精品解析：湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年湖北省鄂州市部分高中教科研协作体高二（上） 期中数学试卷及解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设直线l的倾斜角为θ，先求出直线的斜率，结合直线的斜率与倾斜角的关系，分析可得答案. 【详解】根据题意，设直线的倾斜角为，直线经过点 , 则直线的斜率 , 则有 , 而 ，则有 . 故选: A 2. 在四棱柱中，若，，，点为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可求出结果. 【详解】 , 故选：C. 3. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由方程表示圆可得，再由点在圆外即可得，求得实数的取值范围是. 【详解】易知圆可化为，可得，即； 又在圆外部，可得，解得； 可得. 故选：B. 4. “五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析这六场比赛甲的情况为：赢输赢输赢赢，利用独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】因连胜两场者赢得比赛，故要使比赛6场后甲赢得比赛，则在这六场比赛中，甲的情况依次为：赢输赢输赢赢， 故比赛6场后甲赢得比赛的概率为：. 故选：B. 5. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】判出直线恒过定点，再判定点与圆位置关系可得直线和圆位置关系. 【详解】由，所以直线恒过定点， 因为，所以点在圆的内部， 所以直线与圆相交. 故选：B. 6. 已知直线，，，若且，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由直线平行、垂直的判断方法求出a、b的值，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，直线，，， 若，则有，解可得，则， 若，则有，解可得，故. 故选：D. 7. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆有公共点，则两圆相交或相切，利用圆心距与半径的关系列不等式求实数的取值范围. 【详解】解法一： 圆的方程化标准方程为，所以圆是以为圆心，1为半径的圆. 设，由以为圆心，1为半径的圆与圆有公共点， 得关于的不等式有解，即有解， 所以，解得或. 故选：B. 解法二： 圆的方程化标准方程为，所以圆是以为圆心，1为半径的圆. 又直线上存在点，使以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点， 所以只需圆与直线有公共点即可. 由，解得或. 故选：B. 8. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明平面，以点为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立的空间直角坐标系，利用点到面的距离可求解. 【详解】解：由题意得： 因为，为中点 所以 又，与交于点A，平面，平面 所以平面 以点为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 故， 所以 所以 又，，设平面的法向量，则 令，则，，所以.点到平面的距离为，解得或（舍） 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，；B选项，；C选项，，C正确；D选项，若相互独立，则相互独立，利用进行求解. 【详解】对于A，若，则，A正确； 对于B，若，则事件互斥， 所以，B错误； C选项，因为，所以，则相互独立，C正确； D选项，若相互独立，则相互独立，且， 所以，D错误． 故选：AC． 10. （多选）在正方体中，，，则（ ） A. 若，则点P的轨迹为线段 B. 若，则点P的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C. 若，则三棱锥的体积为定值 D. 若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】以点A为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出点P的坐标，可判断AB选项；利用空间向量法求点到面的距离和线面角的余弦值可判断CD选项. 【详解】以点A为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对于A选项，当，时，则三点共线， 即点P的轨迹为线段，A错； 对于B选项，若，即点， 此时，点P的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，B对； 对于C选项，若，即点，其中， ，设平面的法向量为， 则，取，可得， 又，则点P到平面的距离为为定值， 因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C对； 对于D选项，若，则，其中， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则， 当时，取最小值，此时取最大值，且， 则， 因此当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，D错. 故选：BC. 11. 若点的坐标是，圆关于直线对称，是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 点在直线上 B. 的取值范围是 C. 以为直径的圆过定点 D. 若直线与圆切于点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心在直线上，即可求出点的轨迹方程，从而判断A；令，利用圆心到直线的距离不小于半径求出的取值范围，即可判断C；判断，且点、都在直线上，即可判断C；求出，即可求出，即可判断D. 【详解】圆即，则圆心，半径， 因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以，即，所以点在直线上，故A正确； 令，因为是圆上的动点，所以， 解得，所以的取值范围是，故B错误； 因为，且点的坐标满足方程， 即点、都在直线上，当、不重合时，，所以， 则以为直径的圆过定点，当、重合时，也满足题意， 故以为直径的圆过定点，故C正确； 由直线与圆相切，所以， 所以要使取最小，只要最小 又的最小值就是点到直线的距离， 所以，即，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平行求出的值，根据向量坐标运算求出结果. 【详解】∵，，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 13. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆、曲线的对称性，只需分析与圆只有一个交点即可，分相切与相交两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】圆的圆心为坐标原点，关于轴对称， 因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称， 所以只需研究与圆只有一个交点即可， 当与圆相切时，则， 当与圆相交时（只有一个交点），则， 综上可得的取值范围为. 故答案为： 14. 先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上的一面点数分别为a，b，则函数是定义域为R的偶函数的概率为______. 【答案】. 【解析】 【分析】由分步计数原理分析的可能情况，由幂函数的性质得到为正偶数，列举出符合题意的的情况，由古典概型公式计算可得答案. 【详解】根据题意，先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上的一面点数分别为a，b， 则a、b都有6种情况，故的可能情况有种， 若函数是定义域为R的偶函数，则为正偶数， 则符合题意的有， ，共13种情况， 故是定义域为R的偶函数的概率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 直线与直线相交于点P，直线l经过点P. （1）若直线，求直线l的方程； （2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先求点坐标，由垂直关系得斜率后求解， （2）由题意得过原点或斜率为后求解 【小问1详解】 联立得即. 因为，不妨设直线l的方程为， 将点代入，得， 所以直线l的方程为. 【小问2详解】 当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即； 当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为， 将点代入，得， 所以直线l的方程为，即. 综上所述，直线l的方程是或. 16. 已知圆和点. （1）过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）求出以点为圆心，半径为的圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线AB的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； 【小问2详解】 因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 联立，两式相减整理可得：， 即EF所在的直线方程为. 17. 如图，在四棱锥中，，，，点为棱上一点． （1）证明：； （2）当二面角的余弦值为时，求． 【答案】（1） 因为，所以，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直先证平面，再利用线面垂直的性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，则． 由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 可知，设， 则， 设平面的一个法向量， 则即令，解得，， 故， 设平面的一个法向量为， 由，得令，解得，故， 所以， 即，整理，得，解得或（舍去）． 故． 18. 有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率． （1）恰有两名同学拿对了书包； （2）至少有两名同学拿对了书包； （3）书包都拿错了． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先列出全部事件的24个样本点，根据古典概型可知： （1）恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，概率为， （2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，概率为， （3）书包都拿错了包含9个样本点，概率为 【小问1详解】 设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为 ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 共有24种情况． 恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为 ，，，，，， 故其概率为． 【小问2详解】 至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为 ，，，，，，， 故其概率为． 【小问3详解】 书包都拿错了包含9个样本点，分别为 ，，，，，， ，，， 故其概率为． 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为. （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，. ①求证：； ②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 【答案】（1） （2）①证明：由余弦定理可得： ，且, 所以， 即， 消去，则有： 即； ②. 【解析】 【分析】（1）根据平面，平面，平面两两垂直，得，即可求解； （2）①根据余弦定理及勾股定理即可证明； ②建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为平面，平面，平面两两垂直， 所以， 所以球面三角形ABC的面积； 【小问2详解】 ①略； ②由题意可知是球的直径，则有, 又， 所以平面， 又因为平面， 所以, 又因为， 所以平面，平面， 所以， 又因为直线与平面所成的角分别为，， 所以， 不妨令， 则，， 又因为,,, 以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系： 设， 则 可得， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以； 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以， 要使取最小值，则取最大值， 因为 令， 则， 所以 当且仅当时等号成立， 则的最大值为， 所以取最小值为. 【点睛】方法点睛：在涉及求直线与平面、平面与平面所成角时，利用空间向量法求解更简单些. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖北省鄂州市部分高中教科研协作体高二（上） 期中数学试卷及解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在四棱柱中，若，，，点为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. “五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 6. 已知直线，，，若且，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 7 7. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 10. （多选）在正方体中，，，则（ ） A. 若，则点P的轨迹为线段 B. 若，则点P的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C. 若，则三棱锥的体积为定值 D. 若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 11. 若点的坐标是，圆关于直线对称，是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 点在直线上 B. 的取值范围是 C. 以为直径的圆过定点 D. 若直线与圆切于点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 13. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______. 14. 先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上的一面点数分别为a，b，则函数是定义域为R的偶函数的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 直线与直线相交于点P，直线l经过点P. （1）若直线，求直线l的方程； （2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 16. 已知圆和点. （1）过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 17. 如图，在四棱锥中，，，，点为棱上一点． （1）证明：； （2）当二面角的余弦值为时，求． 18. 有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率． （1）恰有两名同学拿对了书包； （2）至少有两名同学拿对了书包； （3）书包都拿错了． 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为. （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，. ①求证：； ②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $