精品解析： 上海外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期数学11月月考试卷

2024学年第一学期初三年级数学第二次复习卷1 一、填空题 1. 化简_______． 2. 在实数范围内因式分解：_____． 3. 关于的方程的解为负数，则的取值范围是____． 4. 已知：，，且，则____． 5. 关于的方程（为实数）有实根，则取值范围是_____． 6. 在中，，若，则的值是______． 7. 直线不经过第一象限，则的取值范围是_____． 8. 三位同伴进饭店用餐，每人把自带的雨伞交给服务员放在一起保管．如果离店时服务员把他们的雨伞随意还给各人，那么三位同伴恰好拿到各自的雨伞的概率为_____． 9. 四边形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，AC与BD相交于点O，∠COB＝120°，AD＝7，BD＝10，则四边形ABCD的面积为 ___． 10. 如图，，顶点、、分别与、、对应，，，点既是的中点也是的中点，则的值为______． 11. 如图，，，，若，则_____． 12. 如图，四边形是等腰梯形且，、是中位线上两点且，若，，用、的线性组合表示_____． 13. 如图，直角三角形斜边上的中线和边上的中线互相垂直，则的正弦值为_____． 14. 已知面积为，边上的高为，且，则______． 15. 是锐角三角形的一个内角，已知关于的函数图像与轴没有交点，则的取值范围是______． 16. 已知抛物线与轴有两个公共点、，顶点为，且为等边三角形，则______． 17. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC=8，D、E两点分别在边BC、AB上，将△ABC沿着直线DE翻折，点B正好落在边AC上点M处，并且AC=4AM，设BD=m，那么∠ACD的正切值是______（用含m的代数式表示） 二、选择题 18. 下列函数中，随着增大而减小的是（ ） A B. C D. 19. 已知，则的值为（ ）． A. B. C. D. 或1 20. 两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东，灯塔B在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（ ） A. 南偏西 B. 南偏东 C. 北偏东 D. 北偏西 21. 如图，点是内一点，，，，，，的长为（ ） A. B. C. D. 三、解答题 22. 解方程：． 23. 已知关于的方程只有一个实数根，求值． 24. 如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点，在点处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为37°，量得测角仪的高为1.5米．、、、、在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．求旗杆的高度（精确到0.1）．（参考数据：，，，．） 25. 已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC． （1）求证：△AED∽△CFE； （2）当EF//DC时，求证：AE=DE． 26. 在直角坐标平面内，直线分别与轴、轴交于点，.抛物线经过点与点，且与轴的另一个交点为.点在该抛物线上，且位于直线的上方. （1）求上述抛物线的表达式； （2）连接，，且交于点，如果的面积与的面积之比为，求的余切值； （3）过点作，垂足为点，连接.若与相似，求点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期初三年级数学第二次复习卷1 一、填空题 1. 化简_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，直接利用二次根式的性质化简得出答案即可，正确化简二次根式是解题关键． 【详解】 ， 故答案为：． 2. 在实数范围内因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查在实数范围内因式分解，利用配方法将原式变形为，再利用平方差公式进行因式分解即可． 详解】解： ． 故答案为：． 3. 关于的方程的解为负数，则的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数，求出a的范围即可．解题的关键是注意分式的分母不能为0． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 解得， 由解为负数得， 解得， ， ， 解得， 的取值范围是且， 故答案为：且． 4. 已知：，，且，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，根据题意，方程除以，得，根据题意，可知，是方程的解，根据，即可． 【详解】解：方程两边同时除以，得， ∵， ∴， ∴，可以看做方程的两个根， ∴． 故答案为：． 5. 关于的方程（为实数）有实根，则取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义与一元一次方程的解即可得出结果． 【详解】解：当时，方程为一元二次方程，由题意得： ， 即， 解得：且， 当时，即，方程为：一元一次方程，有实数根， ∴关于x的方程有实数根，则m的取值范围是． 故答案为：． 6. 在中，，若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角函数解直角三角形，解一元二次方程，由推出，进而得出，再解一元二次方程可得答案． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 令，则， 解得， ， ， 故答案为：． 7. 直线不经过第一象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的性质得，解此不等式组，即可求解；掌握“当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限．”是解题的关键． 【详解】解： ， 不经过第一象限， ， 解得：， 故答案：． 8. 三位同伴进饭店用餐，每人把自带的雨伞交给服务员放在一起保管．如果离店时服务员把他们的雨伞随意还给各人，那么三位同伴恰好拿到各自的雨伞的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查画树状图求概率，熟练掌握画树状图求概率的方法，正确画出树状图是解题的关键．设三位同伴分别记为、、，根据题意画树状图即可求解． 【详解】解：设三位同伴分别记为、、， 根据题意画树状图为： 共有种等可能结果，其中三位同伴恰好拿到各自的雨伞的有种， 故三位同伴恰好拿到各自的雨伞的概率为， 故答案为：． 9. 四边形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，AC与BD相交于点O，∠COB＝120°，AD＝7，BD＝10，则四边形ABCD的面积为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】作对角线的辅助线，通过平行四边形ACED证明△ABD≌△CDE，从而将梯形的面积转化为直角三角形的面积． 【详解】解：过点作交的延长线于点，于， ，， 四边形为平行四边形， ， 是等腰三角形， ， ， ， ，，． 和中， ， ， 四边形的面积等于的面积，即． 故答案为：． 【点睛】此题主要是平移对角线，构造一个平行四边形和等腰三角形，把梯形的面积转化为三角形的面积是解题关键． 10. 如图，，顶点、、分别与、、对应，，，点既是的中点也是的中点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 连接，，根据等腰三角形的性质与判定以及勾股定理得，再结合证得，即可求解． 【详解】解：连接，， ∵，，， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，，，，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，可证明，得到，根据，，可得，推出，结合，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，四边形是等腰梯形且，、是中位线上两点且，若，，用、线性组合表示_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性的判定及性质，等腰梯形的性质，等腰梯形的中位线，向量加减运算等，由等腰梯形的性质得，由相似三角形的判定及性质，可得，由向量的和差得，即可求解；掌握相似三角形性的判定及性质，等腰梯形的性质，等腰梯形的中位线，向量加减运算，能用向量加减表示出所求向量是解题的关键． 【详解】解：，， ， 四边形是等腰梯形， 、是中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 13. 如图，直角三角形斜边上的中线和边上的中线互相垂直，则的正弦值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，记的交点为，设，则，由是直角三角形斜边上的中线可知，则，证明，则，，即，可求，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为，设，则， 由题意知，， ∴， ∵是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，勾股定理，正弦，正切等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，勾股定理，正弦，正切是解题的关键． 14. 已知面积为，边上的高为，且，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形面积公式，先根据三角形面积公式求出，进而得出，再分是锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用勾股定理求解． 【详解】解：由三角形面积公式得， 解得， ， ， 分两种情况：当是锐角三角形时，如图，为边上的高线， 在中，， ， 在中，； 当是钝角三角形时，如图，为边上的高线， 同理，在中，， ， 在中，； 综上可得，的长为或． 故答案为：或． 15. 是锐角三角形的一个内角，已知关于的函数图像与轴没有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角函数，二次函数的图象与轴的交点问题，解利用二次函数解二次不等式，熟练掌握三角函数的性质和应用、二次函数的图象与轴的交点个数是解题的关键．先利用是锐角三角形的一个内角，确定，再利用函数图像与轴没有交点，结合，得关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的一个内角， ∴， ∴， ∵函数图像与轴没有交点， ∴， ∵， ∴， 即， 对于，看作关于的二次函数， ∵， ∴的图象开口向上， 又时， 解得：或， 利用二次函数与不等式的关系， 得的解为：或（舍）， ∴， 则的取值范围是， 故答案为：． 16. 已知抛物线与轴有两个公共点、，顶点为，且为等边三角形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，抛物线与轴的交点问题，熟悉解题方法和思路是解题关键； 根据勾股定理求得点的纵坐标，代入抛物线结合判别式即可求解． 【详解】解：抛物线与轴有两个公共点， 即， 解得：，， 、距离为： 该抛物线的对称轴为：， ，两点关于对称， 为等边三角形，则 点的纵坐标为：， 将，代入， 解得：， 抛物线与轴有两个公共点， ， 即， 故， 故答案为：． 17. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC=8，D、E两点分别在边BC、AB上，将△ABC沿着直线DE翻折，点B正好落在边AC上的点M处，并且AC=4AM，设BD=m，那么∠ACD的正切值是______（用含m的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】作AH⊥BC于H，MG⊥BC于G，连接EM、MD、BM，先依据等腰三角形的性质求得CH=4，然后依据平行线分线段成比例定理可求得CG的长，从而可得到BG的长，则DG=m-5，再在Rt△MGD中，由勾股定理可求得MG的长，最后依据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】如图所示：作AH⊥BC，MG⊥BC，连结EM、MC． ∵AB=AC，BC=8，AH⊥BC， ∴CH=4． ∵AC=4AM， ∴CM：AC=3：4． ∵AH∥MG， ∴，即，解得：CG=3． ∴BG=5． ∴DG=m﹣5． 由翻折的性质可知MD=BD=m． 在Rt△MGD中，依据勾股定理可知：MG=． ∴tan∠ACB=． 故答案为． 二、选择题 18. 下列函数中，随着的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，二次函数的性质，一次函数的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据反比例图象性质，一次函数的性质及其二次函数的性质解题即可； 【详解】解：A、反比例函数的增减性必须强调在每个象限内，或在双曲线的每一支上，故本选项错误； B、反比例函数的增减性必须强调在每个象限内，或在双曲线的每一支上，故本选项错误； C、，函数随着自变量的增大而减小，即随着的增大而减小，故本选项正确； D、，抛物线在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减小，故本选项错误； 故选：C 19. 已知，则的值为（ ）． A. B. C. D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是能够熟练运用公式进行变形计算．将变形得到，从而推出，再利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故选∶B． 20. 两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东，灯塔B在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（ ） A. 南偏西 B. 南偏东 C. 北偏东 D. 北偏西 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，，，，进而根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，根据平行线的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， 依题意，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴灯塔在灯塔的北偏东， 故选：C． 【点睛】本题考查了方位角的计算，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据题意画出图形是解题的关键． 21. 如图，点是内一点，，，，，，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，如图，延长交于M，延长交于N，易证得四边形、四边形为平行四边形，则，，根据相似三角形的判定易得，利用相似比可得，再判断，利用相似比可得，由，于是解方程即可得解，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 【详解】如图，延长交于M，延长交于N， ∵，，， ∴四边形、四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：D． 三、解答题 22. 解方程：． 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．将原方程变形为，设，则原方程变为，解得：，，分情况：当时，当时，分别求出，即可求解． 【详解】解： 设， 原式为：， ， ， 或， ，， 当时， 即， ， ， ， 或， ，； 当时， 即， ， ， ， 或， ，； 综上所述，方程的解为，，，． 23. 已知关于的方程只有一个实数根，求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程，一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意，等式两边同时乘以，得，移项，合并同类项，得，根据题意，方程只有一个实数根，则根据一元二次方程根的判别式，解出，即可． 【详解】解：， 等式两边同时乘以，得， 移项，合并同类项，得， ∵方程只有一个实数根， ∴， ∴， 解得：． 24. 如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点，在点处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为37°，量得测角仪的高为1.5米．、、、、在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．求旗杆的高度（精确到0.1）．（参考数据：，，，．） 【答案】7.7米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键． 延长交射线于点H，过点E作于点F，根据坡度比得出，，再根据求出的长即可求解． 【详解】解：延长交射线于点H，过点E作于点F， 由题意得， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴旗杆的高度为7.7米． 25. 已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC． （1）求证：△AED∽△CFE； （2）当EF//DC时，求证：AE=DE． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【详解】试题分析：两组角对应相等，两个三角形相似. 证明根据相似三角形对应边成比例，即可证明. 试题解析：（1） 又 ∵AD//BC， （2）∵EF//DC， ∴． ∵AD//BC， ∴，∴． 即， 26. 在直角坐标平面内，直线分别与轴、轴交于点，.抛物线经过点与点，且与轴的另一个交点为.点在该抛物线上，且位于直线的上方. （1）求上述抛物线的表达式； （2）连接，，且交于点，如果的面积与的面积之比为，求的余切值； （3）过点作，垂足为点，连接.若与相似，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）；（3）的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先根据直线表达式求出A,C的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）过点作于点，先求出点B的坐标，再根据面积之间的关系求出点E的坐标，然后利用余切的定义即可得出答案； （3）若与相似，分两种情况：若，；若时， ，分情况进行讨论即可. 【详解】（1）当时， ，解得 ，∴ 当时， ，∴ 把，两点的坐标代入， 得，解得， . （2）过点作于点， 当时， 解得 ∴， ， ， ， ， . ， （3），， ①若，,则 点的纵坐标为2，把代入 得或（舍去）， . ②若时， 过点作轴于点，过点作交轴于点， ， ， ， ， 设，则， ， . ∵， ∴ ∴， ， 设，代入 得（舍去）或者， . 综上所述，的坐标为或. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，待定系数法，三角函数，掌握相似三角形的判定方法和分情况讨论是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$