精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市鄂尔多斯东胜区2024-2025学年九年级上学期11月期中检测数学试题

2024-2025学年第一学期初三期中质量检测 数学 考生须知： 1．本试卷共8页，有三道大题，21道小题．满分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题纸上相应的位置，并认真核准条形码上的座位号及姓名，在规定的位置贴好条形码． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸规定的位置上，在草稿纸、本试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、单选择题（本大题8个小题，每小题3分，共24分） 1. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果．下列是与中国航天事业相关的图标，其中可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有选项A的图形，能够找到一个点，使图形绕该点旋转180度后，能与自身完全重合，是中心对称图形； 故选A． 2. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由拋物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 则根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 3. 电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，第一周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若第三周累计票房的增长率是第二周累计票房的增长率的一半，设第二周的增长率为x，根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用第三周的累计票房第一周的票房第二周的增长率）第二周的增长率的一半），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 4. 抛物线（，a，b，c为常数）中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 5 7 … y … 4 5 4 … 下列结论中，正确的是（） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是读懂表格掌握二次函数的图象和性质．根据当时和当时的函数值相同，可得对称轴是直线，进而根据表格数据可得顶点坐标为，再由对称轴处的函数值大于其他位置的函数值可知抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：由图表函数值相等可知：对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该抛物线有最大值，即抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小， 四个选项中，只有C选项说法正确，符合题意； 故选：C． 5. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：D． 6. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知的度数，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵由旋转的性质可知；，， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 7. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，D，连接，则的度数为（） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．直接根据圆周角定理及圆内接四边形性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可得， ， 四边形是圆内接四边形， ， 故选：A 8. 如图，四边形中，，则四边形的面积为（） A. 32 B. 34 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及三角形面积的知识，充分运用了全等三角形及矩形的判定与性质在解题中的作用，先证明，再证明四边形是矩形，可得，继而利用求出四边形的面积． 【详解】解：过点作，且使．过点作于． ，即 又，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分） 9. 点与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【详解】解；∵点与点B关于原点中心对称， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 10. 已知是方程的两个根，已知一根为1，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得到关于m的方程，然后求得m的值． 【详解】解：把代入得， 解得． 故答案为：4． 11. 如图，正五边形内接于，点P在劣弧上，连接、，则的度数为____________°． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正多边形与圆，涉及了正多边形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．先由正五边形内接于求出，再利用四边形是的内接四边形得，从而求得的度数． 【详解】解：正五边形内接于， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：． 12. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可． 【详解】解∶由图形可得，当时，二次函数图象在一次函数图象下方，，所以， 使成立的的取值范围是． 故答案为∶． 13. 如图，为的直径，弦，点P是直径上一点，连接交于点D，连接，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点O作，设与交于点F，由，可得，再证明是等边三角形，可得，从而得出，再通过勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作，设与交于点F， ， ， ，为的直径， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质及勾股定理． 14. 如图，在四边形中，，平分，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，由勾股定理求出．再证明四边形是正方形，可得，再证明，可得，再求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ，， ， ，， 四边形是矩形， 平分，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，共58分．解答时要写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 15. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 则， 或， 解得，． 16. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）画出绕原点O逆时针旋转得到的，并写出点A，B，C的对应点的坐标； （2）在（1）的旋转过程中，点B经过的路径长为___________（结果保留） 【答案】（1） 如图所示，即为所求． ，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）将三顶点分别绕原点逆时针方向旋转得到对应点，再顺次连接即可得； （2）利用弧长公式求解可得． 【小问1详解】 解：由图知，，，； 【小问2详解】 解：连接， 则， 所以点所走的路径长为． 故答案为： 17. 如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠墙，墙长为9米，墙的长为6米，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． （1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，所围矩形苗圃的面积为？ 【答案】（1） （2）当为5时，所围矩形花圃的面积为． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出函数关系式； （2）根据题意列出方程解决即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ∵墙长为9米，墙的长为6米， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得：（舍去），． 答：当为5时，所围矩形花圃的面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，求不等式组的解集，矩形的性质与判定等等，正确列出y与x的函数关系式是解题的关键． 18. 阅读以下信息，探索完成任务． 凤凰快讯1 “乐学雷锋好榜样，爱心义卖暖人心”凤凰中学举行义卖活动，同学们用自己的手工制作表达爱心，将义卖所获的所有利润全部捐给慈善机构，该手工作品的生产成本为30元/个． 凤凰快讯2 义卖一段时间后发现，当义卖价格为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上义卖价格每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 若该学校要捐出善款8000元，且尽可能让更多的人参与献爱心活动，请问该手工作品应该定价为多少元？ 任务2 请问该手工作品应该定价为多少元时，可使捐出的善款最多？ 【答案】（1）该手工作品应该定价为元；（2）该手工作品应该定价为60元时，可使捐出的善款最多 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找出数量关系，正确列出二次函数关系式． （1）设每个定价为元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个定价为元时，可使捐出的善款为元，由题意列出关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设每个定价为元，由题意得： ， 整理得：， 解得：，， 尽可能让更多的人参与献爱心活动， ， 答：该手工作品应该定价为元； （2）设每件定价为元时，可使捐出的善款为元， 由题意得：， ， 当时，有最大值， 答：该手工作品应该定价为60元时，可使捐出的善款最多． 19. 如图，为的直径，过圆外一点E作的两条切线，切点分别为点D，B，交的延长线于点C，连接． （1）与有怎样的位置关系？并说明理由； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 解：，理由如下： 如图，连接， 是的切线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的定义可得，再证明，再由等腰三角形性质可得，最后由平行线的判定证明即可； （2）根据切线长定理先求得长，再根据勾股定理求得长，再设，则，利用勾股定理解求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的切线， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即半径的长为3． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的判定等：掌握切线的性质，切线长定理是解题的关键． 20. 如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D第一象限是抛物线上的一个动点． （1）如图1，当点A的坐标为时， ①求该抛物线的解析式； ②连接，当的面积最大时，求点D的坐标． （2）如图2，当点D的横坐标是1，时，过点D作y轴的平行线，交x轴于点M，过点F作y轴的平行线交抛物线于点E，连接，求证：平分． 【答案】（1）①；②； （2） 解：如图，过点D作， 将代入，得， ， 将代入，得， ， ， ， ， ， 由题意得：， ， ， 平分． 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法解答即可；②连接，先求出，，设点的坐标为，利用进行求解即可； （2）连接，过点作于点，设点的坐标为，利用，求得的面积关于的函数关系式，利用配方法和二次函数的性质解答即可； （3）过点D作，先求出，，可得，再由勾股定理求出，从而得出，可得到，再由平行线的性质证明即可． 【小问1详解】 解：①将点A代入得： ， 解得：． 抛物线的解析式为； ②连接，如图， 在二次函数中，令，得， 解得：， ， 在二次函数中，令，得， ， 设点的坐标为， ， ， ， 当时，的面积最大， 此时点的坐标为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 21. 在一次数学实践活动课上，老师了给一个，要求同学们利用旋转自己编题并解答： （1）第一小组编题如下： 将绕点A逆时针旋转得到，如图1，当点B，C的对应点D，E与点B在同一直线上，若，，求旋转角及的长． （2）第二小组受第一小组的启发，编题如下： 将中的线段绕点C逆时针旋转得到线段，当点A的对应点D与点A，B在同一直线上时，如图2，过C作于E，取的中点M，若（），将绕点M顺时针旋转得，连接． 求证：． 请完成以上（1）和（2）的解答过程 【答案】（1）旋转角为， （2） 证明：如图，延长到点，使得，连接， 则点N为的中点， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴等腰三角形， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质结合等腰三角形的性质即可求出旋转角，过点A作于点G，利用直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可得到，进而得以解答； （2）延长到点，使得，连接，先证明是的中位线，由旋转的性质结合等腰三角形的性质证明，推出，利用等腰三角形三线合一即可证明． 【小问1详解】 解：∵将绕点A逆时针旋转得到，， ∴，旋转角为， ∴， ∵点D，E与点B在同一直线上， ∴， ∴， ∴； 如图1，过点A作于点G， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形中位线，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期初三期中质量检测 数学 考生须知： 1．本试卷共8页，有三道大题，21道小题．满分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题纸上相应的位置，并认真核准条形码上的座位号及姓名，在规定的位置贴好条形码． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸规定的位置上，在草稿纸、本试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、单选择题（本大题8个小题，每小题3分，共24分） 1. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果．下列是与中国航天事业相关的图标，其中可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，第一周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若第三周累计票房的增长率是第二周累计票房的增长率的一半，设第二周的增长率为x，根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 4. 抛物线（，a，b，c为常数）中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 5 7 … y … 4 5 4 … 下列结论中，正确的是（） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 5. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，D，连接，则的度数为（） A. B. C. D. 不确定 8. 如图，四边形中，，则四边形的面积为（） A. 32 B. 34 C. 40 D. 50 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分） 9. 点与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为________． 10. 已知是方程的两个根，已知一根为1，则__________． 11. 如图，正五边形内接于，点P在劣弧上，连接、，则的度数为____________°． 12. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是___________． 13. 如图，为的直径，弦，点P是直径上一点，连接交于点D，连接，若，则的长为___________． 14. 如图，在四边形中，，平分，若，则的长为___________． 三、解答题（本大题共7题，共58分．解答时要写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 15. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 16. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）画出绕原点O逆时针旋转得到的，并写出点A，B，C的对应点的坐标； （2）在（1）的旋转过程中，点B经过的路径长为___________（结果保留） 17. 如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠墙，墙长为9米，墙的长为6米，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． （1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，所围矩形苗圃的面积为？ 18. 阅读以下信息，探索完成任务． 凤凰快讯1 “乐学雷锋好榜样，爱心义卖暖人心”凤凰中学举行义卖活动，同学们用自己的手工制作表达爱心，将义卖所获的所有利润全部捐给慈善机构，该手工作品的生产成本为30元/个． 凤凰快讯2 义卖一段时间后发现，当义卖价格为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上义卖价格每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 若该学校要捐出善款8000元，且尽可能让更多的人参与献爱心活动，请问该手工作品应该定价为多少元？ 任务2 请问该手工作品应该定价为多少元时，可使捐出的善款最多？ 19. 如图，为的直径，过圆外一点E作的两条切线，切点分别为点D，B，交的延长线于点C，连接． （1）与有怎样的位置关系？并说明理由； （2）若，求的半径． 20. 如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D第一象限是抛物线上的一个动点． （1）如图1，当点A的坐标为时， ①求该抛物线的解析式； ②连接，当的面积最大时，求点D的坐标． （2）如图2，当点D的横坐标是1，时，过点D作y轴的平行线，交x轴于点M，过点F作y轴的平行线交抛物线于点E，连接，求证：平分． 21. 在一次数学实践活动课上，老师了给一个，要求同学们利用旋转自己编题并解答： （1）第一小组编题如下： 将绕点A逆时针旋转得到，如图1，当点B，C的对应点D，E与点B在同一直线上，若，，求旋转角及的长． （2）第二小组受第一小组的启发，编题如下： 将中的线段绕点C逆时针旋转得到线段，当点A的对应点D与点A，B在同一直线上时，如图2，过C作于E，取的中点M，若（），将绕点M顺时针旋转得，连接． 求证：． 请完成以上（1）和（2）的解答过程 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $