成正比例，当时，． （1）求与之间的函数关系式： （2）判断点是否是函数图象上的点，并说明理由． 【分析】（1）利用正比例函数的定义设，然后把已知对应的值代入求出，从而得到与之间的函数关系式； （2）通过一次函数图象上的坐标特征进行判断． 【解答】解：（1）设， 把，代入得， 解得， ， 即与之间的函数关系式为； （2）点不是函数图象上的点． 理由如下： 当时，， 点不是函数图象上的点． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 一十二．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 18．（2023秋•太湖县期末）如图，直线经过点和点，直线经过点，则不等式的解为 　　． 【分析】由图象得到直线与直线的交点的坐标，观察直线落在直线下方的部分对应的的取值即为所求． 【解答】解：直线与直线相交于点， 观察图象得：当时，， 不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 19．（2022秋•亳州期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为 （1）求一次函数和正比例函数的解析式； （2）结合图象直接写出不等式的解集． 【分析】（1）将、两点代入一次函数，解得，，解得一次函数解析式；将点代入正比例函数，解得，易得正比例函数的解析式． （2）根据图象找到不等式的解集即可． 【解答】解：（1）将，代入 得： 解得： 一次函数的解析式为： 把代入 解得： 点的坐标为， 把代入得： 正比例函数的解析式为： （2）不等式的解集即为的解集 由图可得：的解集为：． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据函数图象找到所求的解集． 一十三．一次函数与二元一次方程（组）（共2小题） 20．（2023秋•长丰县期末）如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：当时，， 解得，则点的坐标为， 所以关于，的二元一次方程组中的解为． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 21．（2023秋•蚌埠期末）已知一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，则方程组的解是 　　． 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【解答】解：一次函数与是常数，的图象的交点坐标是， 联立与的方程组的解为：， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 一十四．一次函数的应用（共2小题） 22．（2022秋•金安区校级期末）已知、两地相距4千米．上午，甲从地出发步行到地，乙从地出发骑自行车到地，甲乙两人离地的距离（千米）与甲所用的时间（分之间的关系如图所示．由图中的信息可知，乙到达地的时间为　　 A． B． C． D． 【分析】根据甲60分走完全程4千米，求出甲的速度，再由图中两图象的交点可知，两人在走了2千米时相遇，从而可求出甲此时用了0.5小时，则乙用了小时，所以乙的速度为：，求出乙走完全程需要时间，此时的时间应加上乙先前迟出发的20分，即可求出答案． 【解答】解：因为甲60分走完全程4千米，所以甲的速度是4千米时， 由图中看出两人在走了2千米时相遇，那么甲此时用了0.5小时，则乙用了小时， 所以乙的速度为：，所以乙走完全程需要时间为：（时分，此时的时间应加上乙先前迟出发的20分，现在的时间为8点40． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的应用，弄清乙用的时间和具体时间之间的关联是解题关键． 23．（2023秋•阜阳期末）商店销售1台型和2台型电脑的利润为400元，销售2台型和1台型电脑的利润为350元，该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润元． （1）①求关于的函数关系式； ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （2）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调了元，且限定商店最多的进型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出售这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【分析】（1）①据题意得，， ②利用不等式求出的范围，又因为是减函数，所以取34，取最大值， （2）据题意得，，即，分三种情况讨论，①当时，随的增大而减小，②时，，，随的增大而增大，分别进行求解． 【解答】解：（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；根据题意得 解得 ，即， ②据题意得，，解得， ，， 随的增大而减小， 为正整数， 当时，取最大值，则， 即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大． （2）据题意得，，即， ①当时，随的增大而减小， 当时，取最大值， 即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大． ②时，，， 即商店购进型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数值的增大而确定值的增减情况． 一十五．一次函数综合题（共1小题） 24．（2023秋•泗县期末）学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法． （1）【学有所用】如图1，在等腰中，，其一腰上的高为，是底边上的任意一点，到腰、的距离、分别为、，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：； （2）【尝试提升】如图2，在中，，是边上一点，使，过上一点，作，垂足为点，作，垂足为点，已知，，求的长． （3）【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点到的距离是2，求的值． 【分析】（1）根据即可证明； （2）由（1）知，，即可求解； （3）当点在线段上时，由（1）知，，则，则，进而求解；当点在延长线上时，同理可解． 【解答】（1）证明：连接，由题意得，，， ， ， ， 又，， ， ； （2）解：由（1）知，； （3）解：由直线、的表达式知，点、、的坐标分别为：、、， 则， 则为等腰三角形； 当点在线段上时， 由（1）知，，则，则， 则， 过点作轴的平行线交轴于点，交过点和轴的平行线于点， 则； 当点在延长线上时， 由（1）知，当点在延长线上时，同理可得：． 即， 则无解； 当点在延长线上时， 同理可得：， 即， 同理可得：； 综上，或． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的应用、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是相交添加常用辅助线，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型． 一十六．三角形的角平分线、中线和高（共2小题） 25．（2023秋•金寨县期末）用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据高线的定义即可得出结论． 【解答】解：，，都不是的边上的高， 故选：． 【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 26．（2022秋•霍邱县期末）如图，在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设 【分析】先根据是边上的中线得出，设，，则，再根据，，即可得出和的值． 【解答】解：是边上的中线，， ， 设，，则， ， ，， 即，， 解得：，， 即，． 【点评】本题考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 一十七．三角形的面积（共1小题） 27．（2021秋•涡阳县期末）如图所示，在中，、、分别为、、的中点，且，则的面积等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积． 【解答】解：，为的中点， ， 为的中点， ， 为的中点， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线平分三角形的面积是解题的关键． 一十八．三角形的稳定性（共1小题） 28．（2021秋•安庆期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是　　 A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：． 【点评】此题考查三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答． 一十九．三角形三边关系（共2小题） 29．（2021秋•金寨县期末）为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可． 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， 不可能． 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 30．（2021秋•八公山区期末）三角形的三边长分别为5，，8，则的取值范围是 　　． 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【解答】解：由题意，有， 解得：． 【点评】考查了三角形的三边关系，还要熟练解不等式． 二十．三角形内角和定理（共2小题） 31．（2023秋•泗县期末）如图，，于点，为钝角，的平分线与的平分线交于点，则的度数为　　 A． B． C． D．无法确定 【分析】过点作，利用平行线的性质与判定可求解，结合垂直的定义可求解，再利用角平分线的定义可得，最后由三角形的内角和定理可求解． 【解答】解：过点作， ， ， ， ， ， 于点， ， ， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，构造平行线是解题的关键． 32．（2023秋•金寨县期末）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，求的度数． 【分析】根据三角形的内角和定理可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质可得，即可求出的度数． 【解答】解：在中，，， ， 是的平分线， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 二十一．三角形的外角性质（共1小题） 33．（2022秋•南谯区期末）如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③；④．正确的是　　 A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【分析】根据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，． 【解答】解：为外角的角平分线，平分， ，， 又是的外角， ，故①正确； ，分别平分，， ，， ，故②、③错误． 平分，平分， ，， ， 是的外角， ，故④正确． 综上所述，①④正确． 故选：． 【点评】本题考查角平分线的性质以及三角形外角性质知识点，本题运用了数形结合的数学思维．解题关键在于对角平分线的性质以及三角形外角性质知识点熟练掌握． 二十二．全等三角形的性质（共2小题） 34．（2023秋•庐阳区校级期末）如图所示，在中，、分别是边、上的点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的性质得出，，根据邻补角定义求出、的度数，根据三角形的内角和定理求出即可． 【解答】解：， ，， ，， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查对全等三角形的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义等知识，判断的直角三角形是解此题的关键． 35．（2022秋•怀远县期末）如图，，，，、相交于点，则度数为　　． 【分析】先根据全等三角形对应角相等求出，，所以，然后求出的度数，再根据和的内角和都等于，所以． 【解答】解：， ，， 又，， ， ，， ， 在和中， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要利用全等三角形对应角相等的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 二十三．全等三角形的判定（共2小题） 36．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，、是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】由、是锐角的高，可得，又，，故，可得，，再由边的关系即可求出的长． 【解答】解：、是锐角的高 ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；结合已知条件发现并利用是正确解答本题的关键． 37．（2022秋•凤阳县期末）如图，点、在上，，，． 求证：． 【分析】求出，根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】证明：， ， 即， ， ， 在和中 ． 【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 二十四．全等三角形的判定与性质（共2小题） 38．（2023秋•青阳县期末）如图，已知，为的角平分线，且，为延长线上的一点，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有　　 个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由证明，可得，可得①正确，再根据角平分线和全等三角形的性质得出②正确；证出，得出，因此，③正确；根据三角形的三边关系得到④错误，即可得出结论． 【解答】解：①为的角平分线， ， 在和中，， ，①正确； ②为的角平分线，，， ， ， ，， ，②正确； ③由②得：， 又， ， ， ，③正确； ④，， ， ，故④错误， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的面积关系等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 39．（2023秋•青阳县期末）如图，把△放置在平面直角坐标系中，已知，，，，点在第四象限，则点的坐标是　　． 【分析】过点作轴于点，通过角的计算可找出，结合、，即可证出△△，根据全等三角形的性质即可得出、，再结合点、的坐标即可得出、的长度，进而可得出点的坐标． 【解答】解：过点作轴于点，如图所示． ，， ，， ． 在△和△中，， △△， ，． ，， ，，， 点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，利用全等三角形的判定定理证出△△是解题的关键． 二十五．全等三角形的应用（共2小题） 40．（2022秋•宣州区期末）如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带　　去． A．① B．② C．③ D．④ 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【解答】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的； 第②、③只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； 第④块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 最省事的方法是应带④去， 故选：． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 41．（2022秋•亳州期末）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小明在自己家阳台处测得处的俯角为，小华站在处测得眼睛到楼端点的仰角为，发现与互余，已知米，米，米． （1）求证：； （2）求单元楼的高． 【分析】（1）过点作，垂足为，根据题意可得：，米，米，，，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，然后利用证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）利用全等三角形的性质可得米，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点作，垂足为， 由题意得： ，米，米，，， ， ， ， 米， 米， ， ； （2）， （米， （米， 单元楼的高为39米． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二十六．角平分线的性质（共2小题） 42．（2023秋•凤阳县期末）如图，已知平分，于点，，，，则　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】过作于，由角平分线的性质推出，由平行线的性质推出，因此，得到． 【解答】解：过作于， 平分，于点， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查角平分线的性质，含角的直角三角形，平行线的性质，关键是由平分线的性质得到，由含角的直角三角形的性质得到． 43．（2023秋•瑶海区期末）如图，在△中，，平分交于，，，则 　　． 【分析】过点作边上的高，由已知，，可求，再利用角平分线性质证明即可． 【解答】解：过点作，垂足为， 由得 解得 平分交于， ． 故填1． 【点评】本题考查了角平分线的性质及三角形面积公式的灵活运用．正确作出辅助线是解答本题的关键． 二十七．线段垂直平分线的性质（共2小题） 44．（2021秋•东至县期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，的周长为　　 A．16 B．13 C．19 D．10 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：是的垂直平分线，， ，， 的周长为13， ， 的周长， 故选：． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 45．（2023秋•和县期末）如图，在△中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． （1）若是的中点，求证：； （2）若，求证：△为等边三角形． 【分析】（1）连接，证出△是等边三角形，得出，则可得出结论； （2）证出，由等边三角形的判定可得出结论． 【解答】（1）证明：连接， 是边的垂直平分线， ， 为的中点， ， ， ，为的中点， ， ， △是等边三角形， ， ； （2）证明：，， ， ， ， △为等边三角形， ， ， 的垂直平分线为， ， △为等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 二十八．等腰三角形的性质（共1小题） 46．（2023秋•庐阳区期末）等腰三角形有一个角是，则它的顶角度数是　　． 【分析】等腰三角形一内角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况． 【解答】解：（1）当角为顶角，顶角度数即为； （2）当为底角时，顶角． 故答案为：或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 二十九．等腰三角形的判定（共1小题） 47．（2020秋•包河区期末）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，，求的周长． 【分析】（1）首先依据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形； （2）首先证明，从而得到的长，然后可求得的长，于是可求得的周长． 【解答】证明：（1）， ，． 平分， ． ． ． 是等腰三角形． （2）是的中点， ． ， ． 由对顶角相等可知：． 在和中， ． ． ， ． ． 的周长． 【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键． 三十．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 48．（2022秋•合肥期末）如图，已知在中，平分，于点，过点作，交于点． （1）若，则的长为 　　； （2）若，则的长为 　　． 【分析】（1）证明，此为解题的关键性结论；证明，即可解决问题． （2）证明为直角斜边的中线，即可解决问题． 【解答】解：（1）平分，， ，， ， ， 故答案为：4； （2），， ， ， ． ， ， ， ． 故答案为：5． 【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等几何知识点的应用问题；灵活运用有关定理来分析、判断是解题的关键． 三十一．等边三角形的性质（共1小题） 49．（2021春•泗县期末）如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，△、△、△均为等边三角形，若，则△的边长为　　 A．6 B．16 C．32 D．64 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，进而得出答案． 【解答】解：△是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， △、△是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，进而发现规律是解题关键． 三十二．等边三角形的判定与性质（共1小题） 50．（2021秋•颍东区期末）如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、． （1）当时，试判断的形状，并说明理由； （2）探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 【分析】（1）首先根据已知条件可以证明，然后利用全等三角形的性质可以求出的度数，由此即可判定的形状； （2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）是等边三角形， ， 而是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， 而，， ， 是直角三角形； （2）设，，，， 则，，， ， ， ， 即， ①要使，需， ， ； ②要使，需， ； ③要使，需， ， ． 所以当为、、时，三角形是等腰三角形． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键． 三十三．含30度角的直角三角形（共1小题） 51．（2022秋•贵池区期末）如图，等边的边长为4，是的边上的高，过点作于点，则的长是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，根据，即可求解． 【解答】解：等边的边长为4，是的边上的高， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 三十四．命题与定理（共2小题） 52．（2023秋•包河区期末）下列可以作为命题“若，则”是假命题的反例是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】此题主要考查了利用举反例说明一个命题错误，要证明一个例题不成立，可以通过举反例：即符合命题条件，但不符合命题结论． 【解答】解：当，时，，而， ，但是， ，是假命题的反例． 其他选项不能说明； 故选：． 【点评】本题考查命题与定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 53．（2020秋•包河区期末）（1）如图，，，点在射线上，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题，请画出图形，并写出你所选取的的长约为 　　（精确到． （2）为锐角，，点在射线上，点到射线的距离为，，若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 　　． 【分析】（1）答案不唯一，可以取； （2）当或时，三角形是唯一确定的； 【解答】解：（1）取， 如图在和中满足，两个三角形不全等． 故答案为：答案不唯一如：． （2）若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是或， 故答案为或． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三十五．轴对称的性质（共1小题） 54．（2021秋•岳西县期末）如图，点为的边上一点，点，关于对称，若，，则线段的长度为 　　． 【分析】证明，可得结论． 【解答】解：，， ， ，关于对称， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查轴对称的性质，线段的和差定义等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型． 三十六．轴对称图形（共1小题） 55．（2023秋•宁国市期末）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 三十七．作图-轴对称变换（共1小题） 56．（2023秋•和县期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）． （1）画出关于轴对称的△； （2）画出向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的△． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）如图，△即为所求． 【点评】本题考查作图轴对称变换、平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． 三十八．利用轴对称设计图案（共1小题） 57．（2022秋•淮南期末）将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的性质得出，分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形即可． 【解答】解：如图所示： 【点评】此题主要考查了轴对称图形的画法以及轴对称图形的性质，轴对称图形的考查是重点题型同学们应熟练掌握． 三十九．轴对称-最短路线问题（共2小题） 58．（2023秋•颍泉区校级期末）如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，当周长最小时，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、，此时周长最小，推出，进而得出的度数． 【解答】解：延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、． ， 、关于对称，、关于对称， 此时的周长最小， ，， ，同理：， ，， ，， ， ， ， ． ， 故选：． 【点评】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 59．（2023秋•南陵县期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 　　． 【分析】在上取一点，使得，证明得到，进而推出当、、三点共线，且时，有最小值，即此时最小，最小值为的长，里面面积法求出的长即可得到答案． 【解答】解：在上取一点，使得，如图所示： 平分， ， ，， ， ， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值，即此时最小，最小值为的长， 的面积为12， ， 又， ， 最小值为4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 四十．坐标与图形变化-平移（共1小题） 60．（2023秋•安庆期末）点向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标是 　　． 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所求点的坐标是，进而得到答案． 【解答】解：点向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标是， 即：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$