精品解析：云南省2024年1月普通高中学业水平考试数学试题

机密★考试结束前【考试时间：2024年1月19日，上午8:30-10:10，共100分钟】 云南省2023年秋季学期期末普通高中学业水平考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效. 参考公式： 如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互独立，那么. 球的表面积公式：，体积公式：，其中表示球的半径. 柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高. 锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高. 选择题（共66分） 一、选择题：本大题共22个小题，每小题3分，共66分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数的定义域为（ ） A B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. 6 D. 8 5. 下列函数中，是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知、、都是实数，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为虚数单位，设复数，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是角终边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 10. 函数在区间上的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 11 若，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 13. 已知，则（ ） A. B. C. D. 14. 某大学学生管理处为了了解新入学的名大学生的生活情况，从中抽取了名大学生进行调查研究.在这个问题中，被抽取的名大学生是（ ） A. 总体 B. 个体 C. 样本量 D. 样本 15. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 16. 甲、乙两人独立地破译一份密码.已知甲能破译概率为，乙能破译的概率为，则甲、乙两人都成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 17. （ ） A. B. C. D. 0 18. 某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（ ） A. 60 B. 45 C. 35 D. 25 19. 函数是定义域为的增函数，若，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 20. 已知平面向量，平面向量.若，则（ ） A. B. C. D. 21. （ ） A. B. C. D. 22. 为弘扬“尊老、敬老、爱老”的中华传统美德，某班组织学生到甲、乙两个敬老院看望老人.按规定，该班某同学通过摸球的方式选择到哪个敬老院看望老人，摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有8个大小质地完全相同的球，其中5个红球，3个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，该同学到甲敬老院看望老人；若摸出的球是黄球，该同学到乙敬老院看望老人.该同学到甲敬老院看望老人的概率为（ ） A. B. C. D. 非选择题（共34分） 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案写在答题卡相应的位置上. 23. 某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作球体教具，他们制作的球体，半径为，这种球体的表面积是______. 24. 若，则的取值范围为______. 25. 学校从甲、乙两名射击运动员中推荐一人参加市中学生运动会，甲、乙两人参加测试的成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 经计算得：，，，. 根据上述信息，学校应推荐______参加市中学生运动会. 26. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______. 三、解答题：本大题共3个小题，第27题5分，第28题6分，第29题7分，共18分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 27. 如图，在三棱锥中，，，. （1）证明：平面； （2）若，，，求三棱锥的体积. 28. 在中，内角、、的对边分别为、、，且. （1）求的值； （2）若是锐角三角形，，求的取值范围. 29. 已知、为常数，，是的零点，且. （1）若，，求、的值； （2）若，比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 机密★考试结束前【考试时间：2024年1月19日，上午8:30-10:10，共100分钟】 云南省2023年秋季学期期末普通高中学业水平考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效. 参考公式： 如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互独立，那么. 球的表面积公式：，体积公式：，其中表示球的半径. 柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高. 锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高. 选择题（共66分） 一、选择题：本大题共22个小题，每小题3分，共66分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，则. 故选：A. 2. 已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的几何意义得到对应点的坐标，进而判定. 【详解】复数对应的点的坐标为,为第四象限的点， 故选:D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根号下的式子为非负数可得结果. 【详解】易知函数的定义域为，即. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系即可求解. 【详解】因为，所以由题意可得 故选：A. 5. 下列函数中，是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数的奇偶性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数为奇函数； 对于B选项，函数为偶函数； 对于C选项，函数为奇函数； 对于D选项，函数为非奇非偶函数. 故选：B. 6. 已知、、都实数，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例可得AB错误；由不等式的性质可得C正确，D错误. 【详解】对A，令，则，故A错误； 对B，；令，则，故B错误； 对CD，由，，相加可得，即，故C正确，D错误. 故选：C 7. 已知为虚数单位，设复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的减法法则计算即可. 【详解】由，， 则. 故选：A. 8. 已知是角终边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数定义代入点坐标计算可得结果. 【详解】由可得. 故选：B 9. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方体的性质找到异面直线所成的角，求出即可； 【详解】由题意可得，所以异面直线与所成的角等于， 由正方体的性质可得， 故选：B 10. 函数在区间上的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数单调性计算即可得出结果. 【详解】易知函数在区间上单调递减， 所以其最大值为. 故选：A 11. 若，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果. 【详解】易知. 故选：D 12. 已知，则的最小值为（ ） A B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式求解即可； 【详解】由题意可得，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：D. 13. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可得结果. 【详解】由诱导公式计算可得. 故选：B 14. 某大学学生管理处为了了解新入学的名大学生的生活情况，从中抽取了名大学生进行调查研究.在这个问题中，被抽取的名大学生是（ ） A 总体 B. 个体 C. 样本量 D. 样本 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本、样本容量、个体、总体的定义判断． 【详解】根据定义，被抽取的名大学生是样本． 故选：D. 15. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数的周期公式求出即可； 【详解】由周期公式可得最小正周期为， 故选：C. 16. 甲、乙两人独立地破译一份密码.已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，则甲、乙两人都成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】因为甲、乙两人独立地破译一份密码，且甲能破译的概率为，乙能破译的概率为， 因此，甲、乙两人都成功破译的概率为. 故选：B. 17. （ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由两角差的正弦公式即特殊角的三角函数即可计算得解； 【详解】， 故选：C. 18. 某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（ ） A. 60 B. 45 C. 35 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可； 【详解】由题意男生有1200人，调查研究中男生被抽到20人， 所以分层抽样的比例为， 所以， 故选：B. 19. 函数是定义域为的增函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义域为的增函数， 所以由，得， 解得，即的取值范围为. 故选：C. 20. 已知平面向量，平面向量.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得出关的等式，解之即可. 【详解】因为平面向量，平面向量，且， 则，解得 故选：A. 21. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】. 故选：C. 22. 为弘扬“尊老、敬老、爱老”的中华传统美德，某班组织学生到甲、乙两个敬老院看望老人.按规定，该班某同学通过摸球的方式选择到哪个敬老院看望老人，摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有8个大小质地完全相同的球，其中5个红球，3个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，该同学到甲敬老院看望老人；若摸出的球是黄球，该同学到乙敬老院看望老人.该同学到甲敬老院看望老人的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型概率计算公式可得结果. 【详解】根据题意摸出的球是红球的概率为， 因此该同学到甲敬老院看望老人的概率为. 故选：D 非选择题（共34分） 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案写在答题卡相应的位置上. 23. 某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作球体教具，他们制作的球体，半径为，这种球体的表面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知，半径为的球体的表面积为. 故答案为：. 24. 若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求出即可； 【详解】，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 25. 学校从甲、乙两名射击运动员中推荐一人参加市中学生运动会，甲、乙两人参加测试的成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 经计算得：，，，. 根据上述信息，学校应推荐______参加市中学生运动会. 【答案】甲 【解析】 【分析】根据甲、乙两人平均成绩和方差的大小以及方差的意义可得出结论. 【详解】因为，， 所以两人平均水平相当，但甲发挥较为稳定，故学校应推荐甲参加市中学生运动会. 故答案为：甲. 26. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 且当时，， 所以. 故答案为：. 三、解答题：本大题共3个小题，第27题5分，第28题6分，第29题7分，共18分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 27. 如图，在三棱锥中，，，. （1）证明：平面； （2）若，，，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）求出的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 证明：因为，，，、平面， 因此平面. 【小问2详解】 因为，且，，则， 又因为平面，且， 故，即三棱锥的体积为. 28. 在中，内角、、的对边分别为、、，且. （1）求的值； （2）若是锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求出的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据题意求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理可得. 【小问2详解】 因为，，则， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，，则， 故. 即的取值范围是. 29. 已知、为常数，，是的零点，且. （1）若，，求、的值； （2）若，比较与的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理将，代入计算可得； （2）利用作差法以及两根之间的关系，再由不等式性质计算可判断结论. 【小问1详解】 依题意可得的两根分别为； 若，，可得， 解得； 【小问2详解】 易知， 所以，则； 所以， 由可得， 又可得，所以，即； 因此. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$