专题07 二次函数综合题（共40道）-2024-2025学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题07 二次函数综合题（共40道） 一、单选题 1．如图，函数经过点，对称轴为直线： ； ； ； ；若点、在抛物线上，则； （为任意实数），其中结论正确的有（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列四个命题： ①当时，； ②若，则； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点关于抛物线对称轴的对称点为，点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．二次函数（，，为常数，）的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③若点 在该二次函数的图象上，则； ④若方程的两根为，，则． 其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①，②，③，④若点在二次函数的图像上，则关于x的不等式的解集是，其中正确的是（   ） A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②③④ 6．抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，（其中为任意实数）．其中结论正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 8．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：；；函数的最大值为；若关于的方程无实数根，则．正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②；③一元二次方程的两个根是，；④若方程的两根为和，且，则；⑤若点，，是函数图象上的三点，则，其中正确的有（   ）个．    A．5 B．4 C．3 D．2 10．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（   ） ①；②；③若方程没有实数根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．如图为二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤（常数）． A．个 B．个 C．个 D．个 12．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论： ； ； ；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 13．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程无实数根．其中结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．抛物线 的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 15．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间．则下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 18．如图，抛物线与轴交于点顶点坐标是，与轴交点的纵坐标在和之间不含端点在以下结论中： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 19．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示则下列结论：①；②；③；④点，，是该抛物线上的点，则，其中，正确结论的个数是：（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 20．二次函数（其中是常数，），对称轴为直线，函数图象的一部分如图所示，下列说法中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 21．如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是 ．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 22．二次函数的大致图象如图，顶点坐标为，点是抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若方程有两个实数根和，且，则．其中正确的是 ． 23．如图，抛物线与轴交于，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③使是等腰三角形的值有2个；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有 ．（填序号） 24．如图，已知二次函数的图像，下列结论①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为5；其中正确的结论有 （请写出所有正确结论的序号）． 25．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ； ； ； ； ． 其中正确的是 （填序号） 26．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于不同两点，与 轴的交点在 轴正半轴，它的对称轴为直线．有以下结论：①，②，③若点 和 在该图象上，则，④设，是方程的两根，若，则 ．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）． 27．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2，其中正确结论是 （写序号）． 28．如图，二次函数图象的对称轴是直线，直线经过二次函数图象的顶点，下列结论：①；②；③若点，在二次函数的图象上，则；④是方程的一个根，正确的有 ． 29．抛物线（是常数，）经过，且，顶点为点，下列结论：①；②；③不等式的解集为；④连接，若，则．其中正确的结论是 ． 30．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有 （填序号） 31．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中结论正确的是 ．（填序号） 32．函数 为常数的图象如图所示，已知顶点的纵坐标为，则有以下结论： ①时，；②；③方程 有两个相等的实数根； ④当时， ，则当，．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）． 33．二次函数的图象如图所示，抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为，现有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是： ． 34．如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 35．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有 ．（填写序号） 36．如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线x=1，且经过点（0，2）.有下列结论：①abc>0；②；③（m为常数）；④；⑤和x=7时函数值相等；⑥若，，在该函数图象上，则；⑦15a＋c＜0.其中错误的结论是 （填序号）. 37．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有 个． 38．已知二次函数的对称轴是直线，图像如图所示．给出下面五个结论：①；②；③；④为实数，且；⑤．其中正确的有   写出所有正确结论的序号． 39．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①ac>0；②9a+3b+c>0；③若m>n>0，则x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值；④点（﹣，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是 （填写所有正确结论的序号）． 40．二次函数的部分图象如图所示．对称轴为，图像过点，且，以下结论：①；②；③关于不等式的解集：；④；⑤若点，在此函数图象上，则．其中正确的结论是 ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数综合题（共40道） 一、单选题 1．如图，函数经过点，对称轴为直线： ； ； ； ；若点、在抛物线上，则； （为任意实数），其中结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象与轴有两个交点，即可判断； 根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； 根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，即可判断； 根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，推出，再代入，即可判断； 根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断； 对称轴为，，运用二次函数增减性即可判断． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， ， 正确； 抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴右侧， 与异号，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ， 错误； 抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，， ， 错误； 抛物线与轴的一个交点为， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， 正确； ， ， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， ， 错误； 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ，有最小值， 为任意实数， 为任意实数， 正确； 综上所述，正确； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识． 2．如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、根的判别式、抛物线与x轴交点问题等知识，根据图象信息逐个判断即可． 【详解】解：①由图象可得，当时，，故①错误； ②由图象可得，直线与抛物线有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故②正确； ③∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点，与轴交点的横坐标分别为，， ∴对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， 故③错误； ④∵抛物线过点， ∴， ∵当时，，即， 当时，， ∴，即， 解得， 故④正确； ⑤∵抛物线与轴交点的横坐标分别为，， ∴，是的两根， ∴，， ∴， ∵，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确， 综上所述，正确的结论有②④⑤共3个， 故选：C． 3．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列四个命题： ①当时，； ②若，则； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点关于抛物线对称轴的对称点为，点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据二次函数所过象限，判断出y的符号即可判断；②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值即可判断；③根据，，得到，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出，即可判断；④作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点，连接与的和即为四边形周长的最小值．求出的坐标即可解答． 【详解】解：①当时，函数图象过第一、四象限，当时，；当时，，故此命题是假命题； ②二次函数对称轴为直线，当时有，解得，故此命题是真命题； ③∵， ∴， ∴Q点距离对称轴比P点距离对称轴远， 又∵抛物线开口向下， ∴，故此命题是真命题； ④如图，作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点， 连接与的和即为四边形周长的最小值． 当时，二次函数为，顶点纵坐标为，则，则；C点坐标为；则，； 则，． ∴四边形周长的最小值为，故此命题是假命题． 真命题有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称—最短路径问题等，掌握二次函数的性质，轴对称的性质是解决问题的关键． 4．二次函数（，，为常数，）的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③若点 在该二次函数的图象上，则； ④若方程的两根为，，则． 其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线对称轴为，故，再结合抛物线与轴交于正半轴，可得，进而可以判断①；时，，又，从而可以判断②；由，，为对称轴，∴到对称轴直线的距离，比到对称轴直线的距离近，结合图象可以判断③；由图象可得为对称轴，，由于方程的两根为，，，，可得，故可以判断④． 【详解】解：由题意，∵抛物线开口向下， ∴． 又∵抛物线对称轴为． ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴． ∴，故①正确． 由图象可得当时， 又∵， ∴，故②正确． ∵，，为对称轴， ∴到对称轴直线的距离，比到对称轴直线的距离近， 结合图象可得：，故③正确． 由图象可得为对称轴，， ∵方程的两根为，，，， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的有：①②③④． 故选：D． 5．二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①，②，③，④若点在二次函数的图像上，则关于x的不等式的解集是，其中正确的是（   ） A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握对称轴，最值，相应方程的根是解题关键． 根据抛物线的对称轴可判断①对错；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到，即可判断③对错；抛物线的对称性可知，当时，，得到，即可判断②对错；根据二次函数和直线的交点，即可判断④对错． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ∴，①正确； ∵抛物线的顶线坐标为， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴，成立，故③正确； ∵抛物线与轴的一个交点在点和点之间， ∴由抛物线的对称性可知，另一个交点在和之间， 时，， ， ， ， ∴，②正确； ∵抛物线的顶线坐标为，点在二次函数的图像， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴交点的横坐标即为方程的两个实数根， ∵点在二次函数的图像， ∴为其中一个实数根， 根据函数图像对称性，对称轴， ∴另一个实数根是1， ∴关于x的不等式的解集是， ∴④正确， 故选：D． 6．抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，（其中为任意实数）．其中结论正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由抛物线开口向上可知，当时，因而，故该结论正确；由抛物线与轴有两个交点可知，一元二次方程有两个不相等的实数根，因而可得，即，故该结论错误；由与是关于对称轴的对称点可知，与时的函数值相等，而时，因而时，故该结论错误；由抛物线对称轴为直线可得，而时，即，故该结论正确；当时，取得其最小值，而当时，因而可得，即， 故该结论正确；综上，即可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 当时，， ， ， 故结论正确； 抛物线与轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 故结论错误； 与是关于对称轴的对称点， 由抛物线图象的对称性可知，与时的函数值相等， 当时，， 当时，， 故结论错误； 抛物线对称轴为直线， ， 当时，， 即： ， 故结论正确； 当时，取得其最小值，此时， 而当时，， ， 整理，得：， 故结论正确； 综上，正确的结论有，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，求函数值，二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式，轴对称的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及其与一元二次方程的关系是解题的关键． 7．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象和系数的关系，熟练掌握二次函数图象与的关系是解决本题的关键． ①图像可知，且，故①错误；②把代入即可，故②正确；③根据对称的关系和c的大小即可，得到答案，故③正确；④把和分别代入函数式，得到结果即可，故④错误． 【详解】解：①∵， ∴ ∵， ∴故①错误； ②由图象可知：时，； 即，故②正确； ③由图象可知， ∴， 又， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④由图象可知：时，， 又， 即， ∴， ∴故④错误． 8．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：；；函数的最大值为；若关于的方程无实数根，则．正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据抛物线的开口方向和位置一一判断即可；利用抛物线的对称轴公式及抛物线与轴的交点坐标求解即可；根据轴对称的性质求出抛物线与轴的另一个交点坐标，设抛物线的解析式为，当时，的值最大，最大值为；把问题转化为一元二次方程，利用判别式，解一元二次不等式即可．据此即可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ， 故正确； ， ， 又抛物线与轴交于点， ， 即：， 代入，可得： ， 故正确； 抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， 根据轴对称的性质可得，抛物线与轴另一个交点的横坐标为：， 抛物线与轴交于点，， 可以假设抛物线的解析式为， 当时，的值最大，最大值为， 故正确； 无实数根， 无实数根， ，， ， 整理，得：， 解得：， 故正确； 综上所述，正确的有：，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与各项系数符号，根据二次函数的图象判断式子符号，的图象与性质，轴对称的性质，根据一元二次方程根的情况求参数，解一元二次不等式等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 9．已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②；③一元二次方程的两个根是，；④若方程的两根为和，且，则；⑤若点，，是函数图象上的三点，则，其中正确的有（   ）个．    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点情况及对称轴即可判断①；根据对称轴得，进而可判断②；根据抛物线与轴的一个交点为，结合对称轴可得另一个交点坐标，进而可判断③；根据抛物线与函数的交点在轴下方，即可判断④；根据点，到对称轴的距离结合抛物线的开口向上，即可判断⑤． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向上，且与轴负半轴相交， ， 又∵对称轴， ， ∴，故①正确； ②由①得：，则，则②正确； ③根据抛物线与轴的一个交点为，对称轴为可知： 抛物线与轴的另一个交点为：． ∴关于的一元二次方程的两根分别为和，故③正确； ④∵二次函数图象与轴交点坐标为和， ∴二次函数解析式为， 若方程的两根为和，且， 即二次函数与函数的两个交点横坐标为和，且， 则，故④正确； ⑤点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：． 点到对称轴的距离为：． ∵抛物线开口向上， ∴，故⑤错误， 则结论正确的个数有4个， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 10．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（   ） ①；②；③若方程没有实数根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①根据抛物线的性质与图象判断、、的正负性，据此解答即可；②由抛物线与轴的另一个交点在点和之间，得，根据抛物线的对称轴可得，据此判断即可；③根的最大值是，可得抛物线与直线没有交点，则，据此判断即可；④分两种情况讨论求解即可；． 【详解】解：∵抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，抛物线开口向下， ∴，，抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴，抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴， ∴，故②正确； ∵方程没有实数根，抛物线的顶点为， ∴抛物线与直线没有交点， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为直线， ∴在对称轴的右侧， 当时， 在抛物线对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∴，故④正确． 综上，可得正确结论的序号是：②③④． 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的关系． 11．如图为二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤（常数）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象可得，，由对称轴可得，即可判定①②；由抛物线与轴的交点坐标为和，可得当时，把和代入函数式得到即可判断③④；当时，的值最大．此时，，而当时，，可得，据此即可判断⑤，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴上， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线与轴的交点坐标为和， 由图象可知，当时， ∵时，， ∴，故③错误； ∵是抛物线与轴的一个交点， ∴， ∴， ∴，故④错误； 当时，的值最大．此时，，而当时，， ∴， ∴， 即，故⑤正确； 综上，说法正确的有个， 故选：． 12．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论： ； ； ；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况可以判断，根据抛物线顶点纵坐标大于，可以判断，二次函数的图象经过点，再根据图象当时可以判断，由得，即函数与的交点，可以判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴，故正确； 由得：， 即函数与的交点， 如图， ∴，，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 13．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程无实数根．其中结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，二次函数与一元二次方程的关系，先根据抛物线的开口向下和对称轴可得，，即可判断①；再根据抛物线与y轴的交点，可得，然后根据点A的坐标求出，即可得出关于a的不等式，进而得出答案；根据抛物线的顶点坐标为，可得，再整理判断③；最后根据抛物线的顶点坐标为和开口方向，可知抛物线与直线有唯一的交点，即可得出抛物线与直线没有交点，即可判断④． 【详解】∵抛物线的开口向下， ∴，抛物线的对称轴是直线， 即， ∴． 所以①正确； ∵抛物线与y轴的交点在之间（包含端点）， ∴． 当时，， ∴， ∴， 解得． 所以②正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，二次函数的最大值是n， ∴， 即． 所以③正确； ∵抛物线的顶点坐标为，且开口向下， ∴抛物线与直线有唯一的交点， ∴抛物线与直线没有交点， ∴方程没有实数根． 所以④正确． 正确的个数是4个． 故选：D． 14．抛物线 的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系．熟练掌握二次函数图象开口方向，与坐标轴交点的特征，对称轴特征，是解题的关键． 根据二次函数图象与系数的关系．与坐标轴交点的特征，对称轴特征，一一判断即可． 【详解】∵抛物线对称轴是直线，经过， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误， ∵抛物线对称轴是直线，经过， 可知抛物线与x轴还有另外一个交点为， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故②正确， ∵抛物线与x轴交于， ∴， 故③正确， ∵点，均在抛物线上，且当时，y随x的增大而减小， ∴； 故④错误， ∵， 故⑤正确． ∴正确的有②③⑤，共3个． 故选：B． 15．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 16．如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质逐项判断即可得到相关不等式的关系，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则，①错误； 由图象可知，抛物线对称轴，结合①中可得，即，②正确； 如图所示： 当时，，③正确； ，， ， 由①知，则，即，则， ，即，④正确； 综上所述，题中结论正确的是②③④，共3个， 故选：C． 17．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间．则下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由时及抛物线的对称轴可判断②，由抛物线对称轴为直线可判断③，由抛物线顶点坐标及顶点坐标公式可判断④，根据抛物线与直线的交点个数判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ， ∵抛物线对称轴为直线， ， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ， ∴，①正确． 由图象可得时，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴时，，②正确． ∵， ∴， ∴，③不正确． 由函数最大值为可得， ∴，④正确． 由图象可得抛物线与直线有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，⑤正确． 故选：C． 18．如图，抛物线与轴交于点顶点坐标是，与轴交点的纵坐标在和之间不含端点在以下结论中： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质、运用数形结合思想分析问题是解题的关键．把点代入解析式即可判断；由顶点坐标得出对称轴，即可判断；根据抛物线的对称性求得时，，即可判断；由图象可知抛物线与直线没有交点，即可判断；求得，再结合即可判断． 【详解】解：抛物线与轴交于点， ，故正确； 抛物线的顶点坐标是， ， ， ，故错误， 抛物线开口向上，与轴交于点，顶点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点为， 时，， ，故正确； 抛物线开口向上，顶点坐标为， 函数有最小值， 抛物线与直线没有交点， 关于的一元二次方程没有实数根，故错误； ， 抛物线为， 与轴交于点， ， 与轴交点的纵坐标在和之间不含端点， ． ． ，故正确； 故选：B． 19．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示则下列结论：①；②；③；④点，，是该抛物线上的点，则，其中，正确结论的个数是：（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与系数的关系、二次函数与一元二次方程、根与系数的关系、二次函数图像的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②；由函数图像可知有两个不等的实数根，然后再运用根的判别式即可判定③；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大可判断④． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴，即①正确； ∵与x轴的一个交点在和之间， ∴由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即，故②正确； ∵与x轴的一个交点在和之间， ∴有两个不等的实数根， ∴， ∴，即③错误； ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大， ∴，故④错误； 综上，①②正确，共两个． 故选：B． 20．二次函数（其中是常数，），对称轴为直线，函数图象的一部分如图所示，下列说法中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图形与性质．由抛物线的开口方向判断，由抛物线与轴的交点判断，根据对称轴的位置判断及关系，根据抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所有结论进行逐一判断． 【详解】解：①∵开口向下， ∴ 对称轴在轴右边，故． ∴，故①错误； ②由图知：对称轴，即 ∴，故②正确； ③抛物线于轴有两个交点．故，故③正确； ④由图象可知，抛物线与轴的左交点位于 0 和 之间，在两个交点之间时，， 当时，，即： 当时，，即： ∴ ∴，故④正确； ⑤根据当时，，即：，由②将，代入 ∴，故⑤错误； 故正确的个数为：3个． 故选：B． 二、填空题 21．如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是 ．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 【答案】①③⑥ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定①②⑤，根据时的值判定③，由抛物线图象和性质判定④，利用因式分解可判定⑥． 【详解】解：抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交于点和点， 对称轴为直线， 则， ，即，故②不正确； 抛物线开口向上， ∴， ， 抛物线与轴的交点在负半轴，则， ，故①正确； 抛物线过点， 又 ，即，故③正确； 抛物线与轴交于点和点， 当时，由图象可得或，故④不正确； 对称轴为直线，， 当时，抛物线有最小值， 当为任意实数，则， 即，故⑤不正确； 若，且， ∴， ， 整理得， ∵， ∴， ∴，故⑥正确． 综上，正确的有①③⑥． 故答案为：①③⑥． 22．二次函数的大致图象如图，顶点坐标为，点是抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若方程有两个实数根和，且，则．其中正确的是 ． 【答案】①④ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．①由抛物线的对称轴方程，和顶点坐标为，便可用的代数式表示、与，进而代入便可由的取值范围确定此小题的结论正确与否；②点关于直线的对称点为，当，则或，便可确定此小题的结论正确与否；③当时，，当，则，便可确定此小题的结论正确与否；④方程有两个实数根和，可得抛物线与直线交点的坐标，和，，再由抛物线与轴的两个交点坐标分别为和，便可确定此小题的结论正确与否． 【详解】解：①二次函数的大致图象开口向上，顶点坐标为， ,，且， ，， 于是①的结论正确； ②点关于直线的对称点为， 当，则或， 于是②错误； ③当时，， 当，则， 于是③错误； ④方程有两个实数根和，且， 抛物线与直线交点的坐标，和，， 抛物线时，或3， 即抛物线与轴的两个交点坐标分别为和， ， 于是④正确． 故答案为：①④． 23．如图，抛物线与轴交于，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③使是等腰三角形的值有2个；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；由函数的图象可知，，再由可知；分和两种情况求出，再代入，结合点求解即可；由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值． 【详解】∵抛物线与轴交于， ∴对称轴为直线，即，得到， 故①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下，交轴的正半轴于点， ∴，， 又， ， 故，②正确，符合题意； 抛物线，由得 连接，则， 若，则，解得， 又过点， 代入得 解得：， 若，则，解得， 同理可得：， 又由图可知：， 使是等腰三角形的值有2个，③正确，符合题意； 将点代入， ∴， ∴， 过点Q作轴交于点P， 设直线:，过点，则 解得：， ∴直线: 又， ∴直线: ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴当时，的面积最大， 故④不正确，不符合题意； 故答案为：①②③ 24．如图，已知二次函数的图像，下列结论①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为5；其中正确的结论有 （请写出所有正确结论的序号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由抛物线与轴有两个交点可判断②，由当时函数取最大值可判断③，由函数最大值大于2且抛物线开口向下可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ，②正确； 时函数取最大值， ， ，即，③正确． 由图象可得函数最大值大于2， 有两个不相等的实数根，， 有两个不相等的实数根，， 图象对称轴为直线， ，． ， ∴关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4； ④错误． 故答案为：②③ 25．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ； ； ； ； ． 其中正确的是 （填序号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线开口向下则，又抛物线的对称轴为直线，则，由抛物线交轴于正半轴，则，即可判断；由对称轴对称轴的取值范围，可得的正负，即可判断；由抛物线经过得（），由图知，当时，得（），由图知，当时，，得（），联立（）、（）、（）便可求得的取值范围，即可判断；由抛物线的对称轴，，得，进而得，即可判断；由当得，由得，进而得的取值范围，即可判断；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∴， 故不正确； ∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴， 故正确； ∵抛物线经过， ∴（）， 由图知，当时，， ∴（）， 由图知，当时，， ∴（）， 联立（）（）得， 联立（）（）得， ∴， ∴， 故错误； ∵抛物线的对称轴， ∴抛物线的顶点纵坐标应该大于， ∴， ∵， ∴， ∴， 故正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴， 故正确； 综上：正确的结论是， 故答案为：． 26．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于不同两点，与 轴的交点在 轴正半轴，它的对称轴为直线．有以下结论：①，②，③若点 和 在该图象上，则，④设，是方程的两根，若，则 ．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，关键式要会利用对称轴的范围求与的关系，能熟练运用根的判别式．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：图象与轴的交点在轴上方， ， 对称轴为， ，即， 图象开口向下， ， ， ， ①不合题意， 当时，， ， ②不合题意， 根据图象可知，离对称轴越远的函数越小， 到1的距离大于2到1的距离， ， ③符合题意， 若，则，，， ， 若，则，，， ， 若，则，，， ， ， ④符合题意， 故答案为③④． 27．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2，其中正确结论是 （写序号）． 【答案】③④ 【分析】由二次函数的图象的开口向下，抛物线的对称轴为，二次函数的图象与轴交于正半轴，可得，故①不符合题意；由抛物线与轴有两个交点，可得，故②不符合题意；由，结合当时，，可得，故③符合题意；当时，函数最大值为：，当时，函数值为，可得，故④符合题意；由方程有四个根，可得方程与方程各自有两个根，设分别为，，，，则，，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故②不符合题意； ∵， ∴， ∵当时，， ∴，即，故③符合题意； 当时，函数最大值为：， 当时，函数值为， ∴， ∴， ∵， ∴，即：故④符合题意； ∵方程有四个根， ∴方程与方程各自有两个根，设分别为，，，， ∴，， ∴方程有四个根，则这四个根的和为4，故⑤不符合题意； 故答案为：③④． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数的各项系数的符号的判断，二次函数与一元二次方程的关系，熟记二次函数的图象与性质是解本题的关键． 28．如图，二次函数图象的对称轴是直线，直线经过二次函数图象的顶点，下列结论：①；②；③若点，在二次函数的图象上，则；④是方程的一个根，正确的有 ． 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线开口向上可得，根据对称轴为，可得，根据抛物线与轴的交点可得，进而判断①，根据抛物线的对称性可得当与时的函数值相等，进而可知时，函数值小于0，进而判断②，根据抛物线的对称性可得与时的函数值相等，进而根据在对称轴右侧时，随的增大而增大，即判断③，根据直线经过二次函数图象的顶点，可得，进而可得，即可判断④． 【详解】解：根据抛物线开口向上可得，对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点可得， ，故①正确； 对称轴是直线， 当与时的函数值相等， 即 又 故②正确； 对称轴是直线， 与时的函数值相等， 由 ∴在二次函数图象上， 对称轴右侧时，随的增大而增大， 又 ，故③不正确； 直线经过二次函数图象的顶点， 即时，两函数值相等 即 当时，方程，即 是方程的一个根，故④正确 故正确的有①②④， 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的对称性，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 29．抛物线（是常数，）经过，且，顶点为点，下列结论：①；②；③不等式的解集为；④连接，若，则．其中正确的结论是 ． 【答案】①④ 【分析】对于①判断出，，，即可判断符号；对于②，可构造反例函数进行说理；对于③，由 ，化简得到，则，当时，，则，即，而，则，即，再求解即可；对于④，，则，即，当，则，即，根据不等式的性质一步步化简即可． 【详解】解：对于①：抛物线与轴交于正半轴， ， 抛物线经过，且，顶点为点，， 抛物线对称轴，则， ①正确； 对于②：将代入， 得：， ∵， ， 由于等价于， 等价于， 根据不等式的性质，等价于，而， 故矛盾， ∴②错误， 亦可构造反例函数说理②错误，如， 符合，且符合，但是得到与矛盾，故②错误； 对于③： ， ，则， 当时，，则， ， ， ，即， ∴或 ∴不等式可得解集为或，故③错误； 对于④：过点作轴于点， 由可知， ∵是方程的两根， ∴， ∴， 代入，得：， 当，∵， ∴， ∴， ∴为中点， ∴， 当，则， ∴，则，即， 根据不等式的性质化简得：， 同上可求或（舍）， ∴，即，即，同上可得， ∴， 当，则，而， ∴由勾股定理得：， 当，则， ∴当，则， 即，即，则，则，即， ∴， ∴， ∴④正确， 综上所述，正确的选项是①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，勾股定理，角的直角三角形的性质，根与系数的关系，不等式的性质，难度很大综合性很强，熟练掌握知识点是解题的关键． 30．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有 （填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤； 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示， ∴开口向下， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）． ∴ ∴ 故①错误； ∵ ∴ 故③正确； ∵如图： 则图象过点，抛物线开口向下 把代入 ∴ ∴ 故②错误； ∵则图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∵抛物线开口向下 ∴当时， 故④正确的； 把代入， 得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故⑤正确的 故答案为：③④⑤． 31．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据抛物线的开口向上，可判定，根据对称轴为直线，得到，确定，根据抛物线与y轴的交点在负半轴上，可得到，继而得到，判定①正确；根据当时，，结合抛物线的图象，得，可判定②错误；根据，结合抛物线的对称轴为得到，代入可得到，于是可判断③正确；根据题意，得时，函数取得最小值，且为，当时，函数值为，由此得到，整理得， 可判断④正确．解答即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， ∴， 故①正确； ∵当时，， 结合抛物线的图象，得， 故②错误； ∵， ∵对称轴为 ∴， 代入可得到， ③正确； 根据题意，得时，函数取得最小值，且为， 当时，函数值为， 由此得到，整理得， 故④正确． 故答案为：①③④． 32．函数 为常数的图象如图所示，已知顶点的纵坐标为，则有以下结论： ①时，；②；③方程 有两个相等的实数根； ④当时， ，则当，．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴正半轴相交，可判定①；由图象可知，抛物线对称轴在y轴右侧，且与y轴正半轴相交，则，，所以，则，可判定②；根据抛物线顶点P纵坐标为，得与直线只有一个交点，所以方程有两个相等实数根，可判定③；根据抛物线顶点P纵坐标为，求得，从而求得方程的解为，当时， ，，则，当时，，当时，，根据，则，，所以当时，或或，或判定④． 【详解】解：①当时， ， 由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴时，，故①正确； ②由图象可知，抛物线对称轴在y轴右侧，且与y轴正半轴相交， ∴，， ∴， ∴，故②错误； ③∵抛物线顶点P纵坐标为， ∴与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等实数根，故③正确； ④∵抛物线顶点P纵坐标为， ∴ ∴ ∵当时， 解得：， ∵当时， ， ∴ ∴ 当时， 当时， ∵ ∴， ∴当时，或或，故④错误． 综上，正确的有①③， 故答案为：①③． 33．二次函数的图象如图所示，抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为，现有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是： ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系． ①由图象开口及与轴的交点可判断的符号，再根据对称轴判断的符号即可； ②由抛物线的对称轴可推出的关系； ③由图象与轴有两个交点即可判断； ④由图象与的一个交点及对称轴可推出图象与的另一个交点即可得出结论． 【详解】解：图象开口向上 图象与轴的交点在负半轴 抛物线的对称轴是直线 ，故①不正确； 抛物线的对称轴是直线 ，故②正确； 图象与轴有两个交点 ，故③正确； 图象与轴的一个交点坐标为，且对称轴为 图象与轴的另一个交点坐标为 时， ，故④正确． 故答案为：②③④． 34．如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断． 【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④ 35．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法得到，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，即可得到③正确，①错误，根据抛物线与与轴两个交点可以判断出②正确，根据，，，，可以得到，从而得到④正确；根据抛物线的对称性和增减性可以判断出⑤错误，问题得解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得： ， 解得， ，故③正确； 抛物线开口方向向下， ， ，， ，故①错误； 抛物线与轴两个交点， 当时，方程有两个不相等的实数根， ，故②正确； ，， ， 又，， ， 即（其中，故④正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， 可知二次函数，在时，随的增大而减小， ， ，故⑤错误， 正确的有②③④，共3个， 故答案为：②③④． 36．如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线x=1，且经过点（0，2）.有下列结论：①abc>0；②；③（m为常数）；④；⑤和x=7时函数值相等；⑥若，，在该函数图象上，则；⑦15a＋c＜0.其中错误的结论是 （填序号）. 【答案】①⑥ 【分析】①由抛物线开口可得，对称轴是直线x=1可得，可得，经过点（0，2），可得，即可得出； ②根据抛物线与x轴有两个交点，即可得到； ③当时，函数取得最大值，所以当时，，化简即可得到（m为常数）； ④当时，，将，代入，即可算出； ⑤和x=7离x=1距离相同，因此函数值相等； ⑥离对称轴x=1越近，函数值越大，即可得出； ⑦当时，，将代入，即可得出15a＋c＜0． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴是直线x=1， ∴，即， ∴， ∵经过点（0，2） ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵当时，函数取得最大值，最大值为， ∴当时，， ∴，故③正确； ∵当时，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故④正确； ∵抛物线的对称轴是直线x=1， ∴和x=7时函数值相等，故⑤正确； ∵抛物线的对称轴是直线x=1，且开口向下， ∴离对称轴x=1越近，函数值越大， ∴，故⑥错误； 当时，， ∴， ∴，故⑦正确； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键． 37．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有 个． 【答案】3 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，代入可得：，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)， ∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)， ∴代入(-2,0)、(1,0)得：， 解得：，故③正确； ∵抛物线开口朝下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴两个交点， ∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根， ∴方程的判别式，故②正确； ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下， ∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小， ∵， ∴，故⑤错误， 故正确的有：②③④， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键． 38．已知二次函数的对称轴是直线，图像如图所示．给出下面五个结论：①；②；③；④为实数，且；⑤．其中正确的有   写出所有正确结论的序号． 【答案】②③④ 【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴直线，图像与坐标轴的交点及其二次函数的最值逐项判断即可． 【详解】∵二次函数的图像开口向下，对称轴直线在y轴的右边，且y轴交于正半轴， ∴，，， ∴，故①不正确； ∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； ∵二次函数的图像与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵二次函数的图像开口向下， ∴二次函数有最大值，且时，， ∴当，且时，， ∴， ∴，故④正确； 由图像可得，当时， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤不正确， 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 39．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①ac>0；②9a+3b+c>0；③若m>n>0，则x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值；④点（﹣，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】②④ 【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对③进行判断；抛物线的对称性得出点（-2，0）的对称点是（4，0），由c=-8a 即可得出-=4，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴ac＜0，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（-2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0）， ∴x=3时，y＞0，则9a+3b+c＞0，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1， ∴横坐标是1-n的点的对称点的横坐标为1+n， ∵若m＞n＞0， ∴1+m＞1+n， ∴x=1+m时的函数值小于x=1-n时的函数值，故③错误； ∵抛物线的对称轴为-=1， ∴b=-2a， ∴抛物线为y=ax2-2ax+c， ∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0）， ∴4a+4a+c=0，即8a+c=0， ∴c=-8a， ∴-=4， ∵点（-2，0）的对称点是（4，0）， ∴点（-，0）一定在此抛物线上，故④正确， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点位置；抛物线与x轴交点个数由Δ决定． 40．二次函数的部分图象如图所示．对称轴为，图像过点，且，以下结论：①；②；③关于不等式的解集：；④；⑤若点，在此函数图象上，则．其中正确的结论是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】由抛物线开口向下，抛物线交y轴正半轴，，对称轴为，， 可判定① ，由，，计算可判定②，由x=3时，，抛物线过点A（3，0），对称轴为，可求抛物线与x轴另一交点为（-1,0），由抛物线开口向下，将不等式变形关于不等式，可得的解集为：，，可判定③关于不等式的解集：，由，可判定④，由，可知，关于x=1对称，则，可判定⑤若点，在此函数图象上，则． 【详解】解：抛物线开口向下，抛物线交y轴正半轴，，对称轴为， ∴， ∴， ∴①正确， ∵， ∴， ， ∴②正确， ∵， ∵x=3时，，A（3，0），对称轴为， 抛物线与x轴另一交点为（-1,0）， 由抛物线开口向下， 关于不等式， ∴的解集为：，， ∴关于不等式的解集为：，， ∴③关于不等式的解集：不正确； ∵， ∴④不正确， ∵，，， ∴，关于x=1对称，则， ∴⑤若点，在此函数图象上，则正确． ∴其中正确的结论是①②⑤． 故答案为：①②⑤． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$