专题07 平面图形的初步认识（考题猜想，压轴必刷58题14种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

专题07 平面图形的初步认识（压轴必刷58题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线、射线、线段压轴题 题型二 线段动点问题 题型三 动角问题压轴 题型四 三角板中角度计算问题 题型五 实际问题中角度计算问题 题型六 角平分线的有关计算压轴 题型七 与余角、补角有关的计算压轴 题型八 平行线的判定与性质压轴 题型九 根据平行线的性质探究角的关系 题型十 根据平行线的性质求角的度数 题型十一 平行模型 题型十二 角度计算中的旋转问题 题型十三 角度计算中的折叠问题 题型十四 江苏地区期末压轴题综合 一．直线、射线、线段压轴题（共4小题） 1．一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？ （4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 2．【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 3．我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： (1)完成下表 直线数 … 交点数 … (2)在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 4．观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 二．线段动点问题（共4小题） 5．如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式； ②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______； (2)求出的值，并说明理由： (3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 6．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 7．如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示） （1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 　 　； （2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数； （3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动． 求：①P、Q相遇时求P对应的数； ②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果） 8．如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足． （1）点表示的数是___________，点表示的数是____________． （2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？ （3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？ 三．动角问题压轴（共4小题） 9．如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转． (1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____； (2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值． 10．如图1，A，O，B三点在一条直线上，且，射线分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，射线分别平分和，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为t秒． (1)如图1，运动开始前， °； (2)若在上方，当t为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，在的内部引一条射线，则图中共有个角，分别是、和．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“定分线”． (1)一个角的角平分线______这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图，若，其中射线是的“定分线”，请求出的度数； (3)如图，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒．同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，并与同时停止旋转．请直接写出射线是“定分线”时的值． 12．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 四．三角板中角度计算问题（共4小题） 13．图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 14．【操作拼图】已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中与直线重合，，，． (1)在上述所拼图形中，的度数为________； (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方，设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角板也绕着点O以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线的上方，且当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转．设三角板的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 15．王老师在数学实验课中组织学生进行操作探究，用一副三角板（分别含， ，和，，的角）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）． (1)如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．当t= 时，边平分； (2)在（1）的条件下，在三角板开始旋转的同时，三角板也从原有位置开始绕点C以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转． ①当t为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 16．如图两个形状、大小完全相同的含有，的三角板如图1放置，，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． (1)将图1中的三角板保持不动，三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过秒后，平分，求此时的值； (2)将图1三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周的同时，三角板也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间边与首次重合； (3)如图③，将图1三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，(当转到与重合时，两三角板都停止转动)，在旋转过程中，、、三条射线中，得到三个角，，，当这三个角中有一个角是另外一个角的2倍时，直接写出旋转的时间的值． 五．实际问题中角度计算问题（共4小题） 17．“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1-12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度． 课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是． 问题解决： (1)3点整时，时针与分针所成角度是______，9点30分时，时针与分针所成角度是______； (2)如图2，当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？（精确到分） (3)1点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻．（精确到分） 18．“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1－12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转度． 课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是． 问题解决： (1)三点三十分时，时针与分针所成角度是_______°，三点四十分时，时针与分针所成角度是_______°； (2)一点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻； (3)如图2，当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？从0时到24时共_______个美妙时刻 19．如果两个角的差的绝对值等于60°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于0°小于180°的角），例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． （1）如图1．O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______________． （2）如图2，O为直线上一点，，将绕着点O以每秒1°的速度逆时针旋转得，同时射线从射线的位置出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t何值时，与互为“伙伴角”． （3）如图3，，射线从的位置出发绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，旋转时间为t秒，射线平分，射线平分，射线平分．问：是否存在t的值使得与互为“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 20．如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 六．角平分线的有关计算压轴（共4小题） 21．如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 22．已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 23．综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    24．一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】（1）如图①，已知，，为的角平分线，求的度数． 【探索归纳】（2）如图①，，，为的角平分线，则的度数为______（直接写出结果，用含m、n的代数式表示）． 【问题解决】（3）如图②，若，，，若射线绕点O以每秒逆时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 七．与余角、补角有关的计算压轴（共4小题） 25．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 26．定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 27．已知：，，，是从点O引出的三条射线．    (1)如图1，若平分，平分，当时，______；当射线绕点O在内部旋转时，______； (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余； (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由； ②当大于而小于时，直接写出的度数． 28．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 八．平行线的判定与性质压轴（共4小题） 29．已知，，点O为上方一点，E、F为上两点，连接、，分别交于M、N两点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点G为上一点，连接，作垂足为H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点P，连接，若，，求的度数． 30．已知． (1)如图1，点B为直线和之间一点，于B，直接写出与关系； (2)如图2，若，，点E在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直线与直线、分别交于E、F两点，若、分别平分、，且，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转以后停止．设它们同时旋转t秒，当t为何值时，射线． 31．已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、． (1)如图①，求证： (2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数． (3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___． 32．在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一个直角三角尺”开展数学活动. (1)如图①，小明把三角尺角的顶点放在直线上，.请用等式表示与之间满足的数量关系_______________________（不用证明）； (2)如图②，在图①的基础上小颖作的角平分线交于点，求的度数； (3)如图③，小亮把三角尺角的顶点也放在直线上，并作的角平分线交于点，直接写出的度数. 九．根据平行线的性质探究角的关系（共4小题） 33．如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线上． (1)试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程） (2)如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（只回答） (3)如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程） 34．如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 35．已知∶ 平分 (1)如图①，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图②，当时，求的度数； (3)如图②，请你直接写出之间满足什么关系时，． 36．【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： (1)如图-1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到，若，，则的度数为 ； (2)【类比迁移】如图-2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，请用含α的式子表示； (3)【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图-3所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 一十．根据平行线的性质求角的度数（共4小题） 37．如图 1， ， 平分 ，点 E 在射线 上， ，垂足为点 D ， 平分 ，交射线 于点 F ，点 P 是射线上一点，连结 ． (1)如图 1，若 平分 ，则． (2)如图 2，若 ，求的度数． (3)如图 3，若 ，则 (4)若，直接写出的度数 38．已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 39．（1）①如图1，已知，，根据　　　　可得，　　　　； ②如图2，在①的条件下，若平分，则　　　；  ③如图3，在①②的条件下，若，则　　　； （2）尝试解决下面问题： 如图，，，是的平分线，，求的度数． 40．如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当k为何值时，为定值，并求此定值． 一十一．平行模型（共4小题） 41．如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 42．[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图（1），已知直线，在中，，． (1)[操作发现]在图（1）中，若，求的度数； (2)如图（2），创新小组的同学将直线向上平移，并改变的位置，发现，说明理由； (3)[实践探究]缜密小组在创新小组发现的基础上，将图（2）中的图形继续变化得到图（3），平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． 43．已知分别在上． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值． 44．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（）两旁安置了两盏可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停旋转照射，当两条光束相交时，记交点为． 【猜想验证】（1）如图，转至某刻，，，则∠CFG为多少度？请说明理由； 【应用迁移】（2）灯、灯转动的速度分别是每秒、每秒．若两灯同时开始转动，则在灯射线第一次到达之前，灯转动几秒时，？请画图分析并计算． 一十二．角度计算中的旋转问题（共4小题） 45．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的伴随角．如图1，若，则是的伴随角． (1)如图1，已知，，是的伴随角，则__________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的伴随角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成伴随伴随角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 46．已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转． (1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______． (2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，． 47．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺 ，且点不能同时落在直线和之间． (1)如图， 把三角尺的角的顶点分别放在，上， 若，则的度数为_______； (2)如图，把三角尺的锐角顶点放 上，且保持不动，若点恰好落在和CD之间，与相交于点，且所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在? 若存在，请求出射线与所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由． 48．如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值． 一十三．角度计算中的折叠问题（共4小题） 49．利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接．      (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 50．如图1，点M，N分别在长方形纸条的边和上，将长方形纸条沿折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点，，折叠后与相交于点E． (1)若，求的度数； (2)设，． ①请用含α的代数式表示β； ②当α的值为_________时，是等边三角形；当α的值为______时，是直角三角形． 51．折纸实验如图，长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则____________；____________； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）． 52．在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)（基础问题）在图1中，试说明：．（完成填空部分） 证明：过点G作直线， 又，，__________ ，_________， · (2)（类比探究）在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由． (3)（应用拓展）如图3图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于F，连接，若恰好平分，，求的度数． 一十四．江苏地区期末压轴题综合（共4小题） 53．长方形纸带（足够长）上，如图1中，顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．           (1)如图1，若时，则________°； (2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由； (3)如图2，的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°． 54．在七年级的平行线性质与判定的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中，，．请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题： 初步感知： 问题1：将上述三角板的直角顶点重合在一起，如图2所示，当时，则 ； 问题2：如图3，当平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由．    深度探究： 问题3：将上述三角板按图4所示的方式摆放，点A、B在直线GH上，点D、F在直线上，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，且，是否存在t的值，使边与另一块三角板的一条直角边平行，若存在请求出t的值；若不存在请说明理由．             问题4：将上述三角板按图5所示的方式摆放，点C与点D重合，保持三角板不动，将三角板绕点C旋转，使点F在直线上方，当两块三角板的两条边互相平行时，若的度数最大值为m，最小值为n，则　    55．【问题探究】如何证明三角形内角和定理？ （1）方法1：过的顶点A作，就能证明“三角形内角和定理”，请你完成这个证明． 如图1，在中，过顶点A作，求证：． （2）方法2：如果将顶点A这个特殊的位置换成边上的任意一点P，过点P分别作出另外两边的平行线，也能证明“三角形内角和定理”，请你先画出辅助线，再完成这个证明． 如图2，在中，P是边上的任意一点，求证：． 【定理应用】 （3）如图3，点P是边上的任意一点，射线，平分，点N为线段上一点（点N不与点P，D，E重合），且．若，，试用含的式子表示． 56．经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，则__________； (2)如图2，，点P在直线上方，探究之间的数量关系，并证明： (3)如图3，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明： (4)如图4，，点P在直线上方，分别是的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．请直接写出与之间的数量关系．（请自行画图分析） 57．在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线、，直角三角板，，，． (1)小明将三角板按如图1方式摆放，点在上，边与交于点，若，则____________°； (2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点、分别在、上，的角平分线与的角平分线交于点，若，求的度数； (3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点、仍然分别在、上，如图3，再将沿边翻折，边的对应边与交于点，小颖给出下列两个结论： ①的值不变；②的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由． 58．已知： 如图1，是的角平分线， E是延长线上一点，． (1)若， 则 °； (2)在图1中，我们发现，无论∠ADE 为何值时，总有 ， 规定：若两个角α、β满足： (k为正整数)，则称β是α的“k级准余角”，若α、β恰好是某三角形的两个内角，则称该三角形是“k级准直角三角形”，如： ∵ 是的“2级准余角”， 若中，， 则是“2级准直角三角形”  ． ①下列说法正确的有 ．（多选题） A．是的“2级准余角”； B．是的“3级准余角”； C． 若是“2级准直角三角形”， 则一定是等腰三角形； D． 若是“3级准直角三角形”，则一定不是直角三角形； ②如图2， 已知，， 若是的“3级准余角”，求的度数； ③如图3， B为直线上一点， 点A 在直线外，， 在直线上是否存在点P，使是“2级准直角三角形”? 如果存在，请直接写出的度数，如果不存在，请简要说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题07 平面图形的初步认识（压轴必刷58题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！93 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线、射线、线段压轴题 题型二 线段动点问题 题型三 动角问题压轴 题型四 三角板中角度计算问题 题型五 实际问题中角度计算问题 题型六 角平分线的有关计算压轴 题型七 与余角、补角有关的计算压轴 题型八 平行线的判定与性质压轴 题型九 根据平行线的性质探究角的关系 题型十 根据平行线的性质求角的度数 题型十一 平行模型 题型十二 角度计算中的旋转问题 题型十三 角度计算中的折叠问题 题型十四 江苏地区期末压轴题综合 一．直线、射线、线段压轴题（共4小题） 1．一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？ （4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【分析】本题考查了线段条数计算、角的个数计算及其拓展等知识，注意数数时要不重不漏． 当直线上有4个点时，以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，所有线段都重复了一次，则可得线段为；直线上有5个点时，同理得线段条数；同理有个点时，得线段条数； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，由上步所求即可求解； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花时间的最短；有个机器人，分n是偶数与奇数两种情况考虑即可； （3）仿照一条直线4个点的线段条数分析即可； （4）横向每行仿照一条直线上6个点的线段条数有15个长方形，纵向列仿照一条直线上5个点的线段条数共有10个长方形，从而由即可求得长方形的个数． 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条； 故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． 2．【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场 【分析】[观察发现]根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n−1)个交点；[实践应用] 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=； ②三条直线相交最多有3个交点：3=； ③四条直线相交最多有6个交点：6=；… n条直线相交最多有个交点． 故答案为：6，． [实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入． ∴这一轮共要进行120场比赛． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 3．我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： (1)完成下表 直线数 … 交点数 … (2)在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】(1)；； (2)这一轮要进行场比赛 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 根据题意，结合图形，发现：条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点．条直线相交最多有个交点，而，，，，故可猜想，条直线相交，最多有个交点； 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 【详解】（1）解：①两条直线相交最多有个交点：； ②三条直线相交最多有个交点：； ③四条直线相交最多有个交点：； ④五条直线相交最多有个交点：， ⑤六条直线相交最多有个交点： … 条直线相交最多有个交点； 故答案为：；； （2）解：该类问题符合上述规律，所以可将代入， 即； 故这一轮要进行场比赛 4．观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 【答案】（1）3，6，28，；（2）7，11，37， 【分析】（1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可得出n条直线相交最多有交点的个数； （2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即可n条直线最多把平面分成几部分． 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有1+2=3个交点； 4条直线相交最多有1+2+3=6个交点； 5条直线相交最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交最多有1+2+3+4+5=15个交点； 7条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点， 8条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28个交点， … n条直线相交最多有个交点； （2）1条直线最多把平面分成1+1=2部分； 2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分； 3条直线最多把平面分成1+1+2+3=7部分； 4条直线最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分； 5条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分； 6条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分； 7条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分； 8条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分； … n条直线最多把平面分成 【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，弄清题中的规律是解本题的关键． 二．线段动点问题（共4小题） 5．如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式； ②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______； (2)求出的值，并说明理由： (3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 【答案】(1)1，2 (2)3 (3) 【分析】本题考查了线段的和差倍分，一元一次方程的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． （1）根据同类项的定义列方程即可得到结论； （2）设，则，根据题意列方程即可得到结论； （3）设，由（2）知，，根据题意得到，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵关于、的单项式与的和仍为单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， 故答案为：1，2； （2）设运动了t秒，则 设，则，      故答案为：3； （3）设，由（2）知，， ①当点在线段上时，， 解得：， ②当点在线段的延长线上时，， 解得：，(不合题意，舍去)， 综上所述，． 6．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)①；②同意，理由见详解 【分析】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． （1）依据、在线段上，即可得到图中共有线段． （2）依据，即可得到，进而得出． （3）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． ②分为当点在线段上，点在射线上运动时；当点在射线上，点在射线上运动时，两种情况分别求解判断即可； 【详解】（1）解：∵、在线段上， ∴图中共有线段共6条． 故答案为：6； （2）若，则，即． 故答案为：； （3）①∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴．    ②当线段在射线上运动时， 当点在线段上，点在射线上运动时：      ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 当点在射线上，点在射线上运动时：    ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度不变． 7．如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示） （1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 　 　； （2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数； （3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动． 求：①P、Q相遇时求P对应的数； ②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果） 【答案】（1）4；（2）﹣6或14；（3）①，②16． 【分析】（1）根据中点的定义可得； （2）设点C表示的数为x，分点C在A、B之间，点C在点A左侧和点C在点B右侧三种情况，根据两点间的距离公式分别列方程求解可得； （3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，根据相遇时点P、Q所表示的数相同，列方程求解可得；②由①知点P、Q从出发到相遇用时秒，据此知点M的运动时间为秒，再根据路程＝速度×时间可得答案． 【详解】解：（1）根据题意知点C表示的数为4， 故答案为：4； （2）设点C表示的数为x， 当点C在A、B之间时，由题意知（x+4）+（12﹣x）＝20，即16＝20，不合题意，舍去； 当点C在点A左侧时，由题意知（﹣4﹣x）+（12﹣x）＝20，解得：x＝﹣6， 当点C在点B右侧时，由题意知x﹣12+x﹣（﹣4）＝20，解得：x＝14， 即点C表示的数为﹣6或14； （3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t， 由题意知﹣4+t＝12﹣2t， 解得：t， 则相遇时点P对应的数为﹣4； ②∵由①知点P、Q从出发到相遇用时秒， ∴点M的运动时间为秒， 则点M所经过的总路程是316单位． 【点睛】本题主要考查数轴、两点间的距离公式及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式和分类思想的运用是解题的关键． 8．如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足． （1）点表示的数是___________，点表示的数是____________． （2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？ （3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？ 【答案】（1）﹣2，5；（2）1秒；（3）1秒或秒． 【分析】（1）由非负数的性质得a+2＝0，且b﹣5＝0，得出a＝﹣2，b＝5； （2）求出AB＝7，设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，则AP＝3x，BQ＝x，可列方程 7﹣3x﹣x＝3，解方程即可； （3）由题意得t秒后，AP＝3t，BQ＝t，由中点的定义得AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t，对P、M、B三点的位置分类讨论，用含t的式子表示BM、PB、AN长，由题意得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵满足， ∴a+2＝0， b﹣5＝0， ∴a＝﹣2，b＝5， 即点A所对应的数是﹣2，点B所对应的数是5； 故答案为：﹣2，5； （2）AB＝5﹣（﹣2）＝7， 设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度， 则AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ， 列方程得，7﹣3x﹣x＝3， 解得：x＝1， 答：经过1秒时，P、Q第一次相距3个单位长度； （3）由题意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t， ∵AP的中点为M，BQ的中点为N， ∴AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t， 如图1，当点P、M都在点B的左侧时， BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴7﹣t +7﹣t＝3（7﹣3t）， 解得：t＝1； 如图2，当点M在点B的左侧，点P在点B的右侧时， BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴7﹣t +7﹣t＝3（3t﹣7）， 解得：t＝； ③如图3，当点P、M都在点B的右侧时， BM＝AM﹣AB＝t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴t﹣7+7﹣t＝3（3t﹣7）， 解得：t＝（舍去）； 综上所述，当t为1秒或秒时，BM+AN＝3PB． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点的距离、非负数的性质以及分类讨论等知识；关键是数形结合，正确列出一元一次方程． 三．动角问题压轴（共4小题） 9．如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转． (1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____； (2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值． 【答案】(1)或 (2)45或50或110或135或170 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，找到等量关系式是解题的关键． （1）设旋转时间为x秒，分两种情况：①射线顺时针旋转、逆时针旋转时；②射线逆时针旋转、顺时针旋转时，根据射线与旋转的角度即可得出答案； （2）分四种情况讨论：①当即时，②当时，③当即时，④当时，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：设旋转时间为x秒，①射线顺时针旋转、逆时针旋转时， 由题意得： ， ∴， ∴射线OA与OB旋转的速度之比为1：2； ②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转时， 由题意得：， ∴， ∴射线与旋转的速度之比为5：4； 综上，射线与旋转的速度之比为1：2或5：4， 故答案为：1：2或5：4； （2）解：①当即时， 由题意得：， 解得：； ②当时， 由题意得：， 解得：； ③当即时， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）； ④当时， 由题意得：或或， 解得：或135或170； 综上，t的值为45或50或110或135或170． 10．如图1，A，O，B三点在一条直线上，且，射线分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，射线分别平分和，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为t秒． (1)如图1，运动开始前， °； (2)若在上方，当t为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)存在，11或32 【分析】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的定义，根据角的关系列方程求解是解题的关键． （1）根据角平分线的定义直接计算即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分情况根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵射线分别平分和， ， ， ， 故答案为：90． （2）解：∵射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故当时，射线平分． （3）解：存在某一时刻使得，理由如下： ①当在上方，此时有：， 即：， 解得：； ②当在下方，此时有：， 即：， 解得：； ③当停止运动，继续旋转时，此时有旋转，， ． 综上所述：当或32时，． 11．如图，在的内部引一条射线，则图中共有个角，分别是、和．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“定分线”． (1)一个角的角平分线______这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图，若，其中射线是的“定分线”，请求出的度数； (3)如图，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒．同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，并与同时停止旋转．请直接写出射线是“定分线”时的值． 【答案】(1)是； (2)或或； (3)或或． 【分析】（）根据角平分线的定义即可求解； （）分三种情况：①是的角平分线；是的三等分线，且更小；③是的三等分线，且更大进行解答即可求解； （）分三种情况：①；②；③；分别画出图形列出方程解答即可求解； 本题考查了“定分线”的定义，一元一次方程的几何应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：一个角的角平分线是这个角的“定分线”， 故答案为：是； （2）解：①当是的角平分线时，； ②当是的三等分线时，且更小时， ； ③当是的三等分线时，且更大时， ； 综上，的度数为或或； （3）解：①当时，如图， 则， 解得； ②当时，如图， 则， 解得； ③当时，如图， 则， 解得； 综上，的值为或或． 12．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或． 四．三角板中角度计算问题（共4小题） 13．图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义； （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论； ②分用含的代数式表示出和，列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴； （2）①∵， ∴， 当平分时，， ∵， ∴， ∴； ②当射线在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 当射线在内部时， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 综上所述，满足条件的的值为或． 14．【操作拼图】已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中与直线重合，，，． (1)在上述所拼图形中，的度数为________； (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方，设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角板也绕着点O以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线的上方，且当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转．设三角板的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)72 (2)10.5秒或20.5秒 (3)存在；7秒或14.5秒或22秒 【分析】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、角的和、差、倍、分的计算、角平分线的定义等知识，正确地用代式表示射线及射线转过的度数是解题的关键． （1）由，，得，于是得到问题的答案； （2）分两种情况讨论，一是在外部，且时，则，于是得，求得；二是在内部，且时，由，得，于是得，求得； （3）分三种情况讨论，列方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：72． （2）当在外部，且时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当在内部，且时， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （3）存在， 当时，， ∴当时，与重合，此时三角板停止旋转， 当平分C时，则， ∴， 解得； 当平分时，则， ∴， 解得； 当平分时，则：， ∴， 解得：； 综上所述，或或． 15．王老师在数学实验课中组织学生进行操作探究，用一副三角板（分别含， ，和，，的角）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）． (1)如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．当t= 时，边平分； (2)在（1）的条件下，在三角板开始旋转的同时，三角板也从原有位置开始绕点C以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转． ①当t为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)21 (2)①；②存在，或 【分析】本题考查三角板有关的角度计算，一元一次方程与几何动点问题； （1）画出边平分时图形，根据角度关系求解即可． （2）①画出边平分时图形，根据角度关系求解即可；②画出时图形，根据角度关系求解即可，注意分类讨论． 【详解】（1）如图， ∵平分，， ∴, ∴边旋转的度数为， 解得， 故答案为：； （2）①如图， ∵平分，， ∴, 由题意可得，，， ∵， ∴， 解得； ②时，，， 如图，，相遇之前，，相遇之前，此时， 此时，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得，不符合题意； 如图，，相遇之前，，相遇之后，此时， 此时，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得，符合题意； 如图，，相遇之后，，相遇之后，此时， 此时，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，在旋转过程中，存在某一时刻使，或 16．如图两个形状、大小完全相同的含有，的三角板如图1放置，，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． (1)将图1中的三角板保持不动，三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过秒后，平分，求此时的值； (2)将图1三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周的同时，三角板也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间边与首次重合； (3)如图③，将图1三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，(当转到与重合时，两三角板都停止转动)，在旋转过程中，、、三条射线中，得到三个角，，，当这三个角中有一个角是另外一个角的2倍时，直接写出旋转的时间的值． 【答案】(1)秒 (2)秒 (3)t的值为或或或或或 【分析】本题考查一元一次方程的应用与角平分线，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）由得，又平分，根据题意列方程求解即可． （2）设经过m秒，与首次重合，，根据题意可列方程求解． （3）分情况讨论，将N点分在三角板内外两种情况，列出各角度的关系式，列方程求解既可． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， 根据题意得：， 解得， 的值为秒； （2）当边与首次重合时，， ， 解得， 经过秒边与首次重合； （3）转到与所需时间为秒；与经过秒重合； 当时，，，， ①若，则， 解得舍去； ②若，则， 解得； ③若，则， 解得； ④若，则， 解得； ⑤若，则， 解得； ⑥若，则， 解得舍去； 当时，，，， ①若，则， 解得； ②若，则， 解得； ③若，则， 解得舍去； ④若，则， 解得； ⑤若，则， 解得舍去； ⑥若，则， 解得； 综上所述，当这三个角中有一个角是另外一个角的倍时旋转的时间t的值为或或或或或． 五．实际问题中角度计算问题（共4小题） 17．“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1-12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度． 课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是． 问题解决： (1)3点整时，时针与分针所成角度是______，9点30分时，时针与分针所成角度是______； (2)如图2，当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？（精确到分） (3)1点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻．（精确到分） 【答案】(1)， (2)7点05 (3)在1点22分和1点55分时，时针和分针垂直 【分析】本题考查了时钟中分针与时针的角度问题，考查了角度的计算，一元一次方程的应用等知识，属于研究性学习内容，难度较大． （1）按照题干步骤，3点整，时针与分针所成角度是；9点时，时针与分针所成角度是，9点30分时，分针转动，时针转动，列算式即可求解； （2）因为时针比分针走得慢，所以再次到达美妙时刻时，分针比时针多走一圈，用分针多走的角度除以分针和时针的速度差即为再次到达美妙时刻所需的时间，再转化为美妙时刻即可求解； （3）设从一点开始过了分钟时针和分针垂直，根据等量关系“分针旋转角度（初始角度时针旋转角度）最终差值”分时针和分针垂直包含2种情况 和分别列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：3点整，时针与分针所成角度是； 9点时，时针与分针所成角度是，9点30分时，分针转动的角度，，时针转动的角度，，，所以9点30分时，时针与分针所成角度是． 故答案为：，； （2）解：六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，时针每分钟少旋转， 所以到达下一个美妙时刻需要时间分钟，所以下一个美妙时刻是7点05分． （3）解：设从一点开始过了分钟时针和分针垂直，由题意得：分针旋转角度（初始角度时针旋转角度）最终差值，当分针和时针垂直时，最终差值可以是或； ①当最终差值为时：， 解得：； ②当最终差值为时：， 解得：． 答：在1点22分和1点55分时，时针和分针垂直． 18．“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1－12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转度． 课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是． 问题解决： (1)三点三十分时，时针与分针所成角度是_______°，三点四十分时，时针与分针所成角度是_______°； (2)一点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻； (3)如图2，当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？从0时到24时共_______个美妙时刻 【答案】(1) (2)在一点二十二分或一点五十五分时，时针和分针垂直 (3)下一个美妙时刻是七点零五分；22 【分析】（1）按照题干步骤，先求从三点开始分针旋转的角度，再求时针旋转的角度，二者之差再减去初始角度即为所求； （2）设从一点开始过了x分钟时针和分针垂直，根据等量关系式分针旋转角度（初始角度时针旋转角度)最终差值代入计算，但应注意时针和分针垂直包含2种情况，分别是最终的角度差值为和； （3）因为时针比分针走得慢，所以再次到达美妙时刻时，分针比时针多走一圈，用分针多走的角度除以分针和时针的速度差即为再次到达美妙时刻所需的时间；用一天的时间除以该时间也就是一天当中美妙时刻的数量． 【详解】（1）解：三点整，时针与分针所成角度为，从三点到三点三十分，分针旋转的角度是，时针旋转的角度是 ， ∴三点三十分时，时针与分针所成角度是； 三点到三点四十分，分针旋转的角度是，时针旋转的角度是， ∴三点四十分时，时针与分针所成角度是； 故答案为：； （2）设从一点开始过了x分钟时针和分针垂直，由题意，得：分针旋转角度（初始角度时针旋转角度)最终差值，当分针和时针垂直时，最终差值可以是或； ①当最终差值为时：， 解得：，此时为一点二十二分； ②当最终差值为时：， 解得：，此时为一点五十五分． 综上：在一点二十二分或一点五十五分时，时针和分针垂直． （3）解：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，时针每分钟少旋转， ∴到达下一个美妙时刻需要时间分钟，此时为七点零五分． 一天有分钟， ，即一天有22个美时刻． 故答案为：． 【点睛】本题考查钟面角的计算，一元一次方程的应用．理解并掌握题干中钟面角的计算方法，是解题的关键． 19．如果两个角的差的绝对值等于60°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于0°小于180°的角），例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． （1）如图1．O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______________． （2）如图2，O为直线上一点，，将绕着点O以每秒1°的速度逆时针旋转得，同时射线从射线的位置出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t何值时，与互为“伙伴角”． （3）如图3，，射线从的位置出发绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，旋转时间为t秒，射线平分，射线平分，射线平分．问：是否存在t的值使得与互为“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）t为35或15；（3）存在，当t=或时，与互为“伙伴角”． 【分析】（1）按照“伙伴角”的定义写出式子，解方程即可求解； （2）通过时间t把与表示出来，根据与互为“伙伴角”，列出方程，解出时间t； （3）根据OI在∠AOB的内部和外部以及∠AOP和∠AOI的大小分类讨论，分别画出对应的图形，由旋转得出经过t秒旋转角的大小，角的和差，利用角平分线的定义分别表示出∠AOI和∠POI及“伙伴角”的定义求出结果即可． 【详解】解：（1） ∵两个角差的绝对值为60°， 则此两个角互为“伙伴角”， 而，∴设其伙伴角为， ， 则， 由图知，∴的伙伴角是． （2） ∵绕O点， 每秒1°逆时针旋转得， 则t秒旋转了， 而从开始逆时针绕O旋转且每秒4°， 则t秒旋转了， ∴此时 ， ， 又与重合时旋转同时停止， ∴， （秒）， 又与互为伙伴角， ∴， ∴， ∴， 秒或15秒． 答：t为35或15时，与互为伙伴角． （3）①若OI在∠AOB的内部且OI在OP左侧时，即∠AOP＞∠AOI，如下图所示 ∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了， ∴°， ∵平分， ∴∠AOM=∠IOM==3t° 此时6t＜160 解得：t＜ ∵射线平分， ∴∠ION= ∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=∠AOB=80° ∵射线平分 ∴∠POM==40° ∴∠POI=∠POM－∠IOM=40°－3t 根据题意可得 即 解得：t=或（不符合实际，舍去） ∴此时∠AOI=6×=° ∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×）°＋40°=＞∠AOI，符合前提条件 ∴t=符合题意； ②若OI在∠AOB的内部且OI在OP右侧时，即∠AOP＜∠AOI，如下图所示 ∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了， ∴°， ∵平分， ∴∠AOM=∠IOM==3t° 此时6t＜160 解得：t＜ ∵射线平分， ∴∠ION= ∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=∠AOB=80° ∵射线平分 ∴∠POM==40° ∴∠POI=∠IOM－∠POM =3t－40° 根据题意可得 即 解得：t=或（不符合实际，舍去） ∴此时∠AOI=6×=40° ∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×）°＋40°=60°＞∠AOI，不符合前提条件 ∴t=不符合题意，舍去； ③若OI在∠AOB的外部但OI运动的角度不超过180°时，如下图所示 ∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了， ∴°， ∵平分， ∴∠AOM=∠IOM==3t° 此时 解得：＜t≤30 ∵射线平分， ∴∠ION= ∴∠MON=∠IOM－∠ION=（－）=∠AOB=80° ∵射线平分 ∴∠POM==40° ∴∠POI=∠IOM－∠POM =3t－40° 根据题意可得 即 解得：t=（不符合前提条件，舍去）或（不符合实际，舍去） ∴此时不存在t值满足题意； ④若OI运动的角度超过180°且OI在OP右侧时，即∠AOI＞∠AOP如下图所示 此时 解得： t＞30 ∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了， ∴， ∵平分， ∴∠AOM=∠IOM==180°－3t ∵射线平分， ∴∠ION= ∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=（360°－∠AOB）=100° ∵射线平分 ∴∠POM==50° ∴∠POI=∠IOM－∠POM =130°－3t 根据题意可得 即 解得：t=（不符合，舍去）或（不符合，舍去） ∴此时不存在t值满足题意； ⑤若OI运动的角度超过180°且OI在OP左侧时，即∠AOI＜∠AOP，如下图所示 此时 解得： t＞30 ∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了， ∴， ∵平分， ∴∠AOM=∠IOM==180°－3t ∵射线平分， ∴∠ION= ∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=（360°－∠AOB）=100° ∵射线平分 ∴∠POM==50° ∴∠POI=∠POM－∠IOM =3t－130° 根据题意可得 即 解得：t=或（不符合，舍去） ∴此时∠AOI=360°－6×=° ∠AOP=∠AOM＋∠MOP=180°－（3×）°＋50°=°＞∠AOI，符合前提条件 ∴t=符合题意； 综上：当t=或时，与互为“伙伴角”． 【点睛】本题考查了角的计算、旋转的性质、一元一次方程的运用及角平分线性质的运用，解题的关键是利用“伙伴角”列出一元一次方程求解． 20．如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析． （1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可； （2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出的度数即可； （3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，当，，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，∵，且， ∴， 由题可得：， 解得：； （3）解：如图，与都不回弹时， ，解得； 如图，当在的左边， ， ∴， ∴，解得：， 如图，当在的右边， 根据题意得：，解得：， 综上，对应的值是或或． 六．角平分线的有关计算压轴（共4小题） 21．如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)能，或； (3)能或． 【分析】本题考查了角的和差定义、角平分线的定义，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题意可知，，由平分，平分；推出，，由图形可知，，即； （2）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可； （3）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或； （3）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或． 22．已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 【答案】(1)；；成立，理由见解析； (2)，证明见解析． 【分析】（）根据已知角的度数求出，再根据平角定义求出的度数即可；由中求出的结果即可求解； 根据已知角的度数表示出，再根据平角定义表示出的度数，可得和的数量关系； （）依据前面的方法表示出，表示出，可得和 的数量关系； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确认图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 由中的结果可得， 故答案为：； 中的关系仍然成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即； （2）解：不成立，和的数量关系为． 证明：设， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即． 23．综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    【答案】（）；；（）；（）． 【分析】（）先求出的长，再根据线段的中点的定义求出的长，即可求出的长；方法同上； （）根据角平分线的定义得出，，再根据 即可求解； （）求出的度数，根据， ，得出，，根据求解即可； 本题考查了线段的和差，线段中点的定义，角的和差，角平分线的定义，根据图形得出线段之间的等量关系、角之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：（）∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； ∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； （）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ， 即的度数为； （）∵，， ，， ，， ， ， ， ， ， 即的度数为． 24．一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】（1）如图①，已知，，为的角平分线，求的度数． 【探索归纳】（2）如图①，，，为的角平分线，则的度数为______（直接写出结果，用含m、n的代数式表示）． 【问题解决】（3）如图②，若，，，若射线绕点O以每秒逆时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 【答案】（1）；（2）；（3）或或2 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用，涉及射线的旋转问题，有一定难度，解题的关键是厘清角的和差关系，注意分情况讨论，避免漏解． （1）先根据角的和差关系计算出，再由角平分线的定义求出的度数，再根据求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）分①当为，夹角的角平分线，即平分时，此时，②当为，夹角的角平分线，即平分时， ，③当为，夹角的角平分线，即平分时，，④当为，夹角的角平分线，即平分时，，四种情况根据角平分线的定义建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设运动时间为t， 由题意知， 旋转了，旋转了，旋转了， ，， ∴，， ∴经过9秒射线与直线重合，经过8秒射线与直线重合，经过4秒射线与直线重合， ∴总运动时间为4秒， 当与重合时，，解得； 当与重合时，，解得； 当与重合时，，解得； ①当为，夹角的角平分线，即平分时，此时， ∴， ， 解得； ②当为，夹角的角平分线，即平分时，， ∴， ∴， 解得， ③当为，夹角的角平分线，即平分时，， ∴， ∴ 解得； ④当为，夹角的角平分线，即平分时，， ∴， ∴， 解得（舍去）， 综上所述，运动时间为为或或2秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 七．与余角、补角有关的计算压轴（共4小题） 25．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3)①．理由见解析；②， 【分析】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算． （1）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （2）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （3）①当旋转至题图2的位置时，设，同理可得，则，即，由，，两式相减即可得到结果； ②在图1中，反向延长得到射线  ，由对顶角和角平分线的性质易得，于是，由（2）可知，进而，即；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得，即，由知，于是，将代入上式，化简即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ； （2）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ， 故答案为：； （3）解：①．理由如下： 当旋转至题图2的位置时， 设，则， 平分， ， ， ，即， ， ， ， ； ②在图1中，．理由如下： 由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图， 则平分， ， 又， ， ， 由（2）知，若，则， ， ，即； 在图2中，．理由如下： 平分， ， 又， ，即， 由①知，， ， ， ， 将代入，得， 整理得． 26．定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 27．已知：，，，是从点O引出的三条射线．    (1)如图1，若平分，平分，当时，______；当射线绕点O在内部旋转时，______； (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余； (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由； ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①互余，理由见解析；② 【分析】本题是角的综合题，主要考查角的和差，角平分线的定义，余角的定义等知识，关键是运用角平分线和角的和差正确表示所需要的角． （1）由角平分线的定义可分别求出和，再根据求解即可；同理可求出第二个空； （2）由角平分线的定义分别表示出与，然后根据整理，即可证明； （3）①由角平分线的定义分别表示出与，可得，再结合，求解即可； ②由角平分线的定义分别表示出与，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴； ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴和互余； （3）解：①如图，当时，    ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴和互余； ②如图，当时，    ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴ ． 28．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 八．平行线的判定与性质压轴（共4小题） 29．已知，，点O为上方一点，E、F为上两点，连接、，分别交于M、N两点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点G为上一点，连接，作垂足为H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点P，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）过点O作，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可； （2）根据同位角相等证明，根据内错角相等证明即可； （3）作，根据平行线的判定和性质，结合角的比值求解即可． 【详解】（1）证明：过点O作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 作， ∴，， ∴． 30．已知． (1)如图1，点B为直线和之间一点，于B，直接写出与关系； (2)如图2，若，，点E在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直线与直线、分别交于E、F两点，若、分别平分、，且，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转以后停止．设它们同时旋转t秒，当t为何值时，射线． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)5秒或15秒 【分析】（1）过点B作，根据平行线的性质得出，，根据垂线定义得出，即可得出答案； （2）根据解析（1）得出，根据，得出，即可得出，根据三角形外角的性质得出，根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）分两种情况进行讨论：当点在下方时，当点在上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点B作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵于B， ∴， 即． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：当点在下方时，如图所示： 则，， ∵、分别平分、，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 当点在上方时，如图所示： 则，， ∵、分别平分、，， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当它们同时旋转5秒和15秒时，射线． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意进行分类讨论． 31．已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、． (1)如图①，求证： (2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数． (3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线性质，应用（1）所得结论解决（2）和（3）中问题，计算繁琐，难度较大，易出错． （1）过点作，得，得，两式相减便可得出结论； （2）由（1）中结论可得，设，因为平分平分，所以，即得，即可得解； （3）过H作，得出，，结合分别平分，得出，过P作，同理可得，根据，即可求出． 【详解】（1）证明：过点作，如图， ， ， ， ， 即； （2）解：如图： 设， ∵平分平分， ∴， 由（1）中结论可得， ． ， ， 即， ∴； （3）解：过H作， ， ， ， ， 分别平分， ， ， 过P作， ， ， ， ， ， ∴． 32．在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一个直角三角尺”开展数学活动. (1)如图①，小明把三角尺角的顶点放在直线上，.请用等式表示与之间满足的数量关系_______________________（不用证明）； (2)如图②，在图①的基础上小颖作的角平分线交于点，求的度数； (3)如图③，小亮把三角尺角的顶点也放在直线上，并作的角平分线交于点，直接写出的度数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查角平分线的定义和平行线性质，解题关键是熟练掌握并灵活运用以上性质． （1）过点作，根据平行线的性质可得， 从而得出，即可解答； （2）由角平分线的定义可得，从而得出，再由，可得，最后利用三角形内角和定理求解即可； （3）设，可得，再由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，再由，可得，再由角平分线的定义可得，再得，即可解答． 【详解】（1）如图，过点作， ， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）平分，平分， ， ， ， ， ； （3）设， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ； 九．根据平行线的性质探究角的关系（共4小题） 33．如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线上． (1)试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程） (2)如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（只回答） (3)如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程） 【答案】(1)，见解析 (2)不变化 (3)或，见解析 【分析】（1）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可． （2）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可． （3）利用分类思想，结合平行线的判定和性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的和，分类思想，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：； 理由：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解： ，不会变化，其证明与第一问相同． （3）证明：或； 理由：当点P在下侧时，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴． 当点P在上侧时，同理可得：． 34．如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）过点作，结合，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可． （2）①过点作，结合，得到，利用平行线的性质，结合（1）的结论变形计算即可． ②过作，而，则，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，，三个角之间的数量关系是：． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ， 即：． （2）解：①过点作， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 即：， ，， ． ②解：与的数量关系是：． 理由如下： 为的平分线，为的平分线， ，， 过作，而， ， 则 设， 则， 故， 故． 35．已知∶ 平分 (1)如图①，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图②，当时，求的度数； (3)如图②，请你直接写出之间满足什么关系时，． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据推出，进而得出，再根据角的和差关系、角平分线的定义推出，可证； （2）仿照（1）求出，再根据，推出，根据即可求解； （3）根据推出，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，，理由如下： ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的定义、角的和差关系是解题的关键． 36．【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： (1)如图-1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到，若，，则的度数为 ； (2)【类比迁移】如图-2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，请用含α的式子表示； (3)【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图-3所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）过E作，结合，，，解答即可． （2）延长交于点G，利用平行线性质，三角形外角性质，角的平分线定义，四边形内角和定理，解答即可． （3）延长交于点M,利用平行线的判定和性质，三角形外角性质解答即可． 【详解】（1）解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）解：延长交于点G， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于点F， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）延长交于点M ∵ ∴ ∵与的平分线相交于点G， ∴，， 设，的交点为N， ∵，且，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，对等角相等，四边形内角和定理，角的平分线，熟练掌握平行线的性质，三角形外角性质是解题的关键． 一十．根据平行线的性质求角的度数（共4小题） 37．如图 1， ， 平分 ，点 E 在射线 上， ，垂足为点 D ， 平分 ，交射线 于点 F ，点 P 是射线上一点，连结 ． (1)如图 1，若 平分 ，则． (2)如图 2，若 ，求的度数． (3)如图 3，若 ，则 (4)若，直接写出的度数 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）先求解，，再求解，再利用角的和差关系可得答案； （2）证明，结合，从而可得答案； （3）证明，可得； （4）分两种情况讨论：在的外部，在的内部，再求解，再利用角的和差可得答案． 【详解】（1）解： ， ， 平分 ， ， 平分 ， ， ， 故答案为：； （2）解： ， ， ， ， ， ， ； （3）解： ， ， 平分 ， ， ， ， （4）解：如图，当在的外部时， ，， ， ； 如图，当在的内部时， 同理，， ； 综上可知，的度数为或． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质，角的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键． 38．已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用： （1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）①过P作，根据，可得，，进而得到； ②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过P作， 同理可得，， 与的角平分线相交于点K， ， ； （3）解：①如图3，过P作， ， ， ，， ， 故答案为：； ②如图3，过K作， ， ， ，， ， 由①知，， 与的角平分线相交于点K， ， ． 39．（1）①如图1，已知，，根据　　　　可得，　　　　； ②如图2，在①的条件下，若平分，则　　　；  ③如图3，在①②的条件下，若，则　　　； （2）尝试解决下面问题： 如图，，，是的平分线，，求的度数． 【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；；②； ③60；（2）． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①根据两直线平行，内错角相等即可得出答案； ②根据角平分线的定义即可得出； ③由垂线的定义得出，再根据计算即可得解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补求得，再根据角平分线的定义求出的度数，由垂线的定义得出，据此计算即可得出答案． 【详解】解：（1）①，， 由两直线平行，内错角相等，得； 故答案为：两直线平行，内错角相等；； ②平分， ， 故答案为：； ③， ， ； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当k为何值时，为定值，并求此定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②当时，为定值，此时定值为． 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，，则，，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，，则，，通过计算，令计算结果中的的系数为即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可得： ，，， ∴， ∴，， ①∵， ∴， ∴，， ∴； ②，定值为，理由如下： 当时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 一十一．平行模型（共4小题） 41．如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∵平分平分； ， ∴． 故答案为：． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 42．[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图（1），已知直线，在中，，． (1)[操作发现]在图（1）中，若，求的度数； (2)如图（2），创新小组的同学将直线向上平移，并改变的位置，发现，说明理由； (3)[实践探究]缜密小组在创新小组发现的基础上，将图（2）中的图形继续变化得到图（3），平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理． （1）根据∠1、及∠3的和为180°可求出∠3，根据平行线的性质解答； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论； （3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可． 【详解】（1）解：如图（1）． ，， ． ， ． （2）解：如图（2），过点作， 在中，，， ． ，， ， ，． ． ． ． （3）解：． 理由如下：如图（3），过点作， ． 平分，， ，． ， ，． ． ， ． ． ． 43．已知分别在上． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或10或14 【分析】（1）过E作，由平行线的性质可得出，，可得，即． （2）设，则，设，则，由(1)可知，，可列出，将和，代入化简可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度差为，结合题意将角度转化为角度差，结合题意分别列出对应的角度和差关系求解即可； 【详解】（1）解：如图，过E作， ∴，① 又， ∴， ∴．② ①②得，， ∴． （2）解：如图， 设，则，设，则， 由(1)可知 同理可得 又， ∴， 则， 由，得， 由，得, 将，代入，得． （3）解：将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，，则， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，解得， 根据题意得，， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，即，解得， 根据题意得，， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，即，解得， 故满足题意得或10或14． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分的性质、角度和差倍积的关系以及运动的思想，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． 44．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（）两旁安置了两盏可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停旋转照射，当两条光束相交时，记交点为． 【猜想验证】（1）如图，转至某刻，，，则∠CFG为多少度？请说明理由； 【应用迁移】（2）灯、灯转动的速度分别是每秒、每秒．若两灯同时开始转动，则在灯射线第一次到达之前，灯转动几秒时，？请画图分析并计算． 【答案】（1），理由见解析（2）45秒和75秒，画图分析计算见解析 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，一元一次方程的应用； （1）过点作，得出则，，进而得出，代入数据，即可求解； （2）设灯转动秒时，，则灯转动的速度是每秒，，，进而分当点在右边时，当点在左边时，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）． 理由如下：如图，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． （2）设灯转动秒时，， 灯转动的速度是每秒， ， ， 当灯射线第一次到达时，（秒）， ， ①如图所示，当点在右边时， 灯转动的速度是每秒， ，， 由题意得，， ， 解得，符合题意， 灯转动秒时，． （此时点在上） ②如图所示，当点在左边时， 即当灯射线旋转后返回时， 则，， 由（）中结论可得， 得：， ， ． 灯转动秒和秒时，． 一十二．角度计算中的旋转问题（共4小题） 45．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的伴随角．如图1，若，则是的伴随角． (1)如图1，已知，，是的伴随角，则__________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的伴随角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成伴随伴随角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能构成伴随角；或或或 【分析】本题主要考查了角的计算，一元一次方程，解题的关键是理解伴随角的定义． （1）根据伴随角的定义可求得，进一步解答即可； （2）首先求得，然后根据伴随角的定义进一步解答即可； （3）根据伴随角的定义列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：是的伴随角，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 是的伴随角， ， ， 旋转的角度为时，是的伴随角； （3）解：在旋转一周的过程中，射线，，，能构成伴随角； 理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为， 如图1， 是的伴随角，， ， ， 解得：， ； 如图2， 是的伴随角，， ， ， ， ； 如图3， 是的伴随角，， ， ， ， ， 如图4， 是的伴随角，， ， ， 解得：， ； 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成伴随角． 46．已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转． (1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______． (2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，． 【答案】(1) (2)秒或秒或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和一元一次方程的解法，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题． （1）求出旋转秒时，，，过作，根据平行线的性质求得，，进而得结论； （2）分三种情况讨论，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间． 【详解】（1）解：当旋转时间秒时，由已知得：，，如图1， 过作，则， ，， ， ， 故答案为：； （2）①设射线旋转的时间为秒； 第一次平行时，如图2， 则，， ，， ， 即， 解得：秒； ②第二次平行时，如图3，则，， ，， ， 即， 解得：秒； ③第三次平行时，如图4，则，， ，， ， 即， 解得：秒； 故答案为：15秒或63秒或135． 47．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺 ，且点不能同时落在直线和之间． (1)如图， 把三角尺的角的顶点分别放在，上， 若，则的度数为_______； (2)如图，把三角尺的锐角顶点放 上，且保持不动，若点恰好落在和CD之间，与相交于点，且所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在? 若存在，请求出射线与所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质得出，得出，即可求解． （2）设交于点，则，过点作，推出．根据平行线的性质得出，则，求出，即可求解． （3）根据题意，进行分类讨论：①当在上方时，②当在下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图，交于点，则，过点作， ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． （3）或． 如图，交于点，当点在上方时， 设，则， ∴， 解得． ∴； 如图，延长交于点，当点在下方时， 设，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 48．如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①在旋转过程中，若边，t的值为；②满足条件的t的值为或 【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题； （2）①首先证明，由此构建方程即可解决问题； ②分两种情形：当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题；当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图②中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边的值为． ②如图③中，当时，延长交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图③﹣1中，当时，延长交于R． ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 综上，当边时，的值为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，学会用分类讨论的思想思考问题及利用参数构建方程是解题的关键． 一十三．角度计算中的折叠问题（共4小题） 49．利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接．      (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，掌握从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （1）由折叠得出，由平角的性质可得，再由，即可求解； （2）同（1）的方法求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：由题意知， ， ， 故答案为：； （2）解：由题意知， ， ， ． 50．如图1，点M，N分别在长方形纸条的边和上，将长方形纸条沿折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点，，折叠后与相交于点E． (1)若，求的度数； (2)设，． ①请用含α的代数式表示β； ②当α的值为_________时，是等边三角形；当α的值为______时，是直角三角形． 【答案】(1) (2)①②，是等边三角形；时，是直角三角形． 【分析】（1）根据题意，得长方形纸条，折叠性质，得，，结合，利用平行线的性质求的度数即可； （2）①根据(1)得，根据折叠的性质，得即，解答即可． ②根据是等边三角形，得到，结合，解得；当是直角三角形时，． 【详解】（1）解：∵将长方形纸条进行折叠， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）①根据(1)得，根据折叠的性质，得即， 故． ②解：根据是等边三角形，得到，又， 解得； 当是直角三角形时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，平行线的性质，特殊三角形的性质，熟练掌握折叠性质，平行线性质是解题的关键． 51．折纸实验如图，长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则____________；____________； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质： （1）由折叠的性质得到，由长方形的对边是平行的，得到，，由对顶角的性质得到，即可得到； （2）由折叠可得，，由长方形的对边是平行的，得，可得，再进一步可得答案； 【详解】（1）解：由折叠可得， ∴， ∵长方形的对边是平行的， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由折叠可得，， ∵长方形的对边是平行的， ∴，， ∴， ∴， ∴； 52．在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)（基础问题）在图1中，试说明：．（完成填空部分） 证明：过点G作直线， 又，，__________ ，_________， · (2)（类比探究）在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由． (3)（应用拓展）如图3图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于F，连接，若恰好平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析； (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，折叠的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）过点G作直线，根据两直线平行，内错角相等，得出，，即可证明结论； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等，得出，，即可证明结论； （3）由折叠的性质可知，图3图4中，，，进而得出，结合角平分线的定义，得到，再根据平行线性质，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：如图1，过点G作直线， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，，， ，， 将长方形纸条沿折叠，得到图4， 图4中，，， ， 恰好平分， ， ， ． 一十四．江苏地区期末压轴题综合（共4小题） 53．长方形纸带（足够长）上，如图1中，顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．           (1)如图1，若时，则________°； (2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由； (3)如图2，的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°． 【答案】(1) (2)的值不会变化，理由见详解 (3)或或 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线，三角形内角和外角和定理，解一元一次方程等知识的综合，掌握平行线的性质，三角形内角和外角和定理，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据平角的性质可得，，根据角平分线的性质可得，由此可得的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）由（1）的证明可得是定值，再根据三角形的内角和定理即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当时；当时；当时；根据平行线的性质，等腰三角形的的性质，解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据图示，点三点共线，点共线， ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：，这个值不会变化，理由如下， 由（1）可知，， ∵，， ∴，即是定值， ∴，不会发生变化； （3）解：当时，如图所示， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴； 当时，如图所示，设， 由（2）可知，（Ⅰ）， ∵，平分， ∴，即是等腰三角形， ∴①， ∵，， ∴， ∵， ∴②， 把②代入①得，，整理得，（Ⅱ）， 由（Ⅰ），（Ⅱ）联立方程组得，， 解得，， ∴； 当时，如图所示， 同理，是等腰三角形，，， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当时，， ∵， ∴，即， ∴该种情况不符合题意，舍去； 综上所述，的度数为或或． 54．在七年级的平行线性质与判定的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中，，．请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题： 初步感知： 问题1：将上述三角板的直角顶点重合在一起，如图2所示，当时，则 ； 问题2：如图3，当平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由．    深度探究： 问题3：将上述三角板按图4所示的方式摆放，点A、B在直线GH上，点D、F在直线上，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，且，是否存在t的值，使边与另一块三角板的一条直角边平行，若存在请求出t的值；若不存在请说明理由．             问题4：将上述三角板按图5所示的方式摆放，点C与点D重合，保持三角板不动，将三角板绕点C旋转，使点F在直线上方，当两块三角板的两条边互相平行时，若的度数最大值为m，最小值为n，则　    【答案】问题1：，问题2：，理由见解析，问题3：t的值为10或40或55，问题4： 【分析】问题1：根据平行线的性质得到，由等角（或同角）的余角相等，得到，即可得到答案； 问题2：同理问题1得到，由平分，推出，从而得到，再根据，即可推出； 问题3：分两种情况进行讨论：当时，延长交于点P，当时，延长交于点T，当时，延长交于点Q，过点F作，进而根据平行线的判定和性质进行求解即可； 问题4：分，五种情况，画图出图，再求解． 【详解】问题1：，， ， ； 问题2：，理由如下， 同理问题1得， 平分，， ， ， ， ； 问题3：解：如图，①当时，延长交于点P，延长交于点Q， ∵， ∴， ∵，，． ∴，， ∴， ∴， ∴，    ∴， ∵旋转速度为每秒的速， ∴秒转过的角度为， ∴， 解得； ②当时，如图，延长交于点T， ∵旋转速度为每秒的速， ∴秒转过的角度为， 根据题意得：， ∵，    ∴， ∵，，． ∴， ∴，即， ∴； 当时，延长交于点Q，过点F作，过点D作，交于点P，    ， ∵旋转速度为每秒的速， ∴秒转过的角度为， ， 综上所述：所有满足条件的t的值为10或40或55； 问题4：如图，时，    ∴， ∴， ∴； 如图，时， ∴；    如图，时，    ∴， ∴； 如图，时，    ∴， ∴； 如图，时，延长交于G，过点F作于点H，    ∵， ∴ ， ， ， ∵， ∴ ∴； 综上，的度数最大值，最小值为， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，动角问题，几何中角度的计算，余角补角的计算，三角板的特征，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键． 55．【问题探究】如何证明三角形内角和定理？ （1）方法1：过的顶点A作，就能证明“三角形内角和定理”，请你完成这个证明． 如图1，在中，过顶点A作，求证：． （2）方法2：如果将顶点A这个特殊的位置换成边上的任意一点P，过点P分别作出另外两边的平行线，也能证明“三角形内角和定理”，请你先画出辅助线，再完成这个证明． 如图2，在中，P是边上的任意一点，求证：． 【定理应用】 （3）如图3，点P是边上的任意一点，射线，平分，点N为线段上一点（点N不与点P，D，E重合），且．若，，试用含的式子表示． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了平行线的判定和性质，三角形内角和的证明，三角形外角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据平行线的性质和平角的定义可解答； （2）如图2，过点作交于点，作交于点，根据平行线的性质和平角的定义可解答； （3）分两种情况：①如图3，当点在线段上时，②如图4，当点在线段上时，根据平行线的性质和角平分线的定义，三角形外角的性质可解答． 【详解】（1）证明：， ，． ， ； （2）证明：如图2，过点作交于点，作交于点， ，，， ， ； （3）解：①如图3，当点在线段上时， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图4，当点在线段上时， ； 综上：或． 56．经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，则__________； (2)如图2，，点P在直线上方，探究之间的数量关系，并证明： (3)如图3，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明： (4)如图4，，点P在直线上方，分别是的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．请直接写出与之间的数量关系．（请自行画图分析） 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 (4) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，过作，则，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，过作，则，同理（1）可得，，则； ∴； （3）由平分，平分，可得，设，则，，，如图3，过作，过作，由（2）可知，，由，可得，同理（1）可得，则，由，可得，整理作答即可； （4）由题意作图，如图4，由，设，，，，则，，，，则，即；，即；由（2）可知，，如图4，过作，过作，则，同理（1）可得，，，同理，，由，可得． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：；证明如下； 如图2，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下； ∵平分，平分， ∴， 设，则，，， 如图3，过作，过作， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：由题意作图，如图4， ∵， ∴设，，，，则，，，， ∴，即； ∴，即； 由（2）可知，， 如图4，过作，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴． 57．在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线、，直角三角板，，，． (1)小明将三角板按如图1方式摆放，点在上，边与交于点，若，则____________°； (2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点、分别在、上，的角平分线与的角平分线交于点，若，求的度数； (3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点、仍然分别在、上，如图3，再将沿边翻折，边的对应边与交于点，小颖给出下列两个结论： ①的值不变；②的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由． 【答案】(1)40 (2) (3)②正确，不变值为2 【分析】（1）证明，再利用角的和差运算可得答案； （2）如图，过作，而，可得，可得，，证明，可得，，再进一步可得答案； （3）设，可得，同理可得：，则，再进一步可得答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过作，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得：； （3）解：②的值不变，理由如下： 设， ∴， 同理可得：， ∴, ∴；； ∴①的值变化；②的值不变． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的含义，角的和差倍分关系，作出合适的辅助线是解本题的关键. 58．已知： 如图1，是的角平分线， E是延长线上一点，． (1)若， 则 °； (2)在图1中，我们发现，无论∠ADE 为何值时，总有 ， 规定：若两个角α、β满足： (k为正整数)，则称β是α的“k级准余角”，若α、β恰好是某三角形的两个内角，则称该三角形是“k级准直角三角形”，如： ∵ 是的“2级准余角”， 若中，， 则是“2级准直角三角形”  ． ①下列说法正确的有 ．（多选题） A．是的“2级准余角”； B．是的“3级准余角”； C． 若是“2级准直角三角形”， 则一定是等腰三角形； D． 若是“3级准直角三角形”，则一定不是直角三角形； ②如图2， 已知，， 若是的“3级准余角”，求的度数； ③如图3， B为直线上一点， 点A 在直线外，， 在直线上是否存在点P，使是“2级准直角三角形”? 如果存在，请直接写出的度数，如果不存在，请简要说明理由． 【答案】(1) (2)①②③存在，的度数分别是 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解题关键， （1）根据三角形外角的性质结合角平分线定义完成解答即可； （2）①根据k级准直角三角形定义结合三角形内角和定理判断即可； ②根据k级准直角三角形定义结合平行线的性质计算即可； ③根据①中结论，分两种情况分别根据k级准直角三角形定义计算即可； 【详解】（1）解：是的角平分线， ； （2）解：①A、 是的“2级准余角”，正确； B、 是的“3级准余角”，正确； C、若是“2级准直角三角形”，设，即 ， ， 则一定是等腰三角形，正确； D、若是“3级准直角三角形”， 设，即， ， 当时，，， 则也有可能是直角三角形，故原说法错误； 故说法正确的是：； ② ， 是的“3级准余角”， ， 解得：； ③存在，理由如下： 当点P在右侧时，是“2级准直角三角形”， ， 由①知为等腰三角形， 当时，； 当时，则； 当时，则； 当点P在右侧时，是“2级准直角三角形”， ， ， 由①知为等腰三角形， 时，； 综上所述， 的度数分别是． $$