5.1.2弧度制（3大题型提分练）数学湘教版必修第一册

5.1.2弧度制 题型一 角度与弧度的换算 1．把化成角度是（    ） A． B． C． D． 2．将弧度化为角度是（    ） A．45° B．60° C．75° D．90° 3．现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 4．角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示的时钟显示的时刻为，设150分钟后时针与分针的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 6（多选题）．将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 7（多选题）．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8（多选题）．下列说法中正确的是（    ） A． B．若为第一象限角，则为第一或第三象限角 C．第一象限角都是锐角 D．终边在直线上的角的集合是 9．已知角，则角的终边在第 象限. 10．将120°化为弧度制为 ． 题型二 用弧度制表示角的集合 1．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 2．与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 5．终边在轴正半轴上的角的集合是 （用弧度表示） 6．写出一个与终边相同的正角： ．（用弧度数表示） 7．已知角的终边与角终边关于轴对称，则的关系是 ． 8．终边在直线上的角的集合为 ． 9．用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合． 10．集合，，，，分别求，，． 11．（1）已知，试求的取值范围； （2）设且，求的取值范围. 题型三 有关扇形的计算 1．若一扇形的圆心角的弧度数为2，且该扇形的半径为7，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C．14 D． 2．在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（   ） A． B． C． D． 3．若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 5．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气.一扇环形砖雕如图所示.若，且扇形的弧长为，则该扇环的面积为（    ） A． B．4 C． D． 6．如图所示的几何图形，设弧AD的长度是，弧BC的长度是，扇环ABCD的面积为，扇形BOC的面积为．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 7．如图，已知的半径是2，点、、在上，若四边形为菱形，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 9（多选题）．下列说法错误的是（    ） A．命题，的否定为， B．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．已知函数的值域为，则的取值范围是 10．弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为 ． 11．扇形的半径为2，圆心角所对的长为4，则该扇形的面积是 . 12．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 1．将角写成的形式，在范围内找出与α终边相同的角的集合． 2．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内（不包括边界）的角θ的集合． 3．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 4．水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1.2弧度制 题型一 角度与弧度的换算 1．把化成角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度制与角度制的转化关系计算可得. 【详解】. 故选：B 2．将弧度化为角度是（    ） A．45° B．60° C．75° D．90° 【答案】B 【分析】根据弧度和角度的互换计算即可. 【详解】因为, 所以， 故选：B. 3．现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由弧度与角度的关系即可得解. 【详解】根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上逆时针运动所对圆心角的度数为，即弧度数为． 故选：D． 4．角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧度制与角度值的转化即可. 【详解】. 故选：A. 5．如图所示的时钟显示的时刻为，设150分钟后时针与分针的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据时钟的特性，结合弧度制的写法，可得答案. 【详解】150分钟后是7：00整，时针指向9，分针指向12， 所以． 故选：B． 6（多选题）．将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用角度与弧度的换算公式计算即可一一判断. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 7（多选题）．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据弧度制与角度值不能混用即可排除AB，根据角度制与弧度制的互化以及终边相同角的概念即可判断CD. 【详解】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误． 对C，，则与终边相同，而与终边相同， 且化为角度制即为，则与的终边相同， 则是与的终边相同的角的表达式，故C正确； 对D，由C得与终边相同， 则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确． 故选：CD． 8（多选题）．下列说法中正确的是（    ） A． B．若为第一象限角，则为第一或第三象限角 C．第一象限角都是锐角 D．终边在直线上的角的集合是 【答案】AB 【分析】根据角度和弧度的转化判断A；根据n分角的判断方法判断B；举出反例判断C；写出终边在直线上的角的集合判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，为第一象限角，即， 则，则为第一或第三象限角，B正确； 对于C，第一象限角不都是锐角，比如为第一象限角，但不是锐角，C错误； 对于D，终边在直线上的角的集合是，D错误. 故选：AB 9．已知角，则角的终边在第 象限. 【答案】二 【分析】根据终边相同角的概念，结合弧度制可解. 【详解】终边落在第几象限就是第几象限角，则. 根据终边相同角概念，与终边相同，则的终边在第二象限. 故答案为：二. 10．将120°化为弧度制为 ． 【答案】 【分析】利用弧度制和角度制的转化即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以 故答案为： 题型二 用弧度制表示角的集合 1．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化为弧度，利用终边相同的角的定义可得结果. 【详解】因为，故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D. 2．与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入终边相同的角的集合，即可求解. 【详解】与角终边相同的角的集合是，当时，. 故选：B 3．已知集合，集合，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据给定条件把集合B写成用形式表示的集合，再与集合A求交集即可. 【详解】依题意，， 而， 所以，. 故选：A 4．已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求阴影的边界表示的角的集合，再用不等式表示集合. 【详解】终边落在上的角为，终边落在上的角为， 故角的集合为. 故选：C 5．终边在轴正半轴上的角的集合是 （用弧度表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，直接写出结论即得. 【详解】在内，终边在轴正半轴上的角为， 所以终边在轴正半轴上的角的集合是. 故答案为： 6．写出一个与终边相同的正角： ．（用弧度数表示） 【答案】，(写出一个即可) 【分析】终边相同的角之间相差或可得答案. 【详解】因为， 所以与终边相同的正角为,写出一个即可为. 故答案为：. 7．已知角的终边与角终边关于轴对称，则的关系是 ． 【答案】/ 【分析】利用角与终边关于y轴对称的关系及周期性求解 【详解】因为角的终边与角的终边关于y轴对称，在一个周期中， ，即，所以由周期性知，． 故答案为：，． 8．终边在直线上的角的集合为 ． 【答案】 【分析】由任意角与弧度制的定义求解， 【详解】由题意得与轴的夹角为，故终边在直线上的角的集合为， 故答案为： 9．用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合． 【答案】 【分析】根据象限角的定义结合弧度制分析求解. 【详解】终边落在射线OA上的角为，，即，， 终边落在射线OB上的角为，，即，， 故终边落在阴影部分内（含边界）的角θ的集合为． 10．集合，，，，分别求，，． 【答案】；；. 【分析】根据任意角的弧度表示及交集的概念即可计算. 【详解】； ； 分别令k＝－1，0，1，即可得： . 11．（1）已知，试求的取值范围； （2）设且，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由求出的取值范围，再利用不等式的基本性质求出的取值范围； （2）法一：设，则，利用待定系数法求出，再利用和的取值范围，即可得到答案； 法二：将1与代入函数解析式，用和将表示出来，然后可用和将表示出来，即可得到答案. 【详解】（1），，， ，， 又，，，的取值范围是. （2）法一：设(，为待定系数)， 则，于是得，解得， ． 又，， 即的取值范围是． 法二：由得． 又，， 即的取值范围是． 题型三 有关扇形的计算 1．若一扇形的圆心角的弧度数为2，且该扇形的半径为7，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C．14 D． 【答案】C 【分析】利用弧长计算公式求解即可. 【详解】该扇形的弧长为． 故选：C. 2．在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用半径表示出面积，结合函数知识得结论. 【详解】设扇形半径为，则扇形面积为， 所以时，取得最大值. 故选：C 3．若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出弧的半径，即可根据弧长公式求解. 【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为，则扇形面积为,故， 故弧长为. 故选：C． 4．如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解. 【详解】因为劣弧的长为，所以.则， 所以阴影部分的面积为. 故选:B 5．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气.一扇环形砖雕如图所示.若，且扇形的弧长为，则该扇环的面积为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由圆心角算出弧长，再由扇形面积公式算出扇形面积，在作差得出扇环的面积. 【详解】，弧长为，∴， 又∵，∴扇环的面积为， 故选：A. 6．如图所示的几何图形，设弧AD的长度是，弧BC的长度是，扇环ABCD的面积为，扇形BOC的面积为．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，利用扇形的面积公式，求得，再利用扇形的面积公式，得到，进而求得所以的值，得到答案． 【详解】设扇环所对的圆心角为，可得， 因为，所以，又因为，， 所以，所以，即． 故选：D． 7．如图，已知的半径是2，点、、在上，若四边形为菱形，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合扇形的面积公式和等边三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为四边形为菱形，所以, 所以和均为等边三角形，且边长为，其中， 可得，所以四边形的面积为 又由扇形的面积为，所以阴影部分的面积为. 故选：C. 8．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，计算，则阴影部分的面积为. 【详解】由题意，扇形的圆心角为，且 所以, 所以，且, 所以阴影部分的面积为. 故选：C. 9（多选题）．下列说法错误的是（    ） A．命题，的否定为， B．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．已知函数的值域为，则的取值范围是 【答案】AD 【分析】由含有一个量词命题的否定可判断A错误；由扇形面积公式计算可得B正确；由抽象函数定义域求法计算可得C正确；根据对数函数图象及其值域解不等式可得，即D错误. 【详解】命题，的否定为，，故A说法错误； 由，解得，所以扇形的弧长，故B说法正确； 由，得，所以的定义域为，故C说法正确； 因为的值域为，所以函数的值域满足， 所以，解得，故D说法错误. 故选：AD. 10．弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据扇形弧长求半径，由扇形面积公式求面积. 【详解】由题设，扇形半径，故扇形面积为. 故答案为： 11．扇形的半径为2，圆心角所对的长为4，则该扇形的面积是 . 【答案】4 【分析】根据已知条件结合扇形的面积公式直接求解即可. 【详解】因为扇形的半径为2，圆心角所对的长为4，所以该扇形的面积是. 故答案为：4 12．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. 1．将角写成的形式，在范围内找出与α终边相同的角的集合． 【答案】答案见解析，． 【分析】利用角度制与弧度制的转化并解不等式计算即可. 【详解】依题意得,与α终边相同的角为，， 由，， 得， 所以所求角的集合为． 2．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内（不包括边界）的角θ的集合． 【答案】. 【分析】利用终边在直线上的角的表示方法，求出角θ的集合. 【详解】依题意，，显然角与终边都在直线上，且互为反向延长线， 而终边在直线上的角为，终边在y轴上的角为， 所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为. 3．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，根据，得到，. 【详解】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则， 所以，得，又，所以.    故选：A 4．水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案. 【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为，而， 所以该封闭图形的面积为. 故选：C 5．已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1)；(2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角． 【分析】（1）根据弧度与角度的关系，用弧度表示圆心角，结合弧长公式求弧长； （2）由条件确定弧长与半径的关系，再由扇形面积公式用表示，并求其最小值即可. 【详解】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$