专题08 二次函数应用题分类训练（6种类型60道）-2024-2025学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题08 二次函数应用题分类训练（6种类型60道） 目录 【题型1 拱桥问题】 1 【题型2 喷水问题】 4 【题型3 最大利润】 9 【题型4 面积最大值】 12 【题型5 动点问题】 14 【题型6 其他问题】 18 【题型1 拱桥问题】 1．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面的宽为20米，如果水位上升3米，则水面的宽是10米． (1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)当水面宽度为25米时，相对于正常水位下降了多少米？ (3)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3．6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 2．正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽，水面距离拱桥顶端． (1)把桥拱看作一个二次函数的图像的一部分，如图建立平面直角坐标系，求出这个函数的表达式； (2)如果水位以的速度持续上涨，经过多长时间拱桥下水面宽 3．如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面米时，水面宽米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： (1)如图2，直接填空点坐标为_______，点坐标为________．该抛物线的函数解析式为__________． (2)当水面下降米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） (3)当水面上升米时，水面宽度减少多少米？（保留根号） 4．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型． (1)建立合适的平面直角坐标系，并确定这座桥的函数表达式； (2)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 5．图1是一座拱桥，拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为米时，水面离桥洞最大距离为4米，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系． (1)求该拱桥抛物线的解析式； (2)当河水上涨，水面离桥洞的最大距离为2米时，求拱桥内水面的宽度． 6．如图是一座抛物线形石拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面． (1)如图平面直角坐标系中，求该抛物线的解析式； (2)在（1）条件下，点在图象上，求的值． 7．如图为抛物线形拱桥平面示意图，拱顶离水面，水面宽．以现有水平面的水平直线为轴，与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线解析式； (2)如图（1），若水面下降，水面宽度增加多少？ (3)如图（2），为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”，露出水平面部分为，使点，在抛物线上，点，为露出水面的端点，若确保点，的间距不少于，求的最大长度． 8．图1为广安某新建公园的抛物线形拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米时，拱顶离水面的距离为米． 当地政府拟在公园投放游船供游客乘坐，图3是游船载重最少时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：米，米，米，米．为确保安全，拟在桥底P，Q两处设置航行警戒线，要求： ①游船底部HI在点P，Q之间通行； ②载重最少时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．若以所在直线为轴，点D为原点建立直角坐标系，请解答以下问题： (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)求警戒线之间宽度的最大值．（当最大时，船身H与P重合，或I与Q重合） 9．图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．    (1)以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 10．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连而建成．图所示是其中一座较小的抛物线形钢拱，已知该抛物线对应的函数关系式为．    (1)求该钢拱的跨度的长度； (2)为了保护钢拱的安全，在该钢拱平行于桥面处的，两点装有两盏警示灯，现已知这两盏警示灯的水平距离为米，求这两盏灯距桥面的高度是多少米？ 【题型2 喷水问题】 11．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管应多长？ 12．如图1，草坪地面上有一个可垂直升降的草坪喷灌器，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在点处，水线落地点为，；若喷水口上升到点处，水线落地点为． (1)若喷水口在点处，求水线最高点与点之间的水平距离． (2)当喷水口在点处时，求水线的最大高度． (3)若喷水口从点处向上平移到点处，水线落地点为，求的长． 13．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷灌架米处有一棵3米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 14．周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 15．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 16．护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 17．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边缘的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，喷水口点H是下边缘抛物线 的最高点，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边缘的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程． (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由 (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围． 18．上饶市经开区市民广场音乐喷泉灯光秀（图1）在暑期晚间开放，喷泉加上灯光的陪衬，变幻莫测，吸引了众多游客前来观赏，音乐喷泉可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，若把音乐喷泉形状看做抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为． (1)若，且喷出的抛物线水线最大高度达，求此时、的值； (2)若=1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ (3)若，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求的取值范围． 19．某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)游乐园决定对喷水设施做如下设计改进，在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 米，各方面喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合．请求出扩建改造后喷水池水柱的最大高度？ 20．某公园要在圆形水池上修建喷泉，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示圆形水池的半径，以O为坐标原点，以线段所在直线为x轴，以水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．按照设计师的设计，水管的高度为，且抛物线型水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，且高度为，此时喷泉的观赏效果最佳．    (1)求抛物线型水柱的解析式； (2)若此时有一个工人在清理水池，已知工人的身高为，求他站在距离A点多远以内会被水淋湿？ (3)为了使喷泉更加美观，如图所示，设计人员计划在中心水管上面延长一段增加一个喷水头，并使得该喷水头喷出的抛物线型水柱也在与池中心的水平距离为处达到最高，且比原抛物线水柱高，且落地处B点与点O的距离比短，则延长的水管高度应该设计为多少？ 【题型3 最大利润】 21．某商场销售一种商品，进价为每个元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于元．经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示： 每个商品的售价x（元） … … 每天的销售量y（个） … … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式； (3)不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？ 22．某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； (2)求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 23．“秋风响，蟹脚痒”，秋风送爽之时，正是蟹肥膏红之日．某品牌大闸蟹的进价为每只20元，售价为每只30元，每天可卖出180只．商家决定采取适当的涨价措施，经调查发现：如果每只大闸蟹的售价每上涨1元，则每天就会少卖出10只，但每只售价不能高于35元．设每只大闸蟹的售价上涨x元，每天的销售总利润为y元． (1)用含x的式子表示：涨价后每只大闸蟹的利润是__________元，每天的销售量为__________只； (2)写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围； (3)每只大闸蟹的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 24．小明大学毕业后积极自主创业，在网上创办了一个微店，销售一款太阳能美化路灯，该灯的成本是40元盏通过调研发现，若按50元盏销售，一个月可售出500盏；为了提高利润，小明准备涨价，若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏． (1)小明想让太阳能美化路灯的月销售利润为8000元，则太阳能美化路灯的销售单价应定为多少元？ (2)太阳能美化路灯的销售单价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 25．“高山云雾出好茶”，大田美人茶缘起台湾，盛于大田，是海峡两岸协作发展的智慧结晶．某茶叶经销商对其中一款大田美人茶的销售情况展开调查，发现：当该款美人茶的销售单价（每千克的价格）为800元时，每周的销量为50千克；销售单价每上涨10元，每周销量减少1千克．已知该款美人茶的进货价为600元/千克．为了维护消费者利益，物价部门规定，该款美人茶的售价不能超过1000元/千克．针对该经销商销售该款美人茶的有关情况，回答以下问题： (1)当销售单价定为900元时，每周可销售多少千克？ (2)若每周获得利润11250元，则销售单价应定为多少元？ (3)要使每周获得的利润最大，销售单价应定为多少元？最大利润是多少？ 26．2021年2月25日全国脱贫攻坚总结表彰大会在人民大会堂隆重举行，毛相林被授予《全国脱贫攻坚楷模》称号．他带领村民发展柑橘、桃树、西瓜三大产业．若柑橘的种植成本为10元/斤，售价不低于15元/斤，不高于30元/斤． (1)每日柑橘销售量y（斤）与售价x（元/斤）之间满足如图函数关系式．求y与x之间的函数关系式； (2)若每天销售利润率在，求每日销售的最大利润； (3)毛相林带领科技队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少a元（），已知每日最大利润为2312元，求a的值． 27．3月29日，“联农兴商促消费，产销对接助振兴”，2024湖北农产品产销对接武陵山（宜昌）片区行活动在长阳土家族自治县开幕，多家省内农产品生产流通企业和全国各地采购商现场洽谈、产销对接，现场意向签约额达数亿元．为推广产品，某厂家决定为采购商让利，已知该厂家的产品的成本为每件20元，如图是采购单价（元）与采购数量（件）的关系图象．    (1)请写出当时，采购单价（元）与采购数量（件）的函数解析式； (2)某采购商采购了一批该厂家的产品，共付款55200元，则采购商的采购数量是多少件？ (3)为践行“大美宜昌”理念，该厂家决定每卖出一件产品就捐款元，在采购数量为件的情况下，该厂家的所获最大利润为28800元，求的值． 28．国家鼓励大学生自主创业，王磊在某市政府的扶持下创建了自己的公司，今年受新型冠状病毒的影响，该公司投资生产一种成本为每瓶10元的免洗手酒精消毒凝胶，并投放市场进行销售，销售过程中发现，该产品每天销售量（瓶）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：． (1)设该公司每天获得利润为（元），求与之间的函数解析式； (2)如果该公司想要每天获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ (3)根据物价部门规定，这种免洗手酒精消毒凝胶的销售单价不得高于24元，如果该公司想要每天获得的利润不低于2000元，那么该公司每天的成本最少需要多少元？（成本=成本价销售量） 29．习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为8元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，． (1)若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； (2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 30．已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． (1)设每件涨价x元，则每星期实际可卖出商品 件，每星期售出商品的利润y与x之间的函数关系式为 ，x的取值范围是 ，每星期售出商品的最大利润是 元； (2)涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元？ (3)设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元． ①请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； ②确定x的值，使每星期售出商品的利润最大，并求出最大利润． 【题型4 面积最大值】 31．某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，y有最大值?最大值是多少? 32．如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另三边的总长为60米．设的长为x米． (1) ________米，车棚的面积是________平方米．（用含x的代数式表示） (2)若墙长为25米，求当x为多少时，矩形车棚的面积最大，并求出最大值． 33．一个直角三角形的两直角边长的和为，其中一直角边长为，三角形的面积为． (1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当时，求y的值； (3)求这个三角形的面积y的最大值． 34．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为平方米． (1)如果花圃的面积为45平方米，那么的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，花圃面积最大？ 35．如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)与之间是 函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)求出与之间的函数关系式（写出自变量取值范围）； (3)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 36．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了20米木栏． (1)若米，所围成的矩形菜园的面积为32平方米，求利用旧墙的长； (2)若米，求矩形菜园面积的最大值． 37．如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏． (1)若，所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长； (2)若，求矩形菜园面积的最大值． 38．如图，小明利用围墙的一段（围墙最长可利用8米），再砌三面墙，围成一个矩形菜园，并在段留有1米宽的门（该处不消耗墙的材料），现在已经备足可以砌15米长的墙的材料． (1)要使菜园的面积为30平方米，不计墙的厚度，求段的长． (2)请问为多长时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，并求出最大值． 39．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙.另三边用总长为的栅栏围住（如图）若设绿化带的边长为，绿化带的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，满足条件的绿化带面积最大． 40．如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为y平方米． (1)若矩形的面积为平方米，求x的值； (2)当矩形的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积． 【题型5 动点问题】 41．如图，在矩形中，，，点在线段上，点从点开始，沿边以的速度向点移动．点为线段的中点，点从点开始，沿以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果点、分别从点、同时出发，设运动时间为（秒），的面积为． (1) ， （用含的代数式表示）； (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当多边形的面积为时，求的值． 42．如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从A点出发沿以的速度向B运动．P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)当为何值时，的面积最大？ 43．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，的速度沿运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运动的时间为 (1)用含t的式子表示和， ； ； (2)当t为何值时，的面积为； (3)当t为何值时，的面积最大，并求出的最大面积． 44．如图，在矩形中，．点P从点A开始沿方向向点B以的速度移动，同时，点Q从点B开始沿边向C以的速度移动．如果两点分别到达两点停止移动． (1)求运动几秒钟时，五边形的面积为？ (2)移动几秒钟时的面积最大？并求出面积的最大值？ 45．图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 46．如图，在中，，，．点P从A点开始沿A边向点B以秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以秒的速度移动（一个点到达终点另一个点即停止运动）． (1)几秒钟后，P、Q相距6厘米？ (2)经过几秒钟，的面积等于是的三分之一？ (3)经过几秒钟，的面积最大，最大面积是多少？ 47．如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以秒的速度沿方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以秒的速度沿方向向终点B运动，过点P、Q分别作边的垂线段、，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（），四边形P的面积为． (1)t为何值时，为等边三角形？ (2)是否存在某一时刻t，使四边形的面积S等于的面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 48．如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A，两点同时出发，设运动时间为，    (1)___________，___________，___________； (2)为何值时的面积为？ (3)为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 49．如图在长方形中，，，动点从点出发以的速度匀速向终点运动，当点出发后动点从点出发，沿折线——以的速度向终点运动，设点的运动时间为（ ）． (1)求的长度．（用含的代数式表示） (2)连接、，当为直角三角形时，求的值． (3)设以、、、为顶点的四边形的面积为，用含的代数式表示． (4)当在（3）条件下的四边形为梯形时，且梯形面积等于，求的值． 50．与是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，、分别是直角边、的中点．位置固定，按如图叠放，使斜边在直线上，顶点与点M重合．等腰直角以1厘米/秒的速度沿直线向右平移，直到点与点N重合．设x秒时，与重叠部分面积为y平方厘米． (1)求y与x的函数关系式； (2)当与重叠部分面积为平方厘米时，求移动的时间． 【题型6 其他问题】 51．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． (1)求和的解析式； (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 52．“1分钟跳绳”是厦门市体育测试的自选项目之一．为了促进大家对跳绳运动的喜爱，提升兴趣．某班举行多人跳绳游戏．当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为． (1)求绳子所对应的抛物线表达式； (2)身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？ 53．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．    (1)求池底所在抛物线的解析式； (2)若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，求水面下降的高度． 54．图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． (1)当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； (2)如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 55．如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离 单位：与他在水平方向上移动的距离 单位：近似满足二次函数关系．已知，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（）与飞行时间（秒） 具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，；当他在点着陆时，飞行时间为秒． ①求与的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间的值． 56．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式； 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？ 57．如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图2平面直角坐标系． 运动员从点滑出，运动轨迹近似抛物线，该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，运动员着陆在线段上，在着陆坡上设置点K（与相距） 作为标准点，着陆点在K点或在K点右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由； (3)直接写出该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值 米． 58．如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为4米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 59．如图1描绘的是宋词《乌夜啼》中“绣香熏被梅烟润，枕簟碧纱厨”的场景：就寝前，被子也要放在熏炉和熏笼上加以熏烘，一来可以让被子气味宜人，二来还可以让炉中炭火把被子烘暖．熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖的用具，可熏香、熏衣、熏被．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2．小明测得熏笼的跨度为80厘米，最大高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为轴建立平面直角坐标系，如图2所示． (1)求抛物线的解析式； (2)现有一批直径10厘米，高8厘米的圆柱体熏炉，要使熏笼紧贴水平桌面，请通过计算说明熏笼内沿一排最多能放置几个熏炉（每个熏炉底面的一条直径都与重合）？ 60．打水漂是孩子们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点）第一次飞起，飞行的最大高度为米，第二次从距离点，米处的处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第一次飞越时，该抛物线的函数表达式． (2)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式． (3)若此次水漂可以在水面上飞越次，且第一次击打水面时距离河岸米，问水漂能否飞过米宽的河面． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数应用题分类训练（6种类型60道） 目录 【题型1 拱桥问题】 1 【题型2 喷水问题】 12 【题型3 最大利润】 26 【题型4 面积最大值】 38 【题型5 动点问题】 47 【题型6 其他问题】 63 【题型1 拱桥问题】 1．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面的宽为20米，如果水位上升3米，则水面的宽是10米． (1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)当水面宽度为25米时，相对于正常水位下降了多少米？ (3)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3．6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当水面宽度为25米时，相对于正常水位下降了米； (3)在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，求得的值，进一步计算即可求解； （3）当时，求得的值，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 设点，点， 由题意得：， 解得， ∴； （2）解：当时，， ， 当水面宽度为25米时，相对于正常水位下降了米； （3）解：当时，， ∵， ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 2．正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽，水面距离拱桥顶端． (1)把桥拱看作一个二次函数的图像的一部分，如图建立平面直角坐标系，求出这个函数的表达式； (2)如果水位以的速度持续上涨，经过多长时间拱桥下水面宽 【答案】(1)； (2)经过，拱桥下水面宽． 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数模型的建立方法、待定系数法求二次函数解析式的方法、函数自变量与因变量的意义等是解题关键． （1）设所求表达式为，然后应用待定系数法求解即可； （2）当水面宽时，在（）所得函数解析式中，令，可以求出达到警戒水位后拱桥最高点到水面的距离，用这个距离除以水位上涨速度即可得解． 【详解】（1）解：设拱桥所在的二次函数的图象对应的表达式为， ∵ ∴点坐标为， 把代入得 ∴， ∴所求函数表达式为； （2）当水面宽 时， ∴当时， ， ∴函数图象经过， ． 答：经过，拱桥下水面宽． 3．如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面米时，水面宽米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： (1)如图2，直接填空点坐标为_______，点坐标为________．该抛物线的函数解析式为__________． (2)当水面下降米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） (3)当水面上升米时，水面宽度减少多少米？（保留根号） 【答案】(1)，，． (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意可得点 ， ，设该抛物线的函数解析式为，再把点 代入，即可求解； （2）根据题意可得水面下降米，到处时，点的纵坐标为，把代入，可得到水面的宽度，即可求解； （3）根据题意可得当水面上升米时，水位线对应的纵坐标为，把代入，可得到水面的宽度，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为， 当拱顶高水面米时，水面宽米． 点 ， ， 把点 代入得：， 解得：， 该抛物线的函数解析式为； 故答案为：，，． （2）解：水面下降米，到处， 点的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时水面宽度为米， 水面宽度增加米； （3）解：当水面上升米时，水位线对应的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时水面宽度为米， 水面宽度减少米． 4．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型． (1)建立合适的平面直角坐标系，并确定这座桥的函数表达式； (2)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，结合题意得出，，，再利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的的值，比较即可得解． 【详解】（1）解：以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系， 米， ，， 米， ， 设抛物线的解析式为：， 代入点得：，解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：抛物线型方案货船不能顺利通过该桥，理由如下： 当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥． 5．图1是一座拱桥，拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为米时，水面离桥洞最大距离为4米，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系． (1)求该拱桥抛物线的解析式； (2)当河水上涨，水面离桥洞的最大距离为2米时，求拱桥内水面的宽度． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据题意得出，该抛物线顶点坐标为，设该抛物线解析式为，把代入求出a的值即可； （2）根据题意得出水位上升了2米，把代入求出自变量的值，即可求解． 本题主要考查了二次函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】（1）∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，， ∵水面离桥洞最大距离为4米， ∴该抛物线顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）（米）， ∴水位上升了2米， 把代入 得：， 解得：， （米）， 答：拱桥内水面的宽度米． 6．如图是一座抛物线形石拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面． (1)如图平面直角坐标系中，求该抛物线的解析式； (2)在（1）条件下，点在图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数的应用； （1）由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出的值即可； （2）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式是，由图象知，在抛物线上， ∴， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：∵点在图象上， ∴， 解得：． 7．如图为抛物线形拱桥平面示意图，拱顶离水面，水面宽．以现有水平面的水平直线为轴，与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线解析式； (2)如图（1），若水面下降，水面宽度增加多少？ (3)如图（2），为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”，露出水平面部分为，使点，在抛物线上，点，为露出水面的端点，若确保点，的间距不少于，求的最大长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）当，则，解得：，则此时水面宽度为，原先水面宽度为，故可求出增加的长度； （3）设，则，由题意得：，则，故，由开口向下，且，得当时，． 【详解】（1）解：由题意得抛物线经过点，顶点为， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：当，则， 解得：， 则此时水面宽度为， 原先水面宽度为， ∴水面宽度增加； （3）解：， ∴对称轴为直线， 设，则， 由题意得：， ∴， ∴ ， ∴开口向下，由， 得当时，． 8．图1为广安某新建公园的抛物线形拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米时，拱顶离水面的距离为米． 当地政府拟在公园投放游船供游客乘坐，图3是游船载重最少时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：米，米，米，米．为确保安全，拟在桥底P，Q两处设置航行警戒线，要求： ①游船底部HI在点P，Q之间通行； ②载重最少时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．若以所在直线为轴，点D为原点建立直角坐标系，请解答以下问题： (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)求警戒线之间宽度的最大值．（当最大时，船身H与P重合，或I与Q重合） 【答案】(1)； (2)最大值为16.6米． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、勾股定理和解一元二次方程， （1）根据题意可知：，，即可设抛物线解析式为，利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）过点E作，垂足为M，利用勾股定理可求得，有，当距离最大时，求得点E的纵坐标，代入解析式求得对应的点的坐标，则有警戒线之间宽度的最大值． 【详解】（1）解：由题意知：，，设抛物线解析式为 ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为． （2）解：）如图，过点E作，垂足为M，由题意知：，， ∴， ∴（米） ∵， ∴ ∴当距离最大时，点E的纵坐标为： ∴，解得 ∴（米） 答：警戒线之间宽度的最大值为16.6米． 9．图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．    (1)以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 【答案】(1) (2)需要，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）计算出时对应的x的值，进而计算出水面宽度，即可判断． 【详解】（1）解：由题意知，，， ，，顶点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， 拱桥所在抛物线的表达式为； （2）解：需要，理由如下： ， 将代入，得：， 解得， 水面宽度为， 需要采取紧急措施． 10．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连而建成．图所示是其中一座较小的抛物线形钢拱，已知该抛物线对应的函数关系式为．    (1)求该钢拱的跨度的长度； (2)为了保护钢拱的安全，在该钢拱平行于桥面处的，两点装有两盏警示灯，现已知这两盏警示灯的水平距离为米，求这两盏灯距桥面的高度是多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（）当时，求出坐标即可求出的长度； （）由题意得：关于轴对称，由米，则的横坐标为，然后代入即可求解； 本题考查了二次函数的应用和两点间的距离，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，即， 解得：，， ∴，， ∴， ∴该钢拱的跨度的长度为米； （2）解：由题意得：关于轴对称， ∵米， ∴的横坐标为， ∴当时，即， ∴这两盏灯距桥面的高度是米． 【题型2 喷水问题】 11．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管应多长？ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为． 12．如图1，草坪地面上有一个可垂直升降的草坪喷灌器，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在点处，水线落地点为，；若喷水口上升到点处，水线落地点为． (1)若喷水口在点处，求水线最高点与点之间的水平距离． (2)当喷水口在点处时，求水线的最大高度． (3)若喷水口从点处向上平移到点处，水线落地点为，求的长． 【答案】(1)水线最高点与点之间的水平距离为 (2)当喷水口在点处时，水线的最大高度为 (3)的长为 【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）以为单位长度，点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．得出点的坐标为，点坐标为，点的坐标为，进而可得出答案； （2）设喷水口在点处时，喷出的抛物线形水线的解析式为．将坐标代入即可得出答案； （3）根据抛物线形水线的解析式为，当时，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：如图，以为单位长度，点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． ， 点的坐标为，点坐标为， 若喷水口在点处，水线抛物线的对称轴为直线． 点的坐标为， 水线最高点与点之间的水平距离为． （2）设喷水口在点处时，喷出的抛物线形水线的解析式为． 经过点，对称轴与过点的抛物线的对称轴相同， 解得 ． 当时，， 当喷水口在点处时，水线的最大高度为． （3）喷水口从点处向上平移到点处， 抛物线形水线的解析式为． 当时， 解得， 点的坐标为 的长为． 13．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷灌架米处有一棵3米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的应用．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的应用是解题的关键． （1）由题可知，抛物线的顶点为．设水流形成的抛物线为，将点代入，可求，进而可得抛物线解析式； （2）当x=14时，<3，进而可证水流能碰到这棵果树． 【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点为． 设水流形成的抛物线为， 将点代入，得， 解得，， ∴抛物线为； （2）解：能．理由如下； 当x=14时，<3， ∴水流能碰到这棵果树． 14．周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 【答案】(1) (2)当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或 【分析】本题考查二次函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，解方程求出自变量x的值，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为，将代入得： ， 解得， ， 答：抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 他与小江的水平距离为或， 答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或． 15．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【答案】(1)； (2)能达点处，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据函数项点坐标且过，可设抛物线解析式为，再用待定系数法解答即可求解； （）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值即可判断求解； （）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解； 本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为，将点代入得， ， 解得， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）解：能达点处，理由如下： 由题意知，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移个单位得到 ， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令，可得， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线经过， ∴水流能到达点处； （3）解：由题意得，消防员从点前进到点(水流从点射出)处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到， ∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式为， ∵水流未达到最高点且恰好到达点处， ∴过点，且对称轴， ∴， 将点代入得，， 解得或（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 16．护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】(1) (2)18米 (3)米 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二次函数平移等知识，熟练掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入并求解，即可获得答案； （2）对于抛物线，令，求解即可获得答案； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为，再确定点坐标，将点坐标代入，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为， 将代入，可得， 解得 ， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）对于抛物线， 令，可得， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为18米； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为， 对于直线：， 令，可得， 解得，即， 将点代入， 可得， 解得， ∴浇灌装置还要升高米． 17．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边缘的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，喷水口点H是下边缘抛物线 的最高点，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边缘的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程． (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由 (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围． 【答案】(1)8米 (2)不能，见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键． （1）求得顶点，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）当时，根据题意得，，再算出当时，的值即可判定． （3）根据，求出点的坐标，利用题意可得的最大值为最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得点A横坐标为2，纵坐标为， 所以上边缘抛物线的顶点为， 设：， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得(舍去)， ∴喷出水的最大射程为米； （2）当时，根据题意得，， ∴当时，， ∵， ∴当时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． （3）∵， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得(舍去)， ∴的最大值为， 当时，， 解得(舍去)， 当下边缘抛物线经过点时，的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 18．上饶市经开区市民广场音乐喷泉灯光秀（图1）在暑期晚间开放，喷泉加上灯光的陪衬，变幻莫测，吸引了众多游客前来观赏，音乐喷泉可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，若把音乐喷泉形状看做抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为． (1)若，且喷出的抛物线水线最大高度达，求此时、的值； (2)若=1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ (3)若，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)9米 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． （1）根据抛物线的顶点在直线上，抛物线为，且喷出的抛物线水线最大高度达，可以求得a，b的值； （2）根据，喷出的水恰好达到岸边，抛物线的顶点在直线上，可以求得抛物线的对称轴x的值，从而可以得到此时喷出的抛物线水线最大高度； （3）抛物线的顶点在直线上可得b的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边可知其对称轴，可得a的范围． 【详解】（1）解：的顶点为，抛物线的顶点在直线上，，抛物线水线最大高度达， ∴，， 解得，，， 即，且喷出的抛物线水线最大高度达，此时a、b的值分别是，2； （2）解：，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边，抛物线的顶点在直线上， ∴此时抛物线的对称轴为直线， 当时，， 即此时喷出的抛物线水线最大高度是9米； （3）解：的顶点为，抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得：， ∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边， ，即：， 解得：． 19．某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)游乐园决定对喷水设施做如下设计改进，在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 米，各方面喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合．请求出扩建改造后喷水池水柱的最大高度？ 【答案】(1) (2)扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键． （1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出a值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，代入点可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． 【详解】（1）由喷出的水柱为抛物线，在距水池中心4米处达到最高，高度为6米，设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （2）解：当时， ． 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． ∵该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为， ∵ ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 20．某公园要在圆形水池上修建喷泉，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示圆形水池的半径，以O为坐标原点，以线段所在直线为x轴，以水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．按照设计师的设计，水管的高度为，且抛物线型水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，且高度为，此时喷泉的观赏效果最佳．    (1)求抛物线型水柱的解析式； (2)若此时有一个工人在清理水池，已知工人的身高为，求他站在距离A点多远以内会被水淋湿？ (3)为了使喷泉更加美观，如图所示，设计人员计划在中心水管上面延长一段增加一个喷水头，并使得该喷水头喷出的抛物线型水柱也在与池中心的水平距离为处达到最高，且比原抛物线水柱高，且落地处B点与点O的距离比短，则延长的水管高度应该设计为多少？ 【答案】(1)抛物线水柱的解析式为 (2)站在距离A点以内会被水淋湿 (3)延长的水管高度应该设计为 【分析】本题考查了二次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把代入，进而可求出他站在距离A点多远以内会被水淋湿； （3）求出新抛物线的最高点为，设新抛物线的解析式为，代入求出函数解析式，然后令即可求解． 【详解】（1）由于抛物线水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为， ∴设抛物线水柱的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线水柱的解析式为． 当时，即， 解得 (舍)或， ∴抛物线水柱落地处离池中心的最大距离为， ∴抛物线水柱的解析式为． （2）由(1)知， ∴当时，解得， ∴距离A点的距离为：， ∴站在距离A点以内会被水淋湿． （3）∵比原抛物线最高处高， ∴新抛物线的最高点为， ∴设新抛物线的解析式为， ∵， ∴新抛物线过点， 将代入抛物线中， 解得， ∴新抛物线的解析式为， 当时，， ， ∴延长的水管高度应该设计为． 【题型3 最大利润】 21．某商场销售一种商品，进价为每个元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于元．经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示： 每个商品的售价x（元） … … 每天的销售量y（个） … … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式； (3)不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当售价定为元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）设y与x的函数表达式为，在表格选择两点代入一次函数解析式中，用待定系数法求解即可． （2）根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式． （3）将（2）中解析式化为顶点式，根据顶点式即得最值情况． 【详解】（1）∵y与x满足一次函数关系， ∴设y与x的函数表达式为， 将，代入中， 得 ， 解得， 由每个商品售价不低于进价，且不高于，可得， ∴y与x之间的函数表达式为． （2）由题意可知进价为每个元， 又有每个商品的售价x元， 则每千克利润为元， ∴ ∴w与x之间的函数表达式为 （3）由（1）可知，， ∵， ∴抛物线开口向下， 且， ∴当时， w有最大值， 元． ∴当售价定为元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是元． 22．某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； (2)求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【答案】(1)每件衬衫的售价90元 (2)每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键． （1）设每件衬衫的售价上涨x元，则且（即），即可求解； （2）由结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每件衬衫的售价上涨x元，由题意得： 且（即）， 解得：（舍弃）， ∴， 答：每件衬衫的售价90元 （2）解：每件衬衫的售价上涨x元，月利润是y元， 则， ∴，开口向下， ， ∴当时，y有最大值，最大值为； 此时每件衬衫的售价为（元）， 答：每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元． 23．“秋风响，蟹脚痒”，秋风送爽之时，正是蟹肥膏红之日．某品牌大闸蟹的进价为每只20元，售价为每只30元，每天可卖出180只．商家决定采取适当的涨价措施，经调查发现：如果每只大闸蟹的售价每上涨1元，则每天就会少卖出10只，但每只售价不能高于35元．设每只大闸蟹的售价上涨x元，每天的销售总利润为y元． (1)用含x的式子表示：涨价后每只大闸蟹的利润是__________元，每天的销售量为__________只； (2)写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围； (3)每只大闸蟹的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)，； (2) (3)每只大闸蟹的售价为元时，每天可获得最大利润，最大利润是元． 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据销售总利润每只利润销售量，得出y与x的函数关系式，再根据每只售价不能高于35元，确定自变量x的取值范围即可； （3）将二次函数化为顶点式，确定最值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，涨价后每只大闸蟹的利润是元，每天的销售量为只， 故答案为：，； （2）解：由题意可知，， 每只售价不能高于35元， ， y与x的函数关系式； （3）解：， ， 当时，有最大值， 即每只大闸蟹的售价为元时，每天可获得最大利润，最大利润是元． 24．小明大学毕业后积极自主创业，在网上创办了一个微店，销售一款太阳能美化路灯，该灯的成本是40元盏通过调研发现，若按50元盏销售，一个月可售出500盏；为了提高利润，小明准备涨价，若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏． (1)小明想让太阳能美化路灯的月销售利润为8000元，则太阳能美化路灯的销售单价应定为多少元？ (2)太阳能美化路灯的销售单价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)太阳能美化路灯的销售单价应定为60元或80元 (2)当太阳能美化路灯的销售单价定为70元时，能获得最大月销售利润，最大利润为9000元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值问题，理解题意，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设销售单价为x元，根据总利润单个利润数量，列一元二次方程求解即可； （2）设月销售利润为y元，销售单价为x元，根据题意得出x与y的关系式，再根据二次函数的性质，即可求出最大值． 【详解】（1）解：设销售单价为x元， 由题意得， 整理得：， 解得：，， ∴太阳能美化路灯的销售单价应定为60元或80元； （2）解：设月销售利润为y元，销售单价为x元， 依题意可得： ， ∵， ∴当时，y有最大值为9000， ∴当太阳能美化路灯的销售单价定为70元时，能获得最大月销售利润，最大利润为9000元． 25．“高山云雾出好茶”，大田美人茶缘起台湾，盛于大田，是海峡两岸协作发展的智慧结晶．某茶叶经销商对其中一款大田美人茶的销售情况展开调查，发现：当该款美人茶的销售单价（每千克的价格）为800元时，每周的销量为50千克；销售单价每上涨10元，每周销量减少1千克．已知该款美人茶的进货价为600元/千克．为了维护消费者利益，物价部门规定，该款美人茶的售价不能超过1000元/千克．针对该经销商销售该款美人茶的有关情况，回答以下问题： (1)当销售单价定为900元时，每周可销售多少千克？ (2)若每周获得利润11250元，则销售单价应定为多少元？ (3)要使每周获得的利润最大，销售单价应定为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1)40千克； (2)850元； (3)当定价为950元时，每周销售获得的利润最大，最大利润为12250元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，一元二次函数的应用． （1）根据“销售单价每上涨10元，每周销量减少1千克”列式计算即可； （2）设每周要获利11250元，销售单价应定为x元，则每千克的利润为，销量为，再根据每周获得的利润每千克的利润销量列出方程，解方程即可； （3）设定价为元时，每周销售获得的利润为元，由（2）得，再由二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：因为， 所以当售价为900元时，每周可销售该款美人茶40千克； （2）解：设每周要获利11250元，销售单价应定为x元， 依题意，， 即， ∴，， ∵物价部门规定，售价不能超过1000元/千克， ∴舍去， ∴若每周获得利润11250元，则销售单价应定为850元； （3）解：设定价为元时，每周销售获得的利润为元． 由（2）知， ． ∵， ∴当时，取得最大值12250． 答：当定价为950元时，每周销售获得的利润最大，最大利润为12250元． 26．2021年2月25日全国脱贫攻坚总结表彰大会在人民大会堂隆重举行，毛相林被授予《全国脱贫攻坚楷模》称号．他带领村民发展柑橘、桃树、西瓜三大产业．若柑橘的种植成本为10元/斤，售价不低于15元/斤，不高于30元/斤． (1)每日柑橘销售量y（斤）与售价x（元/斤）之间满足如图函数关系式．求y与x之间的函数关系式； (2)若每天销售利润率在，求每日销售的最大利润； (3)毛相林带领科技队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少a元（），已知每日最大利润为2312元，求a的值． 【答案】(1) (2)1408元 (3)的值为4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数及二次函数的应用，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键． （1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，把和代入即可求出结果； （2）由每天销售利润率不低于，且不高于可求出的取值范围，设每日销售利润为元，利用二次函数模型即可求出最大利润； （3）设成本每斤减少元后每日销售利润为元，由和确定当时，利润最大，从而得出关于的方程，解出方程即可求得的值． 【详解】（1）解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为， 由题意得：当时，；当时，； ， 解得：， ， 答：与之间的函数关系式为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 设每日销售利润为元， ， ， 开口向下， 对称轴为：直线，， 随 的增大而增大， 当时，利润最大为（元， 答：每日销售的最大利润为1408元． （3）解：设成本每斤减少元后每日销售利润为元，则， 对称轴为：直线， ， ， ， 当时，利润最大， ， 解得：，（不合题意舍去）， 答：的值为4． 27．3月29日，“联农兴商促消费，产销对接助振兴”，2024湖北农产品产销对接武陵山（宜昌）片区行活动在长阳土家族自治县开幕，多家省内农产品生产流通企业和全国各地采购商现场洽谈、产销对接，现场意向签约额达数亿元．为推广产品，某厂家决定为采购商让利，已知该厂家的产品的成本为每件20元，如图是采购单价（元）与采购数量（件）的关系图象．    (1)请写出当时，采购单价（元）与采购数量（件）的函数解析式； (2)某采购商采购了一批该厂家的产品，共付款55200元，则采购商的采购数量是多少件？ (3)为践行“大美宜昌”理念，该厂家决定每卖出一件产品就捐款元，在采购数量为件的情况下，该厂家的所获最大利润为28800元，求的值． 【答案】(1) (2)1200件 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，一元二次方程，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是列出函数解析式，确定自变量的范围． （1）设的解析式为：，将，代入其中利用待定系数法即可求解； （2）根据题意得出，可列出．解方程求得结果； （3）设厂家的利润为，由题意得，根据，得到对称轴的大概位置，进而确定顶点在自变量取值范围内，从而得出结果． 【详解】（1）解：设的解析式为：， 将，代入其中可得：，解得：， ∴当时，； （2）解：∵当时，，此时总款是， 当时，，此时总款是， ∵， ∴， 由得，， 整理得：． ∴，（舍去）， 答：采购商的采购数量是1200件； （3）解：设厂家的利润为，由题意得， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，（舍去）， ∴． 28．国家鼓励大学生自主创业，王磊在某市政府的扶持下创建了自己的公司，今年受新型冠状病毒的影响，该公司投资生产一种成本为每瓶10元的免洗手酒精消毒凝胶，并投放市场进行销售，销售过程中发现，该产品每天销售量（瓶）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：． (1)设该公司每天获得利润为（元），求与之间的函数解析式； (2)如果该公司想要每天获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ (3)根据物价部门规定，这种免洗手酒精消毒凝胶的销售单价不得高于24元，如果该公司想要每天获得的利润不低于2000元，那么该公司每天的成本最少需要多少元？（成本=成本价销售量） 【答案】(1) (2)销售单价应定为20元或30元 (3)该公司每天的成本最少需要1600元． 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，理解题意，正确列出函数关系式是解题关键． （1）根据利润=（销售单价-单瓶成本）×销售量解答即可； （2）令（1）所求函数关系式中，求解即可； （3）由题意结合（2）可得出，设该公司每天的成本为P，，最后根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意有：． ∵， ∴， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：令，则， 解得：，， 答：销售单价应定为20元或30元； （3）解：由（2）可知该公司想要每天获得的利润不低于2000元，则， ∵这种免洗手酒精消毒凝胶的销售单价不得高于24元， ∴． 设该公司每天的成本为P，则， ∵， ∴P随x的增大而减小， ∴当时，P最小，且， 答：该公司每天的成本最少需要1600元． 29．习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为8元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，． (1)若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； (2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先求出销售量y（个）与销售单价x（元）一次函数关系，再根据利润销售量（销售单价成本）得到与之间的函数关系式， （2）利用二次函数的性质结合已知条件求解即可． 【详解】（1）解：设销售量y（个）与销售单价x（元）一次函数关系为， 当时，；当时，． ，解得 ， ∴ ， （2）解：， ，抛物线开口向下，在的左侧，随的增大而增大， 时，有最大值，最大值为元． 答：当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元． 30．已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． (1)设每件涨价x元，则每星期实际可卖出商品 件，每星期售出商品的利润y与x之间的函数关系式为 ，x的取值范围是 ，每星期售出商品的最大利润是 元； (2)涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元？ (3)设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元． ①请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； ②确定x的值，使每星期售出商品的利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)25元 (3)① ②；6125元 【分析】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式，然后利用当，时，y有最大值k；当，时，y有最小值k等性质解决实际问题． （1）根据涨价时，每涨价1元，每星期要少卖出10件，可列出销售量的代数式，根据总利润=单件利润×销售量列出函数表达式即可； （2）根据总利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； （3）根据涨价的函数表达式，利用二次函数的性质解答． 【详解】（1）解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件， ∴每星期实际可卖出件， ∴， ∵， ∴； ∵． ∴当时，， ∴在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是元6250． 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：涨价25元时，每周售出商品的利润为2250元； （3）解：① ； ②， 当时，， 当时，每星期售出商品的利润最大，最大利润为6125元． 【题型4 面积最大值】 31．某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，y有最大值?最大值是多少? 【答案】(1) (2)当时，y有最大值，最大值为， 【分析】本题考查了二次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由求出自变量x的取值范围即可； （2）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由（1）知， 化成顶点式：， ∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为， 32．如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另三边的总长为60米．设的长为x米． (1) ________米，车棚的面积是________平方米．（用含x的代数式表示） (2)若墙长为25米，求当x为多少时，矩形车棚的面积最大，并求出最大值． 【答案】(1)， (2)x=时，矩形车棚的面积最大，y最大值为437.5平方米 【分析】本题考查了列代数式和求二次函数的最值，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）利用60减去的长即可得的长，再根据矩形的面积公式即可得出答案； （2）由（1）可知，根据题意可知x的取值范围，进而即可求出面积最大值． 【详解】（1）解：四边形是矩形，设的长为x米， 则米， 米， 米， 车棚的面积为平方米， 故的长为米，车棚的面积为平方米； （2）， ∵， ∴， ∴时，y最大值． 33．一个直角三角形的两直角边长的和为，其中一直角边长为，三角形的面积为． (1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当时，求y的值； (3)求这个三角形的面积y的最大值． 【答案】(1)； (2)16； (3)这个三角形的面积y的最大值为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键． （1）根据两直角边之间的关系可得出另一条直角边为，利用三角形的面积计算公式，即可找出y与x之间的函数关系式，结合各直角边均为正值，即可得出x的取值范围； （2）把代入，即可求出y值； （3）配方成顶点式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直角三角形的两条直角边的和为，且它的一条直角边长为， ∴另一条直角边为， ∴直角三角形的面积， ∴y与x之间的函数关系式； （2）解：当时，； （3）解：∵， ， ∴当时，y有最大值，最大值为． 34．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为平方米． (1)如果花圃的面积为45平方米，那么的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，花圃面积最大？ 【答案】(1)5米 (2)米 【分析】本题主要考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉． （1）依据题意，可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式，再将代入其中，求出的值即可． （2）可根据（1）中解析式化成顶点式即可判断得解． 【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽为米，则为米， 这时面积． 花圃的面积为45平方米， ． ，． 又墙的最大可用长度为10米， ． ． ，不合题意，舍去． 的长为5米． （2）解：． 当时，有最大值． 故当的长为时，花圃面积最大． 35．如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)与之间是 函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)求出与之间的函数关系式（写出自变量取值范围）； (3)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)二次 (2) (3)当时，小花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用．关键是根据题意列出二次函数解析式，并根据函数的性质求最值． （1）根据矩形的面积公式即可进行列式写出函数解析，即可得； （2）由（1）可得解析式，再利用墙长得到自变量取值范围； （3）根据函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：矩形小花园边的长为，则边的长为， ， 与之间是二次函数关系， 故答案为：二次； （2）解：由（1）知，， ， ， 与之间的函数关系式为； （3）解：由（1）知，， ，， 当时，有最大值，最大值为， 答：当时，小花园的面积最大，最大面积是． 36．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了20米木栏． (1)若米，所围成的矩形菜园的面积为32平方米，求利用旧墙的长； (2)若米，求矩形菜园面积的最大值． 【答案】(1)4米 (2)50平方米 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数的应用等知识，解题的关键根据旧墙的长度判断函数最值． （1）设，则，根据矩形的面积列方程即可解决问题； （2）根据矩形面积列出二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 由题意得，， 解得：或， 当时，，不符合题意， 当时，， ∴旧墙的长为4米； （2）解：设，则，设面积为， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为． 37．如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏． (1)若，所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长； (2)若，求矩形菜园面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数的性质等知识，解题的关键根据旧墙的长度判断函数最值． （1）设，则，根据矩形的面积列方程即可解决问题； （2）根据矩形面积列出二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）设，则， 根据题意得， 解得，， 当时，，不合题意舍去； 当时，， 答：的长为； （2）设，矩形菜园面积为 ， ∴对称轴为直线， ，， S随x的增大而增大， 当时，S的最大值为． 答：矩形菜园面积的最大值为． 38．如图，小明利用围墙的一段（围墙最长可利用8米），再砌三面墙，围成一个矩形菜园，并在段留有1米宽的门（该处不消耗墙的材料），现在已经备足可以砌15米长的墙的材料． (1)要使菜园的面积为30平方米，不计墙的厚度，求段的长． (2)请问为多长时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，并求出最大值． 【答案】(1)的长为5米； (2)当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为32平方米． 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设的长为米，则的长为米，根据菜园的面积为30平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合围墙最长可利用8米，即可得出结论； （2）设矩形面积为S平方米，根据题意表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设的长为米，则的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：的长为5米； （2）解：设矩形面积为S平方米， 根据题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S有最大值32， 当时，，符合题意． ∴当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为32平方米． 39．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙.另三边用总长为的栅栏围住（如图）若设绿化带的边长为，绿化带的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，满足条件的绿化带面积最大． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法． （1）根据矩形面积公式即可求得y与x的函数关系式，结合墙长即可得到x的取值范围； （2）根据函数的性质以及x的取值范围求最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， 自变量的取值范围是； （2）解：， ，， 当时，有最大值，为平方米， 即当时，满足条件的绿化带面积最大． 40．如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为y平方米． (1)若矩形的面积为平方米，求x的值； (2)当矩形的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积． 【答案】(1) (2)当矩形的面积最大时，利用的墙长是米，求此时的最大面积为平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）由题意知，且，可求，依题意得，，令，则，计算求出满足要求的解即可； （2）由题意知，，由，对称轴为直线，可知当时，矩形的面积最大，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，且， ∴， 依题意得，， 令，则，整理得，， 解得，（舍去）或， ∴x的值为； （2）解：由题意知，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，矩形的面积最大，可利用的墙长是（米），此时的最大面积为（平方米）， ∴当矩形的面积最大时，利用的墙长是米，求此时的最大面积为平方米． 【题型5 动点问题】 41．如图，在矩形中，，，点在线段上，点从点开始，沿边以的速度向点移动．点为线段的中点，点从点开始，沿以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果点、分别从点、同时出发，设运动时间为（秒），的面积为． (1) ， （用含的代数式表示）； (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当多边形的面积为时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，函数的性质，解一元二次方程等知识点， （1）根据路程＝速度×时间，列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列函数关系式即可； （3）根据多边形面积，可以求出的面积，代入（2）的函数关系中求解t即可． 正确列出线段的代数式是本题解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 故答案为：；； （2）解：， ∵P到B所用时间为：，Q到C所用时间为：， ∴， ∴S与t的函数关系式为：； （3）解：∵多边形的面积为， ∴的面积为：， 令，得 解得：，（舍去）， ∴． 42．如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从A点出发沿以的速度向B运动．P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)当为何值时，的面积最大？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际应用： （1）由四边形为矩形，，，可得，，，结合，再解方程即可； （2）由题意可得：，建立函数模型，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，且， ∴， ∴， 解得：或； ∴当或3时，的面积为． （2）解：由题意可得：， ∵， ∴当时，有最大值． 43．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，的速度沿运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运动的时间为 (1)用含t的式子表示和， ； ； (2)当t为何值时，的面积为； (3)当t为何值时，的面积最大，并求出的最大面积． 【答案】(1)， (2)或时，的面积为 (3)时， 【分析】本题考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用t表示三角形的面积是解题关键． 利用两点运动的速度表示出的长； 表示出的面积，由此得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出答案； 利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：，， ， ， 解得或， 当或时，的面积为； （3）解：， 故时，． 44．如图，在矩形中，．点P从点A开始沿方向向点B以的速度移动，同时，点Q从点B开始沿边向C以的速度移动．如果两点分别到达两点停止移动． (1)求运动几秒钟时，五边形的面积为？ (2)移动几秒钟时的面积最大？并求出面积的最大值？ 【答案】(1)，两点出发2秒或4秒时，五边形的面积为 (2)当时，有最大值，最大值为9． 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）根据秒时，、两点的运动路程，分别表示、的长度，可得的面积，利用五边形的面积为，列得一元二次方程，求解即可； （2）求得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：第秒钟时，，故，， 故， ． 由题意得； 解得：或4， 即，两点出发2秒或4秒时，五边形的面积为． （2）解：由（1）得， ，，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为9． 45．图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 【答案】(1)；；补全函数图象见解析 (2) (3) 平分 时 的值为 【分析】（1）根据当 时，从点正好运动到点，即可求出运动速度，根据当 时， ，求出的长，然后用，即可算出的长，根据时，，补全图象即可； （2）分或两种情况下，使的面积为的值不小于的的取值范围，即可求出结果； （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知条件写出、、、的坐标，根据点为的中点，写出点的坐标，求出用表示的的函数关系式，把点的坐标代入，解关于的方程即可得出的值． 【详解】（1）解：图是点在上运动时，与的函数图象， 当 时，从点正好运动到点， ， 点运动的速度， 当 时， ， 即， ， ， ； 当时，， 当时，从运动到点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：；；补全图象见解析． （2）当时，，， ，即， 整理得， 解得：， ， ； 当时，， ，即， 解得：， ； 综上分析可知，当时，的面积为的值不小于． （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则点坐标为，点坐标为，点的坐标为，点坐标为， 平分， 点为的中点， 点的坐标为：， 设直线的解析式为，把、两点的坐标代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得：，（舍去）， 即平分时的值是． 【点睛】本题主要考查了动点问题，一次函数关系式，二次函数关系式，解不等式，以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，用函数的思想解决问题（3），是解题的关键． 46．如图，在中，，，．点P从A点开始沿A边向点B以秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以秒的速度移动（一个点到达终点另一个点即停止运动）． (1)几秒钟后，P、Q相距6厘米？ (2)经过几秒钟，的面积等于是的三分之一？ (3)经过几秒钟，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)秒 (2)2秒或4秒 (3)经过3秒钟，的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出线段长度及利用二次函数的性质求出最值，是解答本题的关键． （1）设运动时间为x秒，根据勾股定理构建方程求解即可； （2）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； （3）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式求出的面积，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， ∵， ， ∴， 解得，（舍去）， ∴经过秒钟后，P、Q相距6厘米； （2）解：设运动时间为x秒， 根据题意，得， 解得，， ∴经过2秒或4秒钟，的面积等于是的三分之一 （3）解：设运动时间为x秒， 根据题意，得， ∴当时，有最大值为9， 即经过3秒钟，的面积最大，最大面积是． 47．如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以秒的速度沿方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以秒的速度沿方向向终点B运动，过点P、Q分别作边的垂线段、，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（），四边形P的面积为． (1)t为何值时，为等边三角形？ (2)是否存在某一时刻t，使四边形的面积S等于的面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是运动型综合题，涉及到勾股定理、等边三角形的判定，解一元二次方程． （1）由题意得：，则，当 时，即： ，解得： 即可求解； （2）由题意得：在和中， 按照即可求解． 【详解】（1）由题意得： ，则， 当时， 即： ，解得：， 即：当时，为等边三角形； （2）解：过点C 作于点D， 则， ∴， ∴， 由题意得：， 在和中， ， ， ， 解得：(舍去负值)， 故． 48．如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A，两点同时出发，设运动时间为，    (1)___________，___________，___________； (2)为何值时的面积为？ (3)为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)当秒或4秒时，的面积是； (3)当为3时的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）由题意可直接利用t表示出，和； （2）由三角形的面积公式可求出，结合题意即得出关于t的方程，解出t即可； （3）由（2）可知，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）根据题意得：，， ∴， 故答案为：，，； （2）， 解得：或4， ∵，， ∴， ∴或4都符合题意， ∴即当秒或4秒时，的面积是； （3）由（2）可知， ∵，， ∴当为3时的面积最大，最大面积是． 49．如图在长方形中，，，动点从点出发以的速度匀速向终点运动，当点出发后动点从点出发，沿折线——以的速度向终点运动，设点的运动时间为（ ）． (1)求的长度．（用含的代数式表示） (2)连接、，当为直角三角形时，求的值． (3)设以、、、为顶点的四边形的面积为，用含的代数式表示． (4)当在（3）条件下的四边形为梯形时，且梯形面积等于，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)； (4)或． 【分析】（1）在上和在上两种情况讨论求解即可； （2）由当为直角三角形时，只有，此时，重合，求解即可； （3）分在上，且点在点的左侧，即时，在上，且点在点的右侧，即时，以及当在上，即时，三种情况讨论求解即可； （4）分在上，且点在点的左侧，即时，和当在上，且点在点的右侧，即时，两种情况列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当在上，即时，（）， 当在上，即时，（）， ∴的长度为； （2）解：如图，由题意可得，， 又∵， ∴当为直角三角形时，，此时，重合， ∴当为直角三角形时，； （3）解：如图，当在上，且点在点的左侧，即时， ∵，， ∴， ∴（）， 如图，当在上，且点在点的右侧，即时， ∵，， ∴， ∴（）， 如图，当在上，即时， ∵，，， ∴， ∴（）， 综上可得， （4）解：以、、、为顶点的四边形为梯形时，在上， 当在上，且点在点的左侧，即时，由（）得 ， 解得， 当在上，且点在点的右侧，即时，由（）得 ， 解得， 综上的值为或． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，直角三角形，绝对值，熟练掌握面积公式是解题的关键． 50．与是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，、分别是直角边、的中点．位置固定，按如图叠放，使斜边在直线上，顶点与点M重合．等腰直角以1厘米/秒的速度沿直线向右平移，直到点与点N重合．设x秒时，与重叠部分面积为y平方厘米． (1)求y与x的函数关系式； (2)当与重叠部分面积为平方厘米时，求移动的时间． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）可分三种情况进行讨论：①当在内部时，②当都在△外部时，③当在内部时，根据上述三种情况可得出三个不同的函数解析式； （2）根据函数式即可求出当为时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵两个等腰直角三角形的直角边都为4， ∴， ∵分别是直角边、的中点， ∴， ∴当在上时， 当等于与所截的部分时，， 当在上时，， ①如图1，当时，设交于G，过点M作于H， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； ②如图2，当时，如图， 同理可得， ∴、、是等腰直角三角形， ∴ 即 ③如图3，当时， ， ∴， 同理可得； 综上所述，； （2）解：根据题意，重叠部分面积先变大后变小， ∴只有当在内时，当在内时，重叠部分的面积等于 ①如图1，在内时，重叠部分是平行四边形， 由题意得： 解得：， ②如图3，当在内时，，重叠部分是平行四边形， 由题意得：，， 解得： 综上所述，当与重叠部分面积为平方厘米时，移动的时间为或秒 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质与判定等等，本题的关键是求出重合部分的面积与的函数关系式． 【题型6 其他问题】 51．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． (1)求和的解析式； (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)锅盖不能正常盖上，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【详解】（1）解：由于抛物线、都过点、， 设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得：， 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； （2）解：当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， 此时水面的直径为； （3）解：锅盖不能正常盖上， 理由如下：当时，抛物线， 抛物线， 而， 锅盖不能正常盖上． 52．“1分钟跳绳”是厦门市体育测试的自选项目之一．为了促进大家对跳绳运动的喜爱，提升兴趣．某班举行多人跳绳游戏．当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为． (1)求绳子所对应的抛物线表达式； (2)身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？ 【答案】(1) (2)小明能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的最值等知识点，正确求得抛物线的解析式成为解题的关键． （1）由题意可知抛物线过点，再根据待定系数法求解即可； （2）先将函数关系式化为顶点式，然后求出函数的最值，再与小明的身高作比较即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线经过点． ∴，解得， ∴绳子所对应的抛物线表达式为：． （2）解：小明能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．理由如下： ∵， ∴当时，， ∵， ∴绳子不能碰到小明，小明能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶． 53．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．    (1)求池底所在抛物线的解析式； (2)若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，求水面下降的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由图象可得抛物线的顶点坐标为，设池底所在抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （）分别求出和时的函数值，再相减即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知，抛物线的顶点坐标为， ∴可设池底所在抛物线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴池底所在抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 当时，， ∴水面下降的高度为． 54．图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． (1)当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； (2)如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （2）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 55．如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离 单位：与他在水平方向上移动的距离 单位：近似满足二次函数关系．已知，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（）与飞行时间（秒） 具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，；当他在点着陆时，飞行时间为秒． ①求与的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间的值． 【答案】(1)； (2)①；②。 【分析】（1）将，代入，得，计算求解即可； （2）①设，将，代入，得，计算求解，然后作答即可；②设直线的解析式为，将代入得，，计算求解可确定直线的解析式为，设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，设，则，则，由，可得当时，最大，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得过点，， 将，代入，得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）①解：设， 将，代入，得， 解得， ∴； ②解：由题意得 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键． 56．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式； 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？ 【答案】[建立模型]；[运用模型]张 【分析】本题考查了二次函数的应用． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张． 57．如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图2平面直角坐标系． 运动员从点滑出，运动轨迹近似抛物线，该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，运动员着陆在线段上，在着陆坡上设置点K（与相距） 作为标准点，着陆点在K点或在K点右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由； (3)直接写出该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值 米． 【答案】(1) (2)该运动员的成绩没有达标，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了二次函数的实际应用， （1）由题意可得抛物线的顶点坐标为，且经过点，利用待定系数法即可求出答案； （2）求出直线的表达式为，与二次函数解析式联立求出点E的坐标为，即可得到结论； （3）设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为，则 ，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）该运动员的成绩没有达标，理由如下： 设直线的表达式为，把代入得到， , 解得，， ∴直线的表达式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去） ∴点E的坐标为， 即着陆点与相距， ∵， ∴该运动员的成绩没有达标； （3）设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为， 则 ∴当时，有最大值为， 即该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值， 故答案为： 58．如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为4米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】(1)， (2)大棚的最高处到地面的距离为米 (3)则共需要准备160根竹竿 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键． （1）根据题意，得到的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用二次函数的性质，求出最值即可； （3）令，求出的值，进而确定可以搭建支架的土地面积，再乘以4即可得解． 【详解】（1）解：根据题意可得，点A坐标为，点B坐标为， 将这两点坐标代入得：， 解得， 即； （2）由（1）知，二次函数解析式为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：大棚的最高处到地面的距离为米； （3）令 ，则有， 解得， 又∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又大棚的长为米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米）， 故共需要（根）， 答：共需要准备160根竹竿． 59．如图1描绘的是宋词《乌夜啼》中“绣香熏被梅烟润，枕簟碧纱厨”的场景：就寝前，被子也要放在熏炉和熏笼上加以熏烘，一来可以让被子气味宜人，二来还可以让炉中炭火把被子烘暖．熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖的用具，可熏香、熏衣、熏被．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2．小明测得熏笼的跨度为80厘米，最大高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为轴建立平面直角坐标系，如图2所示． (1)求抛物线的解析式； (2)现有一批直径10厘米，高8厘米的圆柱体熏炉，要使熏笼紧贴水平桌面，请通过计算说明熏笼内沿一排最多能放置几个熏炉（每个熏炉底面的一条直径都与重合）？ 【答案】(1) (2)熏笼内一排最多能放置个熏炉 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，联系实际生活理解清题意，进而求出二次函数解决问题． （1）根据题意设适合的二次函数解析式，找到关键点代入即可得解； （2）根据所给数据，弄清其含义代入求值，即可求解． 【详解】（1）解：∵熏笼的跨度为厘米，高度为厘米， ∴可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：，根据图象可知抛物线经过原点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）令，可得， 解得：， ∴高为厘米的水平距离为：厘米， 可放置的熏炉个数为：(个) ， 故熏笼内一排最多能放置个熏炉． 60．打水漂是孩子们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点）第一次飞起，飞行的最大高度为米，第二次从距离点，米处的处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第一次飞越时，该抛物线的函数表达式． (2)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式． (3)若此次水漂可以在水面上飞越次，且第一次击打水面时距离河岸米，问水漂能否飞过米宽的河面． 【答案】(1)； (2)； (3)不能． 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． （）由题意可得抛物线的顶点坐标，再用顶点式表示抛物线，然后用待定系数法确定顶点式中的参数即可求解； （）同理（）即可求解； （）把代入第二次飞越时抛物线的函数表达式求出的值即可判断求解； 【详解】（1）解：由题意可得，水漂第一次飞越时，该抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线的函数表达式为，把点代入得， ， 解得， ∴第一次飞越时抛物线的函数表达式为； （2）解：∵水漂第二次飞越时最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴水漂第二次飞越时抛物线的顶点的纵坐标为， 又∵第二次飞越时抛物线与原来的抛物线形状相同， ∴可设第二次飞越时抛物线的函数表达式为，把代入得， ， 解得（不合，舍去），， ∴第二次飞越时抛物线的函数表达式为； （3）解：把代入得， ， ∴水漂不能飞过米宽的河面． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$