精品解析：广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷

河溪中学2024—2025学年度第一学期期中考试 高二级数学科试卷 本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内. 3.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，或，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集和补集的定义即可得出答案. 【详解】解：因为,或， 所以， 所以. 故选：D． 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法计算，再利用共轭复数及虚部的意义判断得解. 【详解】依题意，， 所以的虚部为. 故选：D 3. 已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行以及充分和必要条件等知识来求得正确答案. 【详解】由，得，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，符合题意. 即等价于或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】应用分段函数求函数值即可. 【详解】. 故选：A. 5. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用椭圆定义对长度进行转化计算即可. 【详解】设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知， 所以. 当三点共线时，， 所以的最小值为. 故选：C. 6. 若函数（，）的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换可得定点的坐标，再根据三角形函数的定义可得结果. 【详解】因为函数的图象经过定点， 所以函数的图象经过定点， 因为点在角的终边上，所以. 故选：C. 7. 若正实数满足，则下列说法错误的是（    ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值逐一分析即可. 【详解】因为，则， 当且仅当，即时取等号，故A正确； ， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 因为，则， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误. 故选：. 8. 已知圆，圆，则下列选项错误的是（ ） A. 两圆的圆心距离是 B. 两圆有条公切线 C. 两圆相交 D. 公共弦长 【答案】D 【解析】 【分析】将两圆化成标准方程，分别求出其圆心和半径，根据两圆的位置关系依次判断各个选项即可. 【详解】由题圆化成标准方程为， 其圆心为，半径， 圆化成标准方程为， 其圆心为，半径， 所以两圆圆心距为，A正确； 因为， 所以两圆相交，则公切线有2条，故B，C正确； 对于D，两圆的公共弦所在直线方程为： ，化简得， 圆心到的距离，， 设公共弦长为，则，D错误； 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 点到直线的距离的最大值是 D. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先变形直线求定点，将代入圆的方程，求圆与轴的交点，即可判断B，结合定点，利用点到直线的距离公式，以及弦长公式，即可判断CD. 【详解】A.直线，不管为何值，满足方程，即可直线恒过定点，故A正确； B.当时，，解得：，，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确； C.圆心到直线的距离的最大值是圆心与定点的距离，故C错误； D.设直线的定点，当点为弦的中点时，此时弦长最短，即，，所以直线的斜率为2，所以直线的方程为，即，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 该图象向右平移个单位长度可得的图象 D. 函数在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】由图象求出函数解析式，然后由正弦函数的性质逐项判断即可； 【详解】由函数图象可得，周期，所以， 又， 所以，则， 因为，所以，故， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，该图象向右平移个单位长度可得，故C正确； 对于D，若，则，此时函数不单调，故D错误； 故选：BC. 11. 如图，在直四棱柱中，为与的交点.若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 设，则 D. 以为球心，为半径的球在四边形内的交线长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A:利用空间向量的加法和减法求解即可，选项B：利用向量的模求解线段的长度即可，选项C:利用向量的数量积求解向量垂直即可，选项D：分析可知球面与平面的交线是以为圆心，为半径的圆，从而求解出交线的长度. 【详解】对于选项A：连接， 由题得，，故A正确. 对于选项B：因为， ，， 所以 ， 所以，故B错误. 对于选项C：因为， 所以 ， 所以，即，故C正确. 对于选项D：取的中点为，连接， 由为等边三角形可得，且 面. 由球的半径为，知球面与平面的交线是以为圆心，为半径的圆. 如图，在正方形内，以为圆心，2为半径作圆，所得的圆弧即为所求交线. 由题意可知，所以弧的长为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分. 12. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束条件列不等式组，求解后取交集得到定义域. 【详解】要使函数有意义， ，解得 故答案为：. 13. 与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件求出，然后利用得到一个与的关系式，并将代入所求椭圆方程得到第二个与的关系式，联立两个关系式即可求解. 【详解】不妨设所求椭圆方程为：，，且焦距为， 由已知条件可知， ①， 将代入可得， ②， 联立①②可得，，， 故所求椭圆方程为：. 故答案为：. 14. 在棱长为2的正方体中，E为的中点，以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点到直线的距离为______________；点D到平面的距离为______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】有题意可得，则可求出，则可得，由则可求出点到直线的距离；由题意易求出平面的法向量，又，由即可求出点D到平面的距离. 【详解】由题意知：， 所以， ， 所以， 所以点到直线的距离为； 由题意知：， 所以， 记平面的法向量为， 则，取，则，， 此时， 又， 所以点D到平面的距离. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值． （3）求的面积. 【答案】（1） （2）3或 （3） 【解析】 【分析】（1）计算出向量坐标，根据向量夹角公式，即可求解；（2）根据向量垂直可得数量积为0，解出的值即可；（3）根据三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由已知得：，， ， 所以，向量与的夹角为60°． 【小问2详解】 ，， ∵ ， ∴， ∴，解得或， ∴实数k的值为3或． 【小问3详解】 由（1）得，， 故的面积为. 16. 在中，角所对边分别为，且. （1）求角的大小; （2）若. （i）求的值; （ii）求的值. 【答案】（1） （2）(i) ，(ii) 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理角边化及余弦定理即可求解； （2）(i)利用（1）的结论及正弦定理的边角化即可求解； (ii)利用二倍角公式，求出，再结合两角和的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理，可得， ， 由余弦定理可得， ， . 【小问2详解】 （i）及正弦定理，可得， ，即， 因为，且 可得为锐角， 所以. （ii）， ， 由（1），知， 所以 17. 已知圆，直线过点. （1）求圆的圆心坐标及半径长； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【答案】（1）圆的圆心坐标为，半径长为； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）把圆的一般方程化为标准方程，求圆心坐标和半径； （2）对切线分斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，设直线点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径建立等量关系，当斜率不存在时，根据切线过点可求切线方程； （3）根据圆心与切点的连线垂直于切线，结合勾股定理求解. 【小问1详解】 圆方程可化为:，圆心坐标为，半径长为. 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线距离为，满足题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程是，即. 由圆心到直线的距离等于半径得，，解得， 此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 ∵圆的圆心坐标为，， ∴. 如图，由相切得，，， ∴. 18. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求a值和该样本的第75百分位数； （2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分； （3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率. 【答案】（1）0.030，第75百分位数为82 （2）平均分为71 （3） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数定义结合题意计算即可； （2）根据频率直方图中的平均数计算方法求解即可； （3）利用分层抽样、列举法及古典概型即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 解得：； 因为，， 所以该样本的第百分位数在区间， 所以设该样本的第百分位数为，则可得方程： ， 解得：， 即该样本的第百分位数为. 【小问2详解】 因为， 故估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为. 【小问3详解】 采用分层抽样从和抽取名同学， 因为， 则应在成绩为的学生中抽取人，记为，； 在成绩为的学生中抽取人，记为，，； 再从抽取的这名同学中随机抽取名同学有如下结果， ，，，，， ，，，，共种可能结果； 其中在，各一人的共种； 所以所求概率， 则这名同学分数在，各一人的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面平面， 所以， 又因为， 所以，而平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面平面， 所以，而， 于是建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由（1）可知：平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则有， 设平面与平面夹角为， ； 【小问3详解】 设，设， 于是有， ，由（2）可知平面的法向量为， 假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河溪中学2024—2025学年度第一学期期中考试 高二级数学科试卷 本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内. 3.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，或，则（ ） A. B. 或 C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数（，）的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 7. 若正实数满足，则下列说法错误的是（    ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 8. 已知圆，圆，则下列选项错误的是（ ） A. 两圆的圆心距离是 B. 两圆有条公切线 C. 两圆相交 D. 公共弦长 二、多选题：本题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 点到直线的距离的最大值是 D. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 该图象向右平移个单位长度可得的图象 D. 函数在上单调递增 11. 如图，在直四棱柱中，为与的交点.若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 设，则 D. 以为球心，为半径的球在四边形内的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分. 12. 函数的定义域为___________． 13. 与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆方程为______． 14. 在棱长为2的正方体中，E为的中点，以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点到直线的距离为______________；点D到平面的距离为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值． （3）求的面积. 16. 在中，角所对边分别为，且. （1）求角的大小; （2）若. （i）求的值; （ii）求的值. 17. 已知圆，直线过点. （1）求圆的圆心坐标及半径长； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 18. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求a值和该样本的第75百分位数； （2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分； （3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率. 19. 如图，在四棱锥中，平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $