精品解析：山西省太原市常青藤中学校、李林中学2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题

太原市常青藤中学平鲁区李林中学联考 高二数学试题 卷面分数：150分 答题时间：120分钟 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点是圆外的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（ ） A B. C. D. 6. 已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（  ） A. B. C. D. 7. 已知AC，BD为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为　　 A. 4 B. C. 5 D. 8. 正四面体的棱长为，是它内切球的直径，为正四面体表面上的动点，的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线与圆必相交 B. 直线与圆不一定相交 C. 直线与圆相交且所截最短弦长 D. 直线与圆可以相切 10. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，则在上投影向量为 B. 若对空间中任意一点，有则P，A，B，C四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线的方向向量为平面的法向量，则直线 11. 已知圆C：，以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若圆与圆C恰有3条公切线，则 B. 圆与圆C的公共弦所在直线为 C. 直线与圆C恒有两个公共点 D. 点为轴上一个动点，过点作圆C的两条切线，切点分别为，且的中点为，若定点，则的最大值为6 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线：，：，若，则实数______. 13. 已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 14. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知，. （1）若()∥()，求x，y的值； （2）若，且，求x的值. 16. 已知直线与直线的交点为． （1）求点关于直线的对称点； （2）求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M中点. （1）求点M到直线的距离； （2）求平面与平面所成夹角余弦值. 18. 已知圆，直线过点． （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时直线的方程. 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模是.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点. （1）求的值． （2）若为的中点，求二面角的正弦值． （3）若为线段上一点，且满足，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 太原市常青藤中学平鲁区李林中学联考 高二数学试题 卷面分数：150分 答题时间：120分钟 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设其倾斜角为，求得直线的斜率，得到，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率， 设其倾斜角为，可得，所以. 故选：D. 2. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件用，，表示，即可得答案. 【详解】由题设， 结合，得， 故选：C 3. 已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出两直线的交点坐标即圆心坐标，根据勾股定理求解半径即可. 【详解】直线与直线的交点为，所以圆心为， 设半径为，由题意得，即解得， 故圆为. 故选：A. 4. 已知点是圆外的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和点在圆外得到不等式，求出的取值范围. 【详解】由题意得且，解得. 故选：D 5. 经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率范围，进而求出倾斜角范围. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 由直线l与线段总有公共点，得直线的斜率，即， 当时，而，则；当，得， 所以l的倾斜角的取值范围为. 故选：D 6. 已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求向量在向量上的投影向量的模，再结勾股定理求结论. 【详解】由已知可得，又， 所以向量在向量上的投影向量的模为，又 所以点到直线的距离为, 故选：B. 7. 已知AC，BD为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为　　 A. 4 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆心到AC、BD的距离分别为、，则，代入面积公式，利用基本不等式即可求出四边形ABCD的面积的最大值． 【详解】设圆心O到AC、BD的距离分别为、，则． 四边形ABCD的面积为：  ，当且仅当时取等号， 故选C． 【点睛】本题考查了圆中弦长公式以及基本不等式的应用，四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算是解题的关键，属于基础题． 8. 正四面体的棱长为，是它内切球的直径，为正四面体表面上的动点，的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，根据题意求出内切球的半径，再化简可求得其最大值. 【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，则. 因为正四面体的棱长为3，所以， 所以，设内切球的半径为， 则，，解得， 是它内切球的直径，此时，， ， 因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长， 最大值为，所以的最大值为. 故选：D    二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线与圆必相交 B. 直线与圆不一定相交 C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切 【答案】AC 【解析】 【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案. 【详解】解：直线过定点， 又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交， 所以A正确，B，D错误， 因为圆心与点间的距离为，圆半径为2. 所以最短弦长为，故C正确， 故选：AC. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，则在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点，有则P，A，B，C四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线的方向向量为平面的法向量，则直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用投影向量定义判断A，利用空间四点共面，满足，其中判断B，根据向量基底的概念判断C，利用线面关系的向量表示判断D. 【详解】因为， 所以在上的投影向量为，故A对； 因为，且，则P，A，B，C四点共面， 因为，所以P，A，B，C四点共面，故B对； 是空间的一组基底，若，所以两向量之间不共线， 所以也是空间的一组基底，故C对； 因为直线的方向向量为平面的法向量， 且，则直线或，故D错； 故选：ABC 11. 已知圆C：，以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若圆与圆C恰有3条公切线，则 B. 圆与圆C的公共弦所在直线为 C. 直线与圆C恒有两个公共点 D. 点为轴上一个动点，过点作圆C的两条切线，切点分别为，且的中点为，若定点，则的最大值为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A；由两圆方程相减即为两圆公共弦所在直线方程，即可判断B；求出直线所过定点坐标，得到定点在圆内，故直线与圆M恒有两个公共点，即可判断C；易知直线AB恒过定点，由得出点M的轨迹，结合点与圆的位置关系计算即可判断D. 【详解】A：由题意得：的圆心为，半径为， 该圆与圆有3条公切线，则两圆外切， 所以，解得，故A错误； B：两圆的圆心分别为，半径分别为和2， 则，所以两圆相交， 与相减得：， 故圆与圆C的公共弦所在直线为，故B正确； C：变形为， 令，解得， 即直线恒过点， 由于，点在圆M内， 所以与圆M恒有两个公共点，故C正确； D：如图，圆，半径为2，则圆C与y轴相切，切点为原点，即为， 易知直线恒过点，又为的中点，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1， 又，所以的最大值为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】 关键点点睛：本题D选项的关键点在于直线AB恒过定点，由得出点M的轨迹为圆. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线：，：，若，则实数______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用直线相互平行的充要条件即可得出. 【详解】解： 故答案为：3. 13. 已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求得，根据向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 14. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则 解得即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知，. （1）若()∥()，求x，y的值； （2）若，且，求x的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出和的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得； （2）先根据向量垂直得，进而，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【小问1详解】 ∵，， ∴， 又()∥()， ∴，解得，. 【小问2详解】 由，得， ∴，∴，即，∴，解得. 16. 已知直线与直线的交点为． （1）求点关于直线的对称点； （2）求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据的方程解得，然后通过条件得到直线的方程，进而确定的中点坐标，最后确定的坐标； （2）先根据条件得到到的距离不超过，然后在取到该值的条件下得到的斜率，最后确定方程. 【小问1详解】 当，时，有 ，. 所以两直线的交点为. 由于关于直线对称，故直线和直线垂直. 而直线即的斜率为，从而直线的斜率为. 再由知直线的方程为，即. 将与联立，得 ，. 从而直线和直线的交点为，由于关于直线对称，故是的中点. 最后由，即知. 【小问2详解】 若是一条经过的直线，则由于，知到的距离不超过. 若有一条经过的直线，满足到的距离为，则由，知和垂直. 而直线的斜率，故的斜率为. 再由经过，即知的方程为，即. 综上，点到经过点的直线距离的最大值为，当距离最大时，直线的方程为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M为中点. （1）求点M到直线的距离； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由题意建立空间直角坐标系，求出和即可根据空间中点到直线的距离的向量法公式计算得解. （2）证明平面得是平面的一个法向量，接着依据求法向量的方法和步骤求出平面的一个法向量，设平面与平面所成夹角为，再依据即可计算的解. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为平面，平面， 所以且，所以可建立如图所示以B为原点的空间直角坐标系， 则由题， 所以， 所以，所以， 又，故点M到直线的距离为. 【小问2详解】 因为，，，平面， 所以平面，故是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 所以，令，则， 设平面与平面所成夹角为， 所以， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 18. 已知圆，直线过点． （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于两点，求三角形面积的最大值，并求此时直线的方程. 【答案】（1）圆心为，半径为2； （2）或； （3），或 【解析】 【分析】（1）由圆的一般方程化成标准方程即可求解； （2）先考虑直线斜率不存在时是否满足要求，再考虑直线斜率存在时，利用圆心到直线距离求出直线的方程； （3）方法一：设出直线方程，利用垂径定理得到的面积函数，由均值不等式的结论可得面积的最大值及此时直线的方程； 方法二：利用三角形面积公式表达出，得到当时，取最大值2，此时点到的距离为，利用点到直线距离求出直线斜率，得到此时直线的方程. 【小问1详解】 由 可得： 所以圆心的圆心坐标为，半径为2； 【小问2详解】 ①若直线的斜率不存在，则直线：，符合题意； ②若直线斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2， 即，解得， 所求直线的方程是或； 【小问3详解】 方法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为， 则圆心到直的距离， 又∵三角形CPQ面积 ， 当且仅当，即时取等号，三角形CPQ的面积的最大值为2， 由，有，或， 此时直线方程，或． 方法二：， 当时，取最大值2， 此时点到的距离为， 设：， 由，解得或， 故所求直线的方程为或. 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模是.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点. （1）求的值． （2）若为的中点，求二面角的正弦值． （3）若为线段上一点，且满足，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间关系求出夹角的正弦值，再利用定义求即可； （2）利用空间直角坐标系法来求二面角的余弦值的绝对值，再求其正弦值即可； （3）利用定义求，再求，则可求. 【小问1详解】 由题意，底面为矩形，， 底面，底面，， 又，且平面， 平面，又平面， ，则在直角三角形中，有 . 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.， ， 又为的中点，则，， 平面的一个法向量为，设平面的法向量为， 则，令，则. 故平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，且， 则， 故. 故二面角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）可得，由题意，设，， 则 则， 由可知，，且， 由，则，解得； 则，则解得，， 则，又，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$