精品解析：湖北省孝感市一般高中协作体2024-2025学年高二上学期期中联合考试数学试卷

2024-2025学年度（上）孝感市一般高中联考协作体 期中联合考试 高二数学试卷 命题学校：孝昌二中 命题人：谈光涛李恒运（审） 审题学校：航天高中 考试时间：11月8日下午14：30-16：30 本试卷满分150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 一支田径队有男运动员28人，女运动员20人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员7人，则女运动员被抽取的人数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知，若，则实数（ ） A. 0或1 B. C. 1 D. 0或 3. 袋中装有个白球，只黄球，个红球，从中任取球，抽到的不是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆的方程是，则下列直线中通过圆心的是（ ） A. B. C. D. 5. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ） A. B. C. D. 6. ，则（ ） A. B. C. D. 7. 甲乙两人各加工一个零件，加工为一等品概率分别为和，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆和圆外切（其中），则的最大值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ） A. 点与点关于轴对称 B. 点与点关于轴对称 C. 点与点关于平面对称 D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于4”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（ ） A. B. 事件A与事件C互斥 C 事件A与C相互独立 D. 11. 已知直线，圆，以下正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C 当与圆相交时， D. 当时，圆上仅有一个点到的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11，15，17，21，23，26，27，34，37，38，则该组数据的分位数为______． 13. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球_________个． 14. 棱长为4的正方体中，分别是平面和平面内动点，，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的直线方程； （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）过点，且与直线垂直的直线方程； （3）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 16. 如图，平行六面体中，与相交于，设，，. （1）用表示； （2）若该平行六面体所有棱长均1，且，求． 17. 已知动点到定点的距离与它到定点的距离之比为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若圆与轨迹相交于两点，线段的长． 18. 为推动孝感市乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，孝感市实施精品示范工程打造“和美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“和美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全市范围内调查了个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照分组，得到如图所示频率分布直方图． （1）求的值，并求这个休闲旅游乡村评分的平均分； （2）若评分在分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在）为“推荐指数四颗星”，评分在为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这个乡村中随机抽取个乡村在校园内做展板宣传，求这个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率． 19. 如图，在四棱锥中，平面与底面所成角为，四边形梯形，． （1）证明：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离． （3）点是线段上的动点，上是否存在点，使平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（上）孝感市一般高中联考协作体 期中联合考试 高二数学试卷 命题学校：孝昌二中 命题人：谈光涛李恒运（审） 审题学校：航天高中 考试时间：11月8日下午14：30-16：30 本试卷满分150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 一支田径队有男运动员28人，女运动员20人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员7人，则女运动员被抽取的人数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽取原则，按比例计算即可. 【详解】由题意得，女运动员被抽取的人数为. 故选：B. 2. 已知，若，则实数（ ） A. 0或1 B. C. 1 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】用两直线垂直的充要条件得解. 【详解】若，则， 解得，或. 时，不存在，舍去，故. 故选：C. 3. 袋中装有个白球，只黄球，个红球，从中任取球，抽到的不是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式可求出结果. 【详解】从装有个白球，个黄球，个红球的袋中，任取一球，有种取法， 其中取到不是白球的有种取法，所以取到不是白球的概率为. 故选：A 4. 已知圆的方程是，则下列直线中通过圆心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆心坐标分别代入选项即可判断. 【详解】由圆的方程，得圆心坐标为. A：将代入方程，等式不成立，故A不符合题意； B：将代入方程，等式不成立，故B不符合题意； C：将代入方程，等式成立，故C符合题意； D：将代入方程，等式不成立，故D不符合题意； 故选：C 5. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行性质求，再根据平行线的距离公式求即可. 【详解】因为直线和平行， 所以，解得， 所以两直线分别为和， 所以. 故选：B 6. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B 7. 甲乙两人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算求得结果. 【详解】恰好有一个一等品的概率. 故选：C. 8. 已知圆和圆外切（其中），则的最大值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的一般方程变形为标准方程，可得圆心坐标和半径，由两圆外切，可得的关系，由均值不等式即可求解. 【详解】圆的标准方程为，则，半径， 圆的标准方程为，则，半径， 因为两圆外切，所以，即，所以， ， 则， 所以的最大值为，当且仅当时等号成立. 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ） A. 点与点关于轴对称 B. 点与点关于轴对称 C. 点与点关于平面对称 D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 【答案】AD 【解析】 【分析】结合空间直角坐标系点的坐标特征对选项逐一分析即可. 【详解】点关于轴对称的点是，所以A选项正确； 点关于轴对称的点是，所以B选项错误； 点关于平面对称的点是，所以C选项错误； 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，所以D选项正确． 故选：AD. 10. 连续抛掷一枚质地均匀骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于4”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（ ） A. B. 事件A与事件C互斥 C. 事件A与C相互独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由古典概率公式求出，再由互斥事件和独立事件的性质判断即可； 【详解】由题意可得， 对A，，故A正确； 对B，事件A与事件C可以同时发生，故B错误； 对C，，， 所以事件A与C相互独立，故C正确； 对D，，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知直线，圆，以下正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上仅有一个点到的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】数形结合，根据直线过定点判断直线与圆的位置关系判断A，根据定点到圆心的长度判断B，根据圆心到直线的距离小于半径列式判断C，根据圆心到直线的距离判断D. 【详解】由题意可得直线，即 所以直线过定点， 圆的圆心为，半径为， 如图所示， 选项A：根据图象易得与圆不一定存在公共点，故A说法正确； 选项B：当直线变化时，圆心到的最大距离为， 且，故B说法正确； 选项C：当与圆相交时，，解得，故C说法错误； 选项D：当时，直线，此时，圆心到直线的距离， 又圆的半径为，所以圆上仅有一个点到的距离为，故D说法正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11，15，17，21，23，26，27，34，37，38，则该组数据的分位数为______． 【答案】22 【解析】 【分析】根据百分位的计算求解即可. 【详解】由， 所以该组数据的分位数是第4、5个数据的平均数， 则该组数据的分位数为. 故答案为：22. 13. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球_________个． 【答案】 【解析】 【分析】用频率估计概率，根据绿球个数除以总个数即可. 【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为， 设不透明的袋中有个绿球，因为袋中有个红球，个白球， 所以，解得：， 故答案为：8. 14. 棱长为4的正方体中，分别是平面和平面内动点，，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取点关于平面的对称点为，设点到平面的距离为，可得，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离即可求解. 【详解】取点关于平面的对称点为， 设点到平面的距离为，则， 所以， 以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为4，且， 所以， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 所以点到平面的距离. 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：处理空间几何体中的距离之和的最值问题的方法： （1）借助参数表达，转化为函数最值求解； （2）利用展开图，将空间距离之和转化为平面距离之和，再利用两点之间线段最短求解； （3）借助对称，化线（面）的同侧为线（面）的异侧，转化为两点间的距离（点线距、点面距）求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的直线方程； （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）过点，且与直线垂直的直线方程； （3）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂线直线的斜率乘积为，从而求解直线方程； （3）分直线过原点、不过原点讨论可得答案. 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的方程为； 【小问2详解】 设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为； 【小问3详解】 当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 16. 如图，平行六面体中，与相交于，设，，. （1）用表示； （2）若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算表示所求向量. （2）利用空间向量数量积求向量的模. 小问1详解】 . 【小问2详解】 由题意：，，， ， 所以. 17. 已知动点到定点的距离与它到定点的距离之比为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若圆与轨迹相交于两点，线段的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据关系可求轨迹方程； （2）联立两圆方程，求出公共弦方程，即可求出. 【小问1详解】 设动点的坐标为， 由已知，又，， 所以， 所以， 故动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 圆的圆心的坐标为，半径， 轨迹的方程可化为， 所以轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 圆与圆的圆心距为，又， 所以圆与圆相交， 联立，可得， 所以直线的方程为， 圆心到直线距离， 所以弦的长为. 18. 为推动孝感市乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，孝感市实施精品示范工程打造“和美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“和美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全市范围内调查了个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照分组，得到如图所示频率分布直方图． （1）求的值，并求这个休闲旅游乡村评分的平均分； （2）若评分在分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在）为“推荐指数四颗星”，评分在为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这个乡村中随机抽取个乡村在校园内做展板宣传，求这个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率． 【答案】（1），分， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程求出，再根据平均数计算公式求出平均数； （2）首先求出“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”各抽取的个数，再由古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方可知， 解得； 则这个休闲旅游乡村评分的平均分为：（分）； 【小问2详解】 “推荐指数四颗星”乡村数为（个）； “推荐指数五颗星”乡村数为（个）； 按照分层抽样，可知“推荐指数四颗星” 乡村抽取个， “推荐指数五颗星” 乡村抽取个， 从个乡村中随机抽取个乡村共有种情形， 其中“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个有种情形， 所以“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个概率. 19. 如图，在四棱锥中，平面与底面所成角为，四边形是梯形，． （1）证明：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离． （3）点是线段上的动点，上是否存在点，使平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）存在点，当时，满足平面. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直性质以及勾股定理，再根据面面垂直判定定理证明即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出结果； （3）设，可得，再由线面垂直列出关于的方程组即可得结果. 【小问1详解】 由平面与底面所成角为，即， 所以，又，所以； 因为四边形是梯形，，，可得； 又可得， 因此满足，可得； 由平面，平面，可得， 易知平面， 可得平面，又平面， 因此平面平面； 【小问2详解】 根据题意以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 由点是的中点，点是的中点，， 即， 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，可得； 可得, 而，所以点到平面的距离为； 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 由点是线段上的动点，可设， 即，所以； 因此， 设，又，因此可得； 又， 若平面，可得， 解得； 可得， 即存在点，当时，满足平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $