第5章 5.1.2 弧度制（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦弧度制概念、角度与弧度转换及扇形弧长面积公式，以《水浒传》“身高八尺”的单位类比导入，衔接角度制，通过问题“角度制能否与实数对应”搭建学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合例题与跟踪训练，培养数学思维（推理、运算）和数学语言（公式应用）。如对比角度制与弧度制公式，小结知识清单与方法，助学生理解概念提升能力，教师使用可系统教学提高效率。

第5章　 §5.1　任意角与弧度制 <<< 5.1.2 弧度制 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 学习目标 同学们，大家看过《水浒传》吗？在这种古典小说中，经常看到“某人身高八尺”这样的说法，这里的“尺”和现在我们常用的“米”都是长度单位，那么度量角的大小，除了角度以外，还有其他单位吗？让我们开始今天的新课. 导 语 一、弧度制的概念 二、角度制与弧度制的相互转化 课时对点练 三、利用弧度表示角 内容索引 四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式 弧度制的概念 一 我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？ 问题1 提示　不能，比如30°2'11''，这种表示不能与实数建立一一对应的关系，也不利于三角函数的求值.为了能把角和实数建立联系，经过几千年的发展、探究和讨论，人们在衡量角度上达成共识，形成了今天的弧度制. 1.度量角的两种单位制 角度制 定义 用“____”为单位来度量角的单位制 1度的角 把周角分成360等份，每一份叫作1度的角 弧度制 定义 以“______”为单位来度量角的单位制 1弧度的角 把长度等于________的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.“弧度”用符号rad表示 度 弧度 半径长 知识梳理 2.弧度数 (1)正角：正角的弧度数是一个 . (2)负角：负角的弧度数是一个 . (3)零角：零角的弧度数是 . (4)一般地，若半径为r的圆心角α所对的弧长为l，则弧长与半径的比值就 是角α的弧度数的绝对值，即|α|=____. 正数 负数 0 (1)一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关. (2)角的弧度数和实数建立了一一对应关系. 注 意 点 <<< 9 　下列说法正确的是 A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 例 1 √ 10 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确； 对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误； 对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误； 对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误. 解析 11 (1)圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的； (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系. 反 思 感 悟 12 　下列各命题为真命题的是 A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧 C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 跟踪训练 1 根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确. 解析 √ 13 二 角度制与弧度制的相互转化 根据公式|α|你能得出圆周角的弧度数吗？ 问题2 提示　因为半径为r的圆的周长l＝2πr，故圆周角的弧度数为α＝2π，而圆周角的角度数是360°. 角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝_________ 2π rad＝_______ 180°＝_______ π rad＝________ 1°________≈0.017 45 rad 1 rad______≈57°18' 度数×弧度数 弧度数×度数 2π rad π rad 360° 180° rad ° 知识梳理 (1)弧度单位rad可以省略. (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用. 注 意 点 <<< 17 (1)(课本例3)把下列各角从度化为弧度： ①120°； 例 2 120°＝120× rad rad； 解 18 ②25°30'. 25°30'＝25.5°＝25.5× rad rad. 解 19 (2)(课本例4)把下列各角从弧度化为度： ① rad； rad×°＝135°； 解 20 ②5 rad. 5 rad＝5×°≈286.5°. 解 21 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°； 例 2 72°＝72×. 解 22 (2)－300°； －300°＝－300×－. 解 23 (3)2； 2＝2×°°. 解 (4)－. －－×°＝－40°. 解 24 角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×弧度数，弧度数×度数. 反 思 感 悟 25 (1)把112°30'化成弧度； 跟踪训练 2 112°30'°×. 解 26 (2)把－化成角度. －－×°＝－75°. 解 27 利用弧度表示角 三 　将－1 125°角写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 例 3 －1 125°＝－1 125×－－8π＋ 其中<<2π，所以是第四象限角， 所以－1 125°角是第四象限角. 解 29 若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合. 延伸探究 1 依题意得，与α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z， 由－4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z， 得k＝－2，－1，0，1， 所以所求角的集合为. 解 30 用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. (2)注意角度与弧度不能混用. 反 思 感 悟 31 (1)用弧度制表示所有与75°角终边相同的角的集合 是　　　　　　　　　　　　　　.  跟踪训练 3 ∵75°∴与75°角终边相同的角的集合是. 解析 32 (2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(含边界)的角的集合. 终边落在射线OA上的角为135°＋k·360°，k∈Z， 即＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线OB上的角为－30°＋k·360°， k∈Z，即－＋2kπ，k∈Z， 故终边落在阴影部分内(含边界)的角的集合为 . 解 33 弧度制下的扇形的弧长与面积公式 四 我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 问题3 提示　圆心角为n°，半径为R的扇形的弧长公式和面积公式分别为lS. 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则 度量单位类别 0°<α<360° α为弧度制(0<α<2π) 扇形的弧长 l_______ l＝_______ 扇形的面积 S________ S________ α·R l·R α·R2 知识梳理 　(课本例5)如图，设扇形的圆心角α＝x，半径为r，弧长为l，扇形面积记为S. (1)用r与x表示扇形的面积S； 例 4 x rad角的大小是周角的所形成扇形的面积S是整个圆的面积πr2的.即S·πr2|x|r2. 解 37 (2)用r与l表示扇形的面积S. 由(1)可得S|x|r2|x|r·r. 又因为l＝|x|r，所以Slr. 解 38 已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 例 4 39 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm， 依题意有 消去l并整理得R2－5R＋4＝0， 解得R＝1或R＝4. 当R＝1时，l＝8，此时θ＝8 rad>2π rad，舍去； 当R＝4时，l＝2，此时θ rad. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad. 解 40 已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 延伸探究 2 41 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S， 则l＋2r＝4，所以l＝4－2r 所以Slr×(4－2r)×r＝ －r2＋2r＝－(r－1)2＋1， 所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1， 因此θ2. 所以当圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为1. 解 42 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是SlRαR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用扇形弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解. 反 思 感 悟 43 已知扇形的圆心角是α，半径为r，弧长为l. (1)若α＝135°，r＝10，求扇形的弧长l； 跟踪训练 4 ∵α＝135° ∴扇形的弧长l＝αr×10. 解 44 (2)若扇形AOB的周长为22，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值. ∵扇形AOB的周长 L＝2r＋l＝2r＋αrr＝22， ∴α－2， ∴扇形AOB的面积Sαr2r2＝－r2＋11r＝－ 则当r时，Smax此时α＝2， 即当α＝2时，扇形的面积最大，最大值为. 解 45 1.知识清单： (1)弧度制的概念. (2)弧度与角度的相互转化. (3)扇形的弧长与面积的计算. 2.方法归纳：由特殊到一般、数学运算. 3.常见误区：弧度与角度混用. 课堂小结 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B B C B CD －　660° 题号 8 11 12 13 14 15 答案 6 B D y轴上 9 D 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为α＝1 200°＝1 200× ＋3×2π， 所以角α与的终边相同， 又<<π，所以角α是第二象限角. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为＋2kπ，k∈Z， 所以由－4π≤＋2kπ≤0，得－≤k≤－. 因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1. 当k＝－2时＋2×(－2)π＝－； 当k＝－1时＋2×(－1)π＝－故在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是－－. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由圆O的半径r＝10＝AB， 知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°. (2)由(1)可知αr＝10， ∴弧长l＝α·r×10∴S扇形lr××10 又S△AOB·AB·AB×10×525 ∴S＝S扇形－S△AOB－25. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设弧AB的长度为l1厘米，弧CD的长度为l2厘米. (1)因为OD＝2OA，所以所以l1l2. 因为OD＝2OA＝80厘米， 所以AD＝BC＝40厘米. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米， 所以l1＋l2＝240，所以l2＋l2＝240， 解得l2＝160，即弧CD的长度为160厘米. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)因为AD＝2OA， 所以 所以 则扇形OCD的面积S1·OD·l2·OA·l1， 扇形OAB的面积S2·OA·l1， 故该扇形玉雕壁画的扇面面积S＝S1－S2＝4·OA·l1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米， 所以l1＋l2＋AD＋BC＝4l1＋4OA＝320， 所以l1＋OA＝80， 则2≤OA＋l1＝80， 从而OA·l1≤1 600，当且仅当OA＝l1＝40时，等号成立， 故S＝4·OA·l1≤6 400， 即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6 400平方厘米. 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.角终边所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ ＋2π是第一象限角， 故是第一象限角. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.时针经过一小时，转过了 A. rad B.－ rad C. rad D.－ rad √ 时针经过一小时，转过－30°， 又－30°＝－ rad， 所以时针经过一小时，转过－ rad. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知扇形的弧长为6，圆心角的弧度数为3，则其面积为 A.3 B.6 C.9 D.12 √ 设扇形的半径为R，由题意可得3， 则R＝2，扇形的面积SlR×6×2＝6. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.集合中角所表示的范围(阴影部分)是 当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界). 解析 √ 5.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意，知当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，则小链轮转过的弧度数是×2π. 解析 6.(多选)下列与终边相同的角的表达式中，正确的是 A.45°＋2kπ(k∈Z) B.＋k·360°(k∈Z) C.－315°＋k·360°(k∈Z) D.＋2kπ(k∈Z) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A，B中弧度与角度混用，不正确； ＋2π，所以与终边相同. －315°＝45°－360°，所以－315°角也与45°角终边相同，即与终边相同. 解析 7.－135°化为弧度为　　　　化为角度为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 － －135°＝－135×－； ×°＝660°. 解析 660° 8.已知扇形的半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 由题意知，扇形的弧长为1×2＝2， 所以扇形的周长为2×2＋2＝6. 解析 9.已知角α＝1 200°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为α＝1 200°＝1 200×＋3×2π， 所以角α与的终边相同， 又<<π，所以角α是第二象限角. 解 (2)在区间[－4π，0]上找出与α终边相同的角. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为与角α终边相同的角(含角α在内)为 ＋2kπ，k∈Z， 所以由－4π≤＋2kπ≤0，得－≤k≤－. 因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1. 当k＝－2时＋2×(－2)π＝－； 当k＝－1时＋2×(－1)π＝－故在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是－－. 解 10.已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由圆O的半径r＝10＝AB， 知△AOB是等边三角形， ∴α＝∠AOB＝60°. 解 (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)可知αr＝10， ∴弧长l＝α·r×10 ∴S扇形lr××10 又S△AOB·AB·AB×10×525 ∴S＝S扇形－S△AOB－25. 解 11.如图所示的复古时钟显示的时刻为10∶10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为 A. B. C. D. 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 表有12个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为 当时针指向10，分针指向2时，时针与分针的夹角为4×； 但当分针指向2时，时针由10向11移动了× 故该时刻的时针与分针所夹的钝角为 . 解析 12.若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为 A.α＋β＝0 B.α－β＝0 C.α＋β＝2kπ(k∈Z) D.α－β＋2kπ(k∈Z) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)， β＝x－＋2k2π(k2∈Z)， 所以α－β＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z). 因为k1∈Z，k2∈Z， 所以k1－k2∈Z. 所以α－β＋2kπ(k∈Z). 解析 13.若2kπ＋(k∈Z)，则的终边在　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y轴上 ∵2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴3kπ＋(k∈Z).当k为奇数时的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时的终边在y轴的非负半轴上.综上的终边在y轴上. 解析 14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是　　　　m2(精确到1 m2).  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 120°，根据题意得， 弦＝2×4sin 4(m)，矢＝4－2＝2(m)， 因此弧田面积为×(弦×矢＋矢2)×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2). 解析 15.把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧BC的长是 A. B. C. D. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 过点O作OH⊥AB于点H，连接OB， 由折叠的性质可得OHOB，AB∥CD， 所以∠OBH所以∠BOD所以∠BOC 所以劣弧BC的长是×2. 解析 16.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成).已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)若OD＝2OA＝80厘米，求该扇形玉雕壁画的曲边CD的长度； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设弧AB的长度为l1厘米，弧CD的长度为l2厘米. 因为OD＝2OA， 所以 所以l1l2. 因为OD＝2OA＝80厘米， 所以AD＝BC＝40厘米. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以l1＋l2＝240， 所以l2＋l2＝240， 解得l2＝160，即弧CD的长度为160厘米. 解 (2)若AD＝2OA，求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为AD＝2OA， 所以所以 则扇形OCD的面积S1·OD·l2·OA·l1， 扇形OAB的面积S2·OA·l1， 故该扇形玉雕壁画的扇面面积S＝S1－S2＝4·OA·l1. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米， 所以l1＋l2＋AD＋BC＝4l1＋4OA＝320， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以l1＋OA＝80， 则2≤OA＋l1＝80， 从而OA·l1≤1 600，当且仅当OA＝l1＝40时，等号成立， 故S＝4·OA·l1≤6 400， 即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6 400平方厘米. 解 第5章　 §5.1　任意角与弧度制 <<< $