精品解析：甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

西北师大附中2024—2025 学年第一学期期中考试试题 高三数学 命题人：江景审题人：但立平 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据并集的概念，可直接得出结果. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 2. 在复平面内，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算求得复数z，即可求得，根据复数的模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意知， 故，则， 故， 故选：B 3. 已知向量，若与垂直，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示求出，再计算即可. 【详解】由题可知， 因为与垂直，所以，解得， 所以， 故选：C 4. 某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（ ） A. 在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B. 在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C. 在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D. 甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力. 【详解】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为，乙企业的污水排放量与时间t的关系为. 对于A选项，在这段时间内，甲企业的污水治理能力， 乙企业的污水治理能力.由图可知，， 所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误； 对于B选项，由图可知， 在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率， 但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误； 对于C选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量， 故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误； 对于D选项，由图可知，甲企业在，，这三段时间中， 在时的差值最大，所以在时的污水治理能力最强，故D选项正确， 故选：D. 5. 在数列中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件推导出数列的周期，再借助周期性计算得解. 【详解】在数列中，，，则， ，于是得数列是周期数列，周期为3， ， 所以. 故选：A 6. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值结合对数函数的单调性判定充分性及必要性即可. 【详解】对于充分性：取，，则，， 所以“”不是“”的充分条件； 对于必要性：当时，，所以，即， 所以“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：C． 7. 已知平面向量，满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量得到，求出，得到 【详解】由在上的投影向量为，得，所以， 所以，所以， 又，所以 故选：C. 8. 已知x1、x2分别是函数f（x）=ex+x-4、g（x）=lnx+x-4的零点，则的值为（　　） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的对称性和函数图像确定的值即可. 【详解】绘制函数的图像如图所示， 由题意可知的值分别为图中点点的横坐标， 则的值分别为图中点点的纵坐标， 注意到反函数的图像关于直线对称，设直线与的交点为， 易知，结合对称性可知. 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查反函数的性质及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意利用可判断A选项；由和判断的取值范围，进而易得，可判断B选项；先求，然后利用可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】对于A：因为，， 所以,故A错误； 对于B：，则又， 所以，所以，故B正确； 对于C：由，可得， ， 又，所以，故C错误； 对于D：根据C选项知， 所以,故D正确. 故选：BD． 10. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在处的切线方程为 C. 在上单调递增 D. 方程有两个不同的解 【答案】BC 【解析】 【分析】求导即可判断AC，根据导数的几何意义即可判断B，将方程的解转化为函数图像的交点，即可判断D. 【详解】 ，故A错误； 因为，则，且， 则在处的切线方程为， 即，故B正确； 因为，则， 令可得，其中，则， 所以在上单调递增，故C正确； 方程的解的个数，即为的解的个数， 即函数与函数图像交点个数， 作出函数与的图像，如图所示， 由图像可知，方程只有一个解，故D错误； 故选：BC 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心 C. 若在上有两个实数根，则 D. 若的导函数为，则函数的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接由周期公式即可判断；对于B，直接代入检验即可；对于C，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D，求导后结合辅助角公式即可得解. 【详解】由题意可得，故A正确； ，所以不是图象的一个对称中心，故B错误； 令，由得， 根据题意可转化为直线与曲线，有两个交点， 数形结合可得，故C正确； 设为的导函数， 则， 其中， 当且仅当， 即当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前n项和，则______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：当时，，当时，，经验证，当时，，所以数列的通项公式是 考点：已知求 13. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】分离常数，求出函数的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案. 【详解】解：， 则，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 14. 已知函数，，若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过对数运算得到，然后构造函数分析出的关系式，由此可将化简为关于的函数，借助的单调性可求出的最小值. 【详解】因为，所以，则， 于是，，所以， 构造函数，且，当时，，所以在上单调递增， 所以，于是， 又，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，故，当且仅当，即（舍去）时取到最小值， 所以， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示．该图象与轴交于点，与轴交于两点， 为图象的最高点，且的面积为． （1）求的解析式及其单调递增区间． （2）若将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，求的值． 【答案】（1），单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积可得周期，根据经过的可得即可求解解析式，由整体法即可求解单调区间. （2）根据平移和伸缩变换可得进而根据同角关系即可求解. 【小问1详解】 设的最小正周期为．由题意知，的高为2． 又∵的面积为，∴，可得． ∵，∴，． ∵图像与y轴交于点，∴，即． ∵，∴， 故的解析式为． 令，，得，， 故的单调递增区间为，．． 【小问2详解】 根据题意，将的图像向右平移个单位长度， 可得的图像， 再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 可得的图像．由（），得， ∴．又∵，， ∴，， ∴． 16. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点P． （1）求； （2）若，BE＝2，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再结合余弦定理求解即可； （2）由余弦定理结合面积公式计算. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 由余弦定理得，又， 所以. 【小问2详解】 因为P是BC，AC边上的两条中线AD与BE的交点，所以点P是的重心. 又，，， 所以在中，由余弦定理 ， 所以，又，，所以，所以， 所以的面积为． 17. 已知函数． （1）若在上存在极小值，求实数的取值范围 （2）讨论在上的零点个数． 【答案】（1） （2） 当或时，在上无零点； 当或时，在上有个零点； 当时，在上有个零点． 【解析】 【分析】（1）分类讨论和，根据的单调性分析出极小值点，由此可得关于的不等式，则的取值范围可求； （2）将问题转化为方程根的数目，构造，利用导数分析出的单调性和取值情况，然后对进行分类讨论，由此可分析出的零点个数. 【小问1详解】 的定义域为，，当时，，单调递减，无极值，不合题意； 当时，令，得，即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，故，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 令，得，令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，，， 当时，方程无解，所以在上无零点， 当时，方程有个根，所以在上有个零点， 当时，方程有个根，在上有个零点， 当时，方程有个根，在上有个零点， 当时，方程无解，在上无零点． 综上所述，当或时，在上无零点； 当或时，在上有个零点； 当时，在上有个零点． 18. 已知函数， （1）当时，恒成立，求a的取值范围； （2）设，为上不同的两点，设AB两点所在直线的斜率为K，证明： 【答案】（1）； （2）证明：依题意，当时，， 不等式， 令， 于是函数在上单调递增，，因此； 要证，即证 ， 由（1）知，当，时，， 而，则，因此， 所以. 【解析】 【分析】（1）将给定不等式作等价变形并分离参数，构造函数，利用导数求出最大值即可. （2）利用斜率的坐标公式求出，利用不等式的等价变形结合导数证明，利用不等式的等价变形结合（1）中信息证明即得. 【小问1详解】 当时，不等式恒成立， 令，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，则，即， 函数在上单调递减，，于是， 所以a的取值范围是. 【小问2详解】 略. 19. 解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件的二元一次方程组. （1）用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解； （2）通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中的系数所唯一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表，由此可以看出是这个数表中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称为该数表的二阶行列式，记为.当≠0时，二元一次方程组有唯一一组解.同样的，行列式称为三阶行列式，且=. （i）用二阶行列式表示方程组的两个解； （ii）对于三元一次方程组，类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一次方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列式表示该方程组的解. （3）若存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）， 用三阶行列式表示该方程组的解为，，； （3） 【解析】 【分析】（1）利用消元法计算即可求解； （2）（i）由（1），结合行列式的定义直接得解；（ii）利用类比的思想可得三阶行列式，进而可表示该方程组的解； （3）由行列式的定义可得，令（），则，分类讨论t的取值范围，结合对勾函数的性质即可求解. 【小问1详解】 该方程组的两个解为； 【小问2详解】 （i）由（1）得， 所以该方程组的两个解为； （ii）类比二元一次方程组，将三元一次方程组中的系数排成一个数表，则可以得到三阶行列式. 令，当时，该三元一次方程组有唯一一组解， 即得该三元一次方程组有唯一一组解的条件为 ， 用三阶行列式表示该方程组的解为 ，，； 【小问3详解】 ， 令，则， 其中， 因为，所以，， 故， 当时，无解，不合要求； 当时，， 其中在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为2，故； 当时，， 其中在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为-2，故， 因为存在，使得，所以或， 综上所述，m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解答第（2）问的关键是利用类比的思想得到三阶行列式，即可解决；解答第（3）问的关键是利用换元法将原不等式转化为（），结合分类讨论的思想即可解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中2024—2025 学年第一学期期中考试试题 高三数学 命题人：江景审题人：但立平 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若与垂直，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 4. 某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（ ） A. 在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B. 在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C. 在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D. 甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 5. 在数列中，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知平面向量，满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知x1、x2分别是函数f（x）=ex+x-4、g（x）=lnx+x-4的零点，则的值为（　　） A. B. C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在处的切线方程为 C. 在上单调递增 D. 方程有两个不同的解 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心 C. 若在上有两个实数根，则 D. 若的导函数为，则函数的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前n项和，则______． 13. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为___________. 14. 已知函数，，若，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示．该图象与轴交于点，与轴交于两点， 为图象的最高点，且的面积为． （1）求的解析式及其单调递增区间． （2）若将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，求的值． 16. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点P． （1）求； （2）若，BE＝2，，求的面积． 17. 已知函数． （1）若在上存在极小值，求实数的取值范围 （2）讨论在上的零点个数． 18. 已知函数， （1）当时，恒成立，求a的取值范围； （2）设，为上不同的两点，设AB两点所在直线的斜率为K，证明： 19. 解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件的二元一次方程组. （1）用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解； （2）通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中的系数所唯一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表，由此可以看出是这个数表中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称为该数表的二阶行列式，记为.当≠0时，二元一次方程组有唯一一组解.同样的，行列式称为三阶行列式，且=. （i）用二阶行列式表示方程组的两个解； （ii）对于三元一次方程组，类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一次方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列式表示该方程组的解. （3）若存在，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $