精品解析：广东省深圳市宝安中学2024-2025学年九年级上学期期中模拟（一）数学试题

宝安中学（集团）初中部九年级上数学期中模拟卷一 一、选择题（每小题3分，共30分，请将正确答案填涂在答题卡上） 1. “横看成岭侧成峰”出自北宋苏轼的《题西林壁》．这句诗词说明用不同角度观察同一事物可能会有不同的结论．某物体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 如果关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（ ） A. 86 B. 84 C. 80 D. 78 5. 如图，与位似，点O为位似中心，若，则的长为（ ） A. 15 B. 20 C. 10 D. 5 6. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 8. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 方程 没有实数根 C. 若点C是线段AB的黄金分割点，则 D. 两个直角三角形一定相似 9. 如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（ ） A. 5 B. 8 C. D. 10. 如图，点E为正方形外一点，连接，，连接并延长，与的角平分线交于点F，若，，则的长度为（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（每小题3分，共15分，请将正确答案填涂在答题卡上） 11. 若，则______． 12. 已知m、n是方程的两根，则的值为________． 13. 某自然保护区为了估计区内金丝猴数量，第一次捕捉了24只并在做了标记后全部放回．第二次捕捉了80只，发现有4只是上次做了标记的．根据以上的方法，估计该保护区金丝猴的总只数为_________只． 14. 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为______．（结果保留根号） 15. 如图，已知中，D，E分别是，，，与的延长线交于点F，，，则 ___________________． 三、解答题（本题共7大题，55分，其中第16题8分，第17题6分；第18题7分；第19题7分；第20题8分；第21题9分；第22题10分）． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在△ABC中，AC＝4． （1）在AC上求作一点D，连接BD，使得△ABD∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）点M，N分别是BD、BC中点，若AD＝1，求的值． 18. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：（旅游管理）、（信息技术）、（酒店管理）、（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．面根号） 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有________人：扇统计图中（旅游管理）专业所对应的心角的度数为________： （2）请补全条形统计图，若该中学有名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有___人： （3）从选择（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法活画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 19. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）若降价8元，则每天销售T恤衫利润为多少元？ （2）为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（） 20. 如图，在菱形中，交的延长线于点，连接交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若菱形的边长为2，，求的长． 21. 某数学学习小组在学习了相似三角形以后，他们发现对于同一个物体在灯光下，它的影子的长度与电灯到物体的距离有一定的关系，利用物体影子的长度可以计算电灯到物体的距离，利用电灯到物体的距离也可以计算物体影子的长度． 下面是他们试验内容，请解答： （1）如图①，放在水平地面上的正方形框架，在其正上方有一个小射灯，在小射灯的照射下，正方形框架在地面上的影子为、，若正方形框架的边长为，，则________；小射灯离地面的距离为_______． （2）如图②，不改变（1）中的条件，将另一个同样大小的小正方形框架紧贴在原小正方形框架的左边并排摆放，即正方形．求小射灯下的影长的长度． （3）如图③，小射灯到地面的距离为，一共有个边长为的小正方形框架（无重叠）并排如图摆放，影长与的和为__________________（用、、表示）． 22. 如图1，在矩形中，，点， 分别是，边上的动点，，将沿直线对折，点对应点为点，连结． （1）如图2，当点落在对角线上时，求的长； （2）如图3，当，求的长； （3）若直线 交于点，在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝安中学（集团）初中部九年级上数学期中模拟卷一 一、选择题（每小题3分，共30分，请将正确答案填涂在答题卡上） 1. “横看成岭侧成峰”出自北宋苏轼的《题西林壁》．这句诗词说明用不同角度观察同一事物可能会有不同的结论．某物体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上往下看得到的视图判断即可． 【详解】解：根据俯视图的定义可知， 它的俯视图是， 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图，解题关键是理解三视图的定义，树立空间观念，准确识图． 2. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出比例式是解答此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例，据此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 3. 如果关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解一元一次不等式组，一元二次方程（为常数，）根的判别式为，当时，方程有实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义，得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得：且， 故选：C ． 4. 如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（ ） A. 86 B. 84 C. 80 D. 78 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，与位似，点O为位似中心，若，则的长为（ ） A. 15 B. 20 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的性质可得且相似比为，然后由相似三角形对应边的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵与位似，点O为位似中心， ∴且， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为：， 故选：C． 7. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 8. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 方程 没有实数根 C. 若点C是线段AB的黄金分割点，则 D. 两个直角三角形一定相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金分割，相似三角形的判定与性质，菱形的判定，一元二次方程根的判别式，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故A不符合题意； B、方程，，故没有实数根，正确，B不符合题意； C、若点C是线段黄金分割点，，则，正确，故C不符合题意； D、两个直角三角形不一定相似，如一个直角三角形的一个锐角是，另一个直角三角形的一个锐角是，则这两个直角三角形不相似，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定，一元二次方程根的判别式，黄金分割，以及相似三角形的判定，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 9. 如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（ ） A. 5 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，从函数图象中获取信息是解题的关键． 根据图2中点的实际意义可得∶当时， ，再根据图2中点的实际意义可得∶， ，然后在中，利用勾股定理可求出，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解∶由图2可得∶ 当时，， 当点P的运动距离为0时，的长为6， 当时，． 由图2可得∶ 当时，， 当点的运动距离为a时，的值最大，最大为6， 当点P运动到和点B重合时，的值最大， ，， 在中，， ． ， ， 点P为的中点， ， ， 故选∶D． 10. 如图，点E为正方形外一点，连接，，连接并延长，与的角平分线交于点F，若，，则的长度为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，连接，作于，由等腰三角形的性质可得，，由勾股定理可得，再证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，作于， ∵四边形为正方形，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分，请将正确答案填涂在答题卡上） 11. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据题意设，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 12. 已知m、n是方程的两根，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识点． 由方程的解的定义可得，再根据根与系数的关系可得，然后对变形即可解答． 【详解】解：∵m、n是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：4． 13. 某自然保护区为了估计区内金丝猴数量，第一次捕捉了24只并在做了标记后全部放回．第二次捕捉了80只，发现有4只是上次做了标记的．根据以上的方法，估计该保护区金丝猴的总只数为_________只． 【答案】480 【解析】 【分析】本题考查了有样本估计总体、分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设该保护区金丝猴的总只数为只， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 该保护区金丝猴的总只数为480只， 故答案为：480． 14. 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义分别求出，，再根据线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点D是靠近点A的黄金分割点，， ∴ ∴， ∴支撑点C，D之间的距离为， 故答案为：． 15. 如图，已知中，D，E分别是，，，与的延长线交于点F，，，则 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，过点作，交的延长线于点G，由等角的补角相等得，于是可证，利用相似三角形的性质求出，，由可得，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点G， ， ，即， 又， ， ，即， ，， ， ， ，即， ，， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共7大题，55分，其中第16题8分，第17题6分；第18题7分；第19题7分；第20题8分；第21题9分；第22题10分）． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握十字相乘法、提公因式法进行因式分解，是解题的关键； （1）根据解一元二次方程的方法——“十字相乘”分解因式，即可求解； （2）根据题意，可移项、提公因式，进行因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解：， 移项得， 分解因式得， 解得； 【小问2详解】 原方程等价于， 移项得， 提公因式得， 即， 解得． 17. 如图，在△ABC中，AC＝4． （1）在AC上求作一点D，连接BD，使得△ABD∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）点M，N分别是BD、BC中点，若AD＝1，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作∠ABD＝∠C即可； （2）由M，N分别是BD，BC的中点知AM、AN分别是△ABD，△ABC的中线，根据相似三角形的性质可得，代入计算即可． 【小问1详解】 解：如图，点D即为所求作的点． 【小问2详解】 连接AM、AN， ∵M，N分别是BD，BC的中点， ∴AM、AN分别是△ABD，△ABC的中线， ∵△ABD∽△ACB， ∴， ∴， ∴AB＝2， ∴． 【点睛】本题主要考查作图—相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 18. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：（旅游管理）、（信息技术）、（酒店管理）、（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．面根号） 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有________人：扇统计图中（旅游管理）专业所对应的心角的度数为________： （2）请补全条形统计图，若该中学有名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有___人： （3）从选择（汽车维修）专业甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法活画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 【答案】（1）； （2）作图见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）由选择专业的人数除以所占百分比即可得本次被调查的学生人数；用乘以选择专业的人数所占的百分比，即可得出答案； （2）求出选择专业的人数，补全条形统计图即可；根据用样本估计总体，用乘以样本中选择的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、丙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案 【小问1详解】 解：本次被调查的学生有：（人）， 扇统计图中（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 条形统计图中，（信息技术）专业的人数为：（人）， 补全条形统计图如图所示． （人） ∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有人， 故答案为：； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共种， ∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为， 答：恰好抽到甲、丙两名同学的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． 19. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）若降价8元，则每天销售T恤衫利润为多少元？ （2）为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（） 【答案】（1）1152 （2）能；定价为90元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练应用一元二次方程解决问题是解题的关键； （1）根据题意，可表示出降价后的售价和每天的销售量，继而求得每天的利润； （2）根据题意，可设出降低的价格，根据等量关系“利润=销售价×每天的销量”列出方程，继而利用利润率对求得的解进行检验，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，若降价8元，每天能多售出件， 所以此时的销售价为元，销售量为件， 所以每天销售T恤衫的利润为元． 即若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． 【小问2详解】 设此时每件T恤衫降价元时，每天能获得1200元的利润. 由题意可得， 去括号整理得， 因式分解得， 所以， 当时，每件利润为元， 利润率，符合题意， 此时定价为元； 当时，每件利润为元， 利润率，不符合题意， 综上所述，当定价为90元时，每天能获得1200元的利润，且每件T恤衫的利润率不低于． 20. 如图，在菱形中，交的延长线于点，连接交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若菱形的边长为2，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据菱形，得到，利用平行线分线段成比例定理，列比例式证明即可． (2)根据菱形的性质，结合已知，计算的长，结合结论（1）计算即可． 【小问1详解】 ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，菱形， ∴，． ∵菱形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 21. 某数学学习小组在学习了相似三角形以后，他们发现对于同一个物体在灯光下，它的影子的长度与电灯到物体的距离有一定的关系，利用物体影子的长度可以计算电灯到物体的距离，利用电灯到物体的距离也可以计算物体影子的长度． 下面是他们的试验内容，请解答： （1）如图①，放在水平地面上的正方形框架，在其正上方有一个小射灯，在小射灯的照射下，正方形框架在地面上的影子为、，若正方形框架的边长为，，则________；小射灯离地面的距离为_______． （2）如图②，不改变（1）中的条件，将另一个同样大小的小正方形框架紧贴在原小正方形框架的左边并排摆放，即正方形．求小射灯下的影长的长度． （3）如图③，小射灯到地面的距离为，一共有个边长为的小正方形框架（无重叠）并排如图摆放，影长与的和为__________________（用、、表示）． 【答案】（1）；80 （2） （3） 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、相似三角形的性质在实际问题中的应用等知识与方法， （1）设于点，交于点，由正方形的性质得，，，，则，所以，再证明，得，则，所以，求得，于是得到问题的答案； （2）由（1）得，，，则，，，可证明，得，于是得，求得，则小射灯下的影长的长度为； （3）设于点，交于点，则，，，由，得，则，所以，于是得到问题的答案． 此题综合性强，难度较大，正确理解和应用相似三角形性质是解题的关键． 【小问1详解】 如图①，于点，交于点， 四边形是边长为的正方形， ，，，， ，，， ， 点在正方形的正上方， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， 小射灯离地面的距离为， 故答案为：，80． 【小问2详解】 如图②，于点，交于点， 由（1）得，，， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， 答：小射灯下的影长的长度为． 【小问3详解】 如图③，于点，交于点，则，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 22. 如图1，在矩形中，，点， 分别是，边上的动点，，将沿直线对折，点对应点为点，连结． （1）如图2，当点落在对角线上时，求的长； （2）如图3，当，求的长； （3）若直线 交于点，在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，或或． 【解析】 【分析】（1）连结，由矩形的性质和勾股定理得，再证，得，即可得出结论； （2）当时，此时点，，三点共线，证，得，设，则，，，再由勾股定理得，然后证，得，解得，即可解决问题； （3）分三种情况，①当点与点重合时，点与点重合，与全等，符合条件．则．②当时，③当时，由折叠的性质和相似三角形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：连结，如图2， 四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 即的长为； 【小问2详解】 解：当时， 此时点，，三点共线， 由折叠的性质得：， ， ， ， 设，则，，， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 【小问3详解】 解：①当点与点重合时，点与点重合，如图4， 此时，与全等，符合条件． ． ②当时，如图5， 则， ， 设，则， ，，，， ， 由折叠的性质得：， ， ，， ， ， 即， 解得：， ； ③当时，如图6， ， ， 由折叠的性质得：，， 设，则， ，，，， ， 同②得：， ， 解得：， ； 综上所述，在点的运动过程中，存在某一位置，使得以，，为顶点的三角形与相似，的长为8或或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $