精品解析：四川省广元市直属普通高中备课联盟2024-2025学年高二上学期第一次联合检测（11月）数学试题

广元市市直属普通高中备课联盟第一次联合检测 高2023级数学学科试题 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自已的姓名､考号填写在答题卡相应的位置上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无放. 3.回答第Ⅱ卷时，将感觉写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个进项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 4. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 5. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，且的周长为12.则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若，是对立事件，则 B. 若，是互斥事件，，则 C. 若，且，则，是独立事件 D. 若，是独立事件，，则 7. 下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则 ②若向量，满足，且，则在方向上的投影向量为 ③若，则，的夹角是钝角 ④已知正四面体的棱长为1，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿棱折起，使得点折到点的位置，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.漏选按比例给分，多选或铺选不得分.） 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 当时，直线的倾斜角为60° B. 当时， C. 若，则 D. 直线始终过定点 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是平行直线 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 平面截正方体所得的截面面积为 11. 已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点，使得 C. 若，则外接圆的面积为 D. 的最小值为 第II卷 三､填空题（本通共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________. 13. 如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为___________. 14. 已知圆，若从点发出的光线经过直线：，反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是______. 四､解答题（本大题共5小题，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 求经过直线的交点，且满足下列条件的直线的方程. （1）与直线平行， （2）与直线垂直. 16. 已知1号箱中有3个白球和6个红球，2号箱中有5个白球和4个红球， （1）若每次同时从两个号箱中随机取出1个球，取出的球不再放回.求经过1次取球，取出的2个球中有红球的概率； （2）若先从1号箱取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，求从2号箱中取出红球的概率. 17. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，. （1）证明：： （2）求平面和平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 18. 已知曲线直线，为坐标原点. （1）讨论曲线的形状； （2）当时，直线与曲线相交于两点、，若，求曲线的方程； （3）当时，直线与曲线相交于两点、，试问在曲线上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围？若不存在，请说明理由. 19. 已知圆和点 （1）过点M作圆O的切线，求切线的方程； （2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； （3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广元市市直属普通高中备课联盟第一次联合检测 高2023级数学学科试题 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自已的姓名､考号填写在答题卡相应的位置上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无放. 3.回答第Ⅱ卷时，将感觉写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个进项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两平行线间的距离求解即可. 【详解】直线化为：， 所以直线与直线之间的距离为： . 故选：B. 2. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则 ①，则直线过原点，则直线方程为： ②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为或 故选：D 3. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 4. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 5. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，且的周长为12.则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“逼近法”先确定，再结合椭圆的定义计算即可. 【详解】设椭圆的长半轴长与短半轴长分别为，结合题意可知椭圆方程为：， 由条件得， 又的周长为， 所以，即椭圆方程为：. 故选：A 6. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若，是对立事件，则 B. 若，是互斥事件，，则 C. 若，且，则，是独立事件 D. 若，是独立事件，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D. 【详解】对于A，若是对立事件，则，A错误； 对于B，若是互斥事件，，则，B错误； 对于C，，则，， 又，则是独立事件，C正确； 对于D，若是独立事件，则是独立事件，而， 则，D错误. 故选：C 7. 下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则 ②若向量，满足，且，则在方向上的投影向量为 ③若，则，的夹角是钝角 ④已知正四面体的棱长为1，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算判断直线与平面的位置关系，即可判断①；利用投影向量的计算公式判断②；根据向量夹角与数量积的关系判断③；利用正四面体的几何性质结合空间向量的运算转化求解即可判断④，从而得结论. 【详解】对于①，若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是， 则，所以或，故①不正确； 对于②，若向量，满足，且， 则在方向上的投影向量为，故②正确； 对于③，若，，的夹角是钝角或平角，故③不正确； 对于④，已知正四面体的棱长为1， 则 ， 故④正确； 综上，正确命题的个数为2个. 故选：C. 8. 已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿棱折起，使得点折到点的位置，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，，结合垂直关系可知平面，结合长度关系可知点在以点为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质分析求解. 【详解】在矩形，，，， 由可得， 由可得， 则，即， 可知折起后，必有，，， ，平面， 故平面， 因为是确定的直线，故对任意点，，，都在同一个确定的平面内， 因为，可知点在以点为圆心，半径为的圆上（如图）， 由图知，当且仅当与该圆相切时，取到最大值， 则也取到最大值， 此时，， 则的最大值为. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于证明平面后，要考虑动点的轨迹，同时将理解为点与圆上的点的连线，结合图形，得出当且仅当与该圆相切时，取到最大值的结论. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.漏选按比例给分，多选或铺选不得分.） 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 当时，直线的倾斜角为60° B. 当时， C. 若，则 D. 直线始终过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的斜率即可判断A，根据平行和垂直在直线一般式满足的系数关系即可求解BC，将变形为：，即可求解定点判断D. 【详解】对于A，当时，直线：，故斜率，则倾斜角为120°，A错误， 对于B，等价于，解得，故B正确， 对于C，若，且，故，故C正确， 对于D，：变形为：，令且，解得，故恒过，D正确， 故选：BCD 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是平行直线 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可判断A、B、C，作出平面截正方体所得的截面即可求出面积判断D. 【详解】对于A，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，． ∵分别为棱的中点，∴、， 则，，∴和不共线，故A错误； 对于B，∵，，∴， ∴，∴直线与所成的角为，故B正确． 对于C，由于平面的一个法向量为， ， ∴，直线与平面所成的角为，故C正确； 对于D，连接，易知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形， ∵棱长为2，∴，，， ∴等腰梯形的高为， ∴，故D正确， 故选：BCD． 11. 已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点，使得 C. 若，则外接圆的面积为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由题可得，然后可计算离心率；B等价于判断方程组是否有解；C设，由余弦定理及题目条件可得，然后由正弦定理可得外接圆半径，即可判断选项正误；D设，可将化为，后由基本不等式可得最小值. 【详解】A选项，因为点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1， 故有：，解得：， 椭圆的离心率，故A正确； B选项，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上， 又因为方程组无解，故B错误； C选项，设，则， 若，即， 在中，由余弦定理可得 ， 因为，所以， 根据正弦定理可知，，故C正确； D选项，设，则： ， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：对于外接圆问题，常联想正弦定理，外心，向量等知识；对于最值问题，常联想基本不等式，函数单调性，导数等知识. 第II卷 三､填空题（本通共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型的随机数法求解. 【详解】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数， 所以恰好抽取三次就停止的概率约为， 故答案为： 13. 如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】可以通过向量的加法将表示为其他向量的和，再利用向量的模长公式来求解. 【详解】根据向量加法三角形法则得到，， 即，即，展开得到， ， 运用数量积公式计算得到. 因为，所以. 故答案为：. 14. 已知圆，若从点发出的光线经过直线：，反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】设关于直线的对称点为，列出方程组，求得，根据反射后恰好平分圆C的圆周，得到反射光线经过两点，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】如图所示，由圆，可得圆心为， 设关于直线的对称点为， 则满足，解得，即， 因为反射后恰好平分圆C的圆周，所以反射光线经过两点， 又由，所以反射光线的方程为，即. 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 求经过直线的交点，且满足下列条件的直线的方程. （1）与直线平行， （2）与直线垂直. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线方程后可求，利用平行直线系可求直线方程； （2）利用垂直直线系可求直线方程. 【小问1详解】 由可得，故， 设所求直线为，代入可得， 故与已知直线平行的直线方程为. 【小问2详解】 设所求直线为，代入可得， 故与已知直线垂直的直线方程为. 16. 已知1号箱中有3个白球和6个红球，2号箱中有5个白球和4个红球， （1）若每次同时从两个号箱中随机取出1个球，取出的球不再放回.求经过1次取球，取出的2个球中有红球的概率； （2）若先从1号箱取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，求从2号箱中取出红球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出两箱中分别取到红球的概率，再用1减去两球均为白球的概率即得； （2）按从1号箱取出一球是红球还是白球分类讨论可得． 【小问1详解】 从1号箱取出1个球是红球的概率是，从2号箱取出1个球是红球的概率是， 所以取出的2个球中有红球的概率是； 【小问2详解】 从1号箱取出一球放入2号箱，若这球是红球，则2号箱中红球为5个，若这球是白球，则2号箱中红球为4个， 所以从2号箱中取出红球的概率为． 17. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，. （1）证明：： （2）求平面和平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为为中点，故，而，故， 而，平面， 故平面，而平面，故. （2） （3） 设，其中， 由（2）可得平面的法向量为， 故到平面的距离为，由题设有， 故，故. 【解析】 【分析】（1）根据题设中的边的关系可证明，再结合线面垂直的判定和性质可得； （2）结合（1）中结果可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面法向量后可求夹角的正弦值； （2）设，利用点到平面的距离公式可求的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，结合（1）中可得， 而，故，故， 结合（1）中及可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故平面的法向量为， 设平面的法向量为，而， 则即，取，则， 故，而，故. 【小问3详解】 略 18. 已知曲线直线，为坐标原点. （1）讨论曲线的形状； （2）当时，直线与曲线相交于两点、，若，求曲线的方程； （3）当时，直线与曲线相交于两点、，试问在曲线上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围？若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 当时，，曲线表示垂直于轴的两条直线； 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线表示单位圆； 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆. （2） （3）存在，理由如下：当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的椭圆. 直线过曲线的右顶点， 设点，点， 把直线代入曲线的方程得， 由题意知，和是此方程的两个根，由于， 由韦达定理可得，可得，所以，， 因为，所以， 所以点的坐标为，点在曲线上， 则由点的坐标满足椭圆的方程，化简可得，即，则， 由此求得.因此，在曲线上存在点，使得，且实数的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）对实数的取值进行分类讨论，化简曲线方程，结合圆锥曲线方程的形式可得出曲线的形状； （2）设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式结合韦达定理可求出的值，即可得出曲线的方程； （3）设点，点，将直线的方程与曲线的方程联立，求出点的坐标，根据求出点的坐标，再将点的坐标代入曲线的方程，可求出的取值范围. 【小问1详解】 当时，曲线的方程为，可得，曲线表示垂直于轴的两条直线； 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线表示单位圆； 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆. 【小问2详解】 当时，直线的方程为，设点、， 代入曲线得，， ， 所以，，， 由弦长公式得 ，解得， 所以曲线的方程为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 已知圆和点 （1）过点M作圆O的切线，求切线的方程； （2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； （3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 【答案】（1）和 （2）存在，定点，定值或定点，定值 （3） 设，，，，， 由，则，即， 又，故，同理， 所以直线CD为，又M在CD上，所以， 故点E在直线上. 【解析】 【分析】（1）先讨论切线斜率不存在，再由切线斜率存在时，设切线为，然后利用得到即可； （2）由题设，若，存在使为定值，利用，得到参数值； （3）设，，，则，，然后利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系即可. 【小问1详解】 当切线斜率不存在时，显然与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， 所以，解得，则，整理得， 综上，切线的方程为和 【小问2详解】 由题设，若，则，整理得， 若存在，使为定值， 又，， 则， 整理得， 即， 整理得， 要使为定值，则， 得，，或，，， 综上，存在定点，定值，或定点，定值 . 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问，应用切线的性质及向量垂直的坐标表示列方程得，结合在圆上得到同一直线方程形式为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $